第四篇振动和波动 一、振动 1、振动是自然界最常见的运动形式之一。 2、周期性振动（狭义）、非周期性振动（广义）与简谐振动的关系。 3、振动包括机械振动与非机械振动虽然各自遵循不同的运动规律，但它 们具有共同的物理特征。 二、波动 1、波是振动在空间的传播。 2、波的世界 3、各类波特性各自不同，但也具有共同的物理特征。 4、光波或电磁波 第十五章振动 15-1简谐振动 一、振动的一般概念 1、机械振动：物体（或物体的一部分）在一定位置附近作来回往复的运动称 为机械振动。如：发声、机器振动、船摇摆、心脏、耳膜、鼓膜、原子的 振动等。 2、广义的振动：描述物体状态的某个物理量在某一值附近反复变化，称该物 理量在作振动。如：电量、电流、电磁场、温度、脉冲星的密度、体积等。 各种振动的物理本质往往不同，但数学表述都是相同的， 3、周期性振动：每隔一固定的时间T,运动状态就完全重复一次。T称为振 动的周期。单位时间内振动的次数称为频率Y=1T。 1
1 第四篇 振动和波动 一、振动 1、 振动是自然界最常见的运动形式之一。 2、 周期性振动（狭义）、非周期性振动（广义）与简谐振动的关系。 3、 振动包括机械振动与非机械振动虽然各自遵循不同的运动规律，但它 们具有共同的物理特征。 二、波动 1、波是振动在空间的传播。 2、波的世界 3、各类波特性各自不同，但也具有共同的物理特征。 4、光波或电磁波 第十五章 振动 15-1 简谐振动 一、振动的一般概念 1、机械振动：物体（或物体的一部分）在一定位置附近作来回往复的运动称 为机械振动。如：发声、机器振动、船摇摆、心脏、耳膜、鼓膜、原子的 振动等。 2、广义的振动：描述物体状态的某个物理量在某一值附近反复变化，称该物 理量在作振动。如：电量、电流、电磁场、温度、脉冲星的密度、体积等。 各种振动的物理本质往往不同，但数学表述都是相同的。 3、周期性振动：每隔一固定的时间 T，运动状态就完全重复一次。T 称为振 动的周期。单位时间内振动的次数称为频率γ= 1/T
二、简谐振动 它是最简单、最常见的周期性一维振动。振动曲线呈余弦或正弦的振动 称为谐振动。任何复杂的周期性振动都可以看成若干个 或无限多个)谐 振动的叠加。 (一)谐振动的特征及其表式 1、以弹簧振子的振动为例 弹簧振子是一种重要的物理模型 分析弹簧振子的运动 (图) F=-kx F=ma o0 dt- m x=Acos(o+Φ) 0AΦ。 x+0'x=0 o=0 0=Yol .x=Acos(o+Φ) xo=xo x=vo 判断质点是否作简谐振动： (I)受力仁kx 回)满起空+=0 (这两点为动力学方面) (3)运动方程∴.x=Acos(m+中。)（运动学方面） 2、描述简谐振动的物理量.x=Acos(ol+Φ) (I)振幅A:Acos(am+中，)≤1
2 二、简谐振动 它是最简单、最常见的周期性一维振动。振动曲线呈余弦或正弦的振动 称为谐振动。任何复杂的周期性振动都可以看成若干个（或无限多个）谐 振动的叠加。 （一）谐振动的特征及其表式 1、以弹簧振子的振动为例 弹簧振子是一种重要的物理模型 分析弹簧振子的运动 （图） ( ) ( ) 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 cos 0 cos 0 x v tg v A x x v x x x A t x v x x x x A x A t m k x dt d x x x m k dt d x F ma F kx t t t t = − = + = = = + = = + = = + = + = = − = − = = − = = = = 判断质点是否作简谐振动： (1) 受力 f=-kx (2) 满足 0 2 2 2 + x = dt d x （这两点为动力学方面） (3) 运动方程 ( ) 0 x = Acos t + (运动学方面) 2、描述简谐振动的物理量 ( ) 0 x = Acos t + (1) 振幅 A； Acos(t + 0 ) 1
≤A x+02x=0 (2)周期、频率和角（圆）频* T一行为报功同期 相位频率：7气语 圆频率：2π秒时间内振动次数 0=2my %对凝振子。-侣1-语2后y片因 由系统决定，故又称固有角频率、固有周期和固有频率 (3)位相（相位、周相）与相位差 当A,确定后，物体的运动状态(x,等)由(+中。)唯一确定 当t=0,x=cosΦo,中称为初位相 讨论简谐振动的速度和加速度 4caou+,人则w=-amow+0,).ma+0,+引 其中y。=为速度振幅 a=i=求=-o2Acos(al+中)=d cos(al+中。士π人其中an为加速度振幅 #图示 速度比位移振动位相超前子，加速度振动 又比速度振动位相超前子，加速度与位移振动位相反相。 一般情况下，有两个振动x=Acos(1+中o),x2=Acosor+中)】 则位相差△④=(o+①o)-(a+④o) 3
3 x A 0 2 x + x = （2）周期、频率和角（圆）频率 ( ) ( ) 2 2 2 T 1 2 2 cos cos 2 cos 0 0 0 = = = = + = + = + + = + 圆频率： 秒时间内振动次数 相应频率： T 为振动周期 x A t A t A t 例：对弹簧振子 = T = m k , 2 , 2 m k = m k 2 1 T 1 = = 由系统决定，故又称固有角频率、固有周期和固有频率 （3）位相（相位、周相）与相位差 当 A,确定后， 物体的运动状态（ x, x , x 等）由（ + 0 t ）唯一确定 当 t = 0，x = cos0，0称为初位相 讨论简谐振动的速度和加速度 设: ( ) = + = = − + = + + 2 cos sin( ) cos 0 0 0 x A t v x t t v t m ，则 其中vm =为速度振幅 v x A 2 a = = = − ( ) am cos t + 0 = cos(t + 0 )， 其中 m a 为加速度振幅 #图示 速度比位移振动位相超前 2 ，加速度振动 又比速度振动位相超前 2 ，加速度与位移振动位相反相。 一般情况下，有两个振动 ( ) 1 10 x = Acos t + ， ( ) 20 cos x2 = A t + 则 位相差 = (t + 20 ) − ( ) + 10 t
当且仅当o=2时，△中=中0-中0 超前、落后以及相对性由相位差的正负来判断 4、简谐振动的旋转矢量图示法 能直观的领会A,0,Φ三物理量的意义 在x轴上的投影恰为 x=Acos(o+Φ） 而0，T分别对应角速度和转一周的时间（参阅书图15-5）图示 例15-1：略 己知A=0.12m,T=2s,且0时，x=0.06m,v。）0 求：(1)x=Acos(am+D) (2)t=时的x,v,a 4 (3)从x=0.06m,v0取0-号 图示 也可以用旋转矢量，一目了然 X=012c0m-写m (2)由x=012ot-骨n p==-0.12asm(t-了ms -012cos(a.me 将-行05s代入即可 (3)解法一：代入法 由x=-0.06m,v<0得t,=ls
4 当且仅当 1 =2 时， = 20 − 10 超前、落后以及相对性由相位差的正负来判断 4、简谐振动的旋转矢量图示法 能直观的领会 0 A,, 三物理量的意义 在 x 轴上的投影恰为 ( ) 0 x = Acos t + 而 , T 分别对应角速度和转一周的时间 （参阅书图 15-5）图示 例 15-1：略 已知 A=0.12m，T=2s，且 t=0 时，x=0.06m， 0 v 〉0 求：（1） ( ) 0 x = Acos t + （2） x v a 4 T t = 时的 ， ， （3）从 x=-0.06m，v<0 到 x=0，v〉0 的最短时间 解：（！）设 ( ) 0 x = Acos t + )m 3 x 0.12cos( t - , 3 v Asin 0, 2 3 1 0.06 0.12cos cos s t 2 0 0 0 0 0 0 1 = = − = − = = = = = − 也可以用旋转矢量 一目了然 又 取 图示 （2）由 ) 3 x 0.12cos( t - = m v = x = −0.12 sin 1 )ms 3 ( t - − a = v = x = −0，12 cos 2 2 )ms 3 ( t - − 将 0.5s 4 T t = = 代入即可 （3）解法一：代入法 由 x=-0.06m，v<0 得 t 1s 1 =
由x0,00得：=品 A=- 解二：几何法 图示 如图，由条件得 +0,-o4+0,号 例：复摆与单摆 重力G产生的恢复力矩M=-mghsin 由M=p得d0-M.-msm0 当0≤4时，0≈sin0 复搭：。-吧QM=-gts为准弹性力 讨论特殊情况单摆：1=mh2=ml 由上式 9层00 故 复摇。-1-2何 例：（习题15-8） 解：F=(-f2)=-4T-T) 图示
5 由 x=0，v〉0 得 s 11 6 t 2 = s 6 5 t t t = 2 − 1 = 解二：几何法 图示 如图，由条件得 2 3 t 2 + 0 = ， 3 2 t 1 + 0 = s 6 3 5 2 2 3 t t t 2 1 = − = − = 例：复摆与单摆 重力 G产生的恢复力矩M = −mghsin 由 M = I 得 I mghsin I M dt d 2 2 = = − 当 4 sin o 时， 复摆： 称为准弹性力 = − ,M = −mgh I mgh dt d 2 2 讨论特殊情况 单摆： 2 2 I = mh = ml 由上式 l g = − = − h g dt d 2 2 故 2 2 2 dt d + =0 复摆： mgh I T I mgh = , = 2 单摆： g I T l g = , = 2 例：（习题 15-8） 解： ( ) ( ) 1 2 T1 T2 F = − f − f = − − 图示
T+T:=mg mg(d+x)=T.2d 7-7=坚 +=0 即r+a2x=0 -厚1名层 例15-2略 设平衡时船的吃水深度为h,则P*sg·y=m船g得nm= 图示 对任意位置f=-(h+y)P*sg+mg 即f=-P水gy=-kg 准弹性力 -唇 补充例题：（习题15-15）己知：K,盘子质量M,质量为m的物体从高h处 落到盘子上并粘住 求：(1)前后盘子的振动周期有何不同？ (2)此时的振动振幅多大？ (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时 作为计时起点，求初位相，并写出物体与盘子的振动方程。 解0空盘五=2展 脂-2 T>T (2)非弹性碰撞，动量守恒 6
6 g d T d g x x x d g x d mg T T mg d x T d T T mg 2 2 , 0 0 ( ) 2 2 1 2 1 1 2 = = = + = + = − = + = + = 即 例15-2 略 设平衡时船的吃水深度为 h，则 水sg y = m船g得m = hs 图示 对任意位置 f = −（h + y） 水sg + mg 即 f = − 水sg y = -kg 准弹性力 = = = = 2 T m sg m k ， 补充例题：（习题 15-15）已知：K，盘子质量 M，质量为 m 的物体从高 h 处 落到盘子上并粘住 求：（1）前后盘子的振动周期有何不同？ （2）此时的振动振幅多大？ (3)取平衡位置为原点，位移以向下为正，并以弹簧开始振动时 作为计时起点，求初位相，并写出物体与盘子的振动方程。 解：（1） 空盘 k M T1 = 2 碰后 k M m T + 2 = 2 T2 T1 （2） 非弹性碰撞，动量守恒
(M+m)y2=mg=m√2g gw年m2@ 设碰撞瞬时开始计时，平衡位置为坐标原点，向下为正 图示 多 0时，6=-(-元) 且Mg=k元 (M+m)g=k 斯是腰e- 2kh 2kh .(m 而t=0,y0x<中，< 中，=gM+m) 2kh 。且x<而，< 将y=Acos(al+中。)中各项代入) 5、简谐振动的能量 所以弹簧振子为例X=Acos(a+Φ) V==-A0sn(0+Φ，a2=kk=m2m m Emco( E=E:+E,= 7
7 gh M m m v M m v mv m gh 2 ( ) 2 2 2 1 + = + = = 设碰撞瞬时开始计时，平衡位置为坐标原点，向下为正 图示 则 t=0 时， ( ) 0 = − 2 − 1 y ( ) 将 （ ）中各项代入） 且 （ ） 而 则 ， （ ） 且 0 0 1 0 0 0 0 0 2 2 2 0 0 0 0 2 2 1 y Acos t 2 3 M m g 2kh tg 2 3 t 0, y 0, v 0, (M m)g 2kh y v tg M m 2kh 1 k v mg A y M m k , M m m 2gh v v k mg y M m g k Mg k = + + = = + = − = + = + = − + = + = − = = + = = − 5、简谐振动的能量 所以弹簧振子为例 x = Acos（t + 0） 2 0 2 2 2 0 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 1 cos t 2 1 2 1 sin t 2 1 sin t 2 1 2 1 v A sin t , , E E E k A E mx k A E mv m A k A k m m k x k p p k = + = = = + = = + = + = = − + = = （ ） （ ） （ ） （ ）
另外，动能与势能在一个周期内的平均值为二k4的一半 由时m2+=E(常量) 两端对t球导，得mvV+kx=0 即+合x=-0 155同方向谐振动的合成 一、同方向同频率谐振动的合成 设X1=A,cos(ol+D0) X2 =A2cos (+2o) 由运动叠加原理X=x+x2=Acos(t+①o) 图示 ,AT+24A@,+o,先品 讨论：(1)当中0-中0=2kπ，k=0,土1,2，. cos(Φ20-Φ1o）=1 A=A+A, (2)当①0-④0=(2k+1)m,k=0,±1，+2， c0s(Φ20-Φo)=-1 (2)当中20-Φ10=(2k+1)元，k=0,1,+2,. cos(④0-④1o)=-1 A=4-A最小，特别4，=A时，A=0 中0-中为任意值时，则 ③)A-A4sA≤A+A4
8 x 0 t mvv kxx 0 E 2 1 2 1 2 1 2 2 2 + = + = + = x m k m v k x k A 即 两端对 求导，得 由 （常量） 另外，动能与势能在一个周期内的平均值为 的一半 15-5 同方向谐振动的合成 一、同方向同频率谐振动的合成 设 x1 = A1 cos（t + 10） x2 = A2 cos（t + 20） 由运动叠加原理 x = x1 + x2 = Acos（t + 0） 图示 其中， 2 20 1 10 2 20 1 10 1 2 20 10 0 2 2 2 1 A cos cos sin sin A 2 A cos , + + = + + + = A A A A A A （ ）t g 讨论：（1）当 2 , 0, 1, 2,. 20 − 10 = k k = , cos ) 1 1 2 20 10 A = A + A （ − = （2）当 2 1) , 0, 1, 2,. 20 − 10 =（ k + k = cos（20 − 10 ) = −1 （2）当 2 1) , 0, 1, 2,. 20 − 10 =（ k + k = cos（20 − 10 ) = −1 A = A1 − A2 最小，特别A1 = A2时，A = 0 (3) 1 2 1 2 20 10 A − A A A + A − 为任意值时，则
二、两个同方向不同频率谐振动的合成拍 讨论振幅相同，初位相相同的两振动合成 设X=Acos(O,1+中，) x2=Acos(o,1+Φ) 不防设02>01 则x=x+x32=2Acos0二01c0s色+@1+Φ，) 2 2 当 02-01<<02+0 拍形成的条件 x=Acos色t01+D） 2 A=2Ac0s2-0 2 近似看作谐振动，但振幅缓慢地随t作周期性变化，称为拍 拍频：（振幅变化的频率） 2Acos:=2Acos+)=2AcOS+27 2 2 2 02-01 “周期T1 Y2-Y1 7=1=-W 拍频等于振动频率之差，也可用矢量旋转的方法加以解释 9
9 二、 两个同方向不同频率谐振动的合成 拍 讨论振幅相同，初位相相同的两振动合成 设 cos( ) cos( ) 2 2 0 1. 1 0 = + = + x A t x A t 不防设 2 1 则 ) 2 cos( 2 2 cos 0 2 1 2 1 1 2 + − + x = x + x = A t t 当 2 −1 2 +1 拍形成的条件 A A t x A t 2 2 cos ) 2 cos( ' 2 1 0 ' 2 1 − = + + = 近似看作谐振动，但振幅缓慢地随t作周期性变化， 称为拍 拍频: (振幅变化的频率) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T 1 1 T 2 ( 2 ) 2 cos 2 2 cos( 2 2 cos = = − − = − + − + = − = − 周期 A t A t A t t 拍频等于振动频率之差,也可用矢量旋转的方法加以解释