免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 13.2命题与证明 第1课时命题与证明(一) 教学目标 【知识与技能】 1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念 2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题. 3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性 【过程与方法】 1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力 2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数 学语言的能力 【情感、态度与价值观】 1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风 2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识 数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性 重点难点 【重 学习命题的概念和命题、公理、定理的区分 【难点】 严密完整地写出推理过程 教学过程 创设情境,导入新知 教师多媒体出示 有一根比地球赤道长lm的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙 有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗? 学生交流讨论后回答. 生甲:都放不进去 生乙:枣能放进,苹果放不进 生丙:都能放进 师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是一 0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发? 生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析 师:对,我们要做到有理有据 上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是 180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问 在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值; 度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 13.2 命题与证明 第1课时 命题与证明(一) 教学目标 【知识与技能】 1.理解真命题、假命题、公理、原命题、逆命题等概念. 2.会判断一个命题的真假,能区分公理、定理和命题. 3.理解证明的含义,体验证明的必要性和数学推理的严密性. 【过程与方法】 1.通过一些简单命题的证明,训练学生的逻辑推理能力. 2.根据命题的证明需要,要求学生画出图形,写出已知、求证,训练学生将命题转化为数 学语言的能力. 【情感、态度与价值观】 1.通过对命题真假的判断,培养学生科学严谨的学习态度和求真务实的作风. 2.让学生积极参与数学活动,对数学定理、命题的由来产生好奇心和求知欲,让学生认识 数学与人类生活的密切联系,提高学生学习数学的积极性. 重点难点 【重点】 学习命题的概念和命题、公理、定理的区分. 【难点】 严密完整地写出推理过程. 教学过程 一、创设情境,导入新知 教师多媒体出示: 有一根比地球赤道长1m的铜线将地球赤道绕一圈,想一想,铜线与地球赤道之间的空隙 有多大?能放进一颗枣吗?能放进一个苹果吗? 学生交流讨论后回答. 生甲:都放不进去. 生乙:枣能放进,苹果放不进. 生丙:都能放进. 师:我们现在用这个式子来算,设赤道的长为C,则铜线与地球赤道之间的间隙是-=≈ 0.26(m),可见,枣和苹果都能放进去.通过这个例子,你们受到了什么启发? 生:有些东西想象的或感觉的不一定可靠,要具体分析. 师:对,我们要做到有理有据. 上一节研究三角形的性质时,我们通过折叠、剪拼、度量等方法得到三角形的内角和是 180°,但对这种方法,有的同学提出这样的疑问: 在剪拼时,发现三个内角难以拼成一个平角,只是接近180°的某个值; 度量三个角,然后相加,不一定能准确地得到180°
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 这两种情况怎么解释呢? 学生思考、交流、讨论 师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信 其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命 题的真假,需要做必要的逻辑推理 二、共同探究,获取新知 师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断. 教师多媒体出示 (1)长江是中国第一大河 (2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等; (3)2+3≠5 (4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除 教师找一名学生回答,然后集体订正 师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1) (2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果 个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、 祈使句等 教师多媒体出示: (1)请关上窗户; 2)你明天骑车来上学吗? (3)天真冷啊! (4)今天晚上不会下雨 (5)昨天我们去旅游了 师:请同学们判断一下哪些语句是命题? 学生讨论后回答,然后集体订正 师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事 项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、 那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等 以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p, 则q”,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断 三、边讲边练 教师多媒体出示: 【例1】指出下列命题的条件与结论 (1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行 (2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等 生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论 生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论 四、层层推进,深入探究 师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p” 我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题我 们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗? 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 这两种情况怎么解释呢? 学生思考、交流、讨论. 师:是这样的,研究几何图形时,从观察和实验得到的认识,有时会有误差,难以使人确信 其结果一定正确.因此,就得在观察的基础上有理有据地说明理由,这就是说,要判断数学命 题的真假,需要做必要的逻辑推理. 二、共同探究,获取新知 师:推理是一种思维活动,人们在思维活动中,常常要对事物的情况做出种种判断. 教师多媒体出示: (1)长江是中国第一大河; (2)如果∠1和∠2是对顶角,那么它们相等; (3)2+3≠5; (4)如果一个整数的各位上的数字之和是3的倍数,那么这个数能被3整除. 教师找一名学生回答,然后集体订正. 师:在逻辑学中,凡是可以判断出真(即正确)、假(即错误)的语句叫做命题.上面的(1)、 (2)、(4)都是正确的命题,我们称之为真命题;(3)是错误的命题,我们称之为假命题.如果一 个语句没有对某一事件的正确与否作出任何判断,那么它就不是命题,比如感叹句、疑问句、 祈使句等. 教师多媒体出示: (1)请关上窗户; (2)你明天骑车来上学吗? (3)天真冷啊! (4)今天晚上不会下雨. (5)昨天我们去旅游了. 师:请同学们判断一下哪些语句是命题? 学生讨论后回答,然后集体订正. 师:每个命题都由题设、结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事 项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时我们为了简便,省略关联词“如果”、 “那么”,如命题“如果两个角是对顶角,那么这两个角相等”,可以写成“对顶角相等”. 以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p, 则q”,其中p是这个命题的条件(或假设),q是这个命题的结论(或题断). 三、边讲边练 教师多媒体出示: 【例1】 指出下列命题的条件与结论: (1)两条直线都平行于同一条直线,这两条直线平行; (2)如果∠A=∠B,那么∠A的补角与∠B的补角相等. 生甲:(1)中“两条直线平行于同一条直线”是条件,“两条直线平行”是结论. 生乙:“∠A=∠B”是条件,“∠A的补角与∠B的补角相等”是结论. 四、层层推进,深入探究 师:将命题“如果p,那么q”中的条件与结论互换,便得到一个新命题“如果q,那么p”, 我们把这样的两个命题称为互逆命题,其中一个叫做原命题,另一个叫做原命题的逆命题.我 们在前面学习了命题都可以判断真假,当一个命题是真命题时,它的逆命题也是真命题吗?
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 学生交流讨论后发表意见 师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的 逆命题是什么? 生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角 师:它是真命题还是假命题呢? 生:假命题. 师:你是怎么判断它是假命题的呢? 学生交流讨论后回答 教师多媒体出示下图 师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与 ∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说 明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可 五、练习新知,加深讨论 师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题 教师找学生回答,然后集体订正得到 (1)假命题. 反例:|-1|=11,但-1≠1 (2)假命题 反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数 3)真命题 (4)假命题 若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等 师:我们来看第3题 教师找学生回答,然后集体订正得到 (1)真命题,(2)真命题,(3)真命题 师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证, 在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得 的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想 下,我们学过哪些公理? 生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线 生乙:两点之间的所有连线中,线段最短 生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线 师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断 其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子? 生甲:对顶角相等 生乙:三角形的三个内角和等于180° 生丙:等角的补角相等 师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等, 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 学生交流讨论后发表意见. 师:我们可以看这样一个例子,“如果∠1与∠2是对顶角,那么∠1=∠2”是真命题,它的 逆命题是什么? 生:它的逆命题是“如果∠1=∠2,那么∠1与∠2是对顶角”. 师:它是真命题还是假命题呢? 生:假命题. 师:你是怎么判断它是假命题的呢? 学生交流讨论后回答. 教师多媒体出示下图. 师:对.我们可以举一个例子,比如角平分线分成的两个角,∠1=∠2,但显然,这里∠1与 ∠2就不是对顶角.像这种符合命题条件,但不满足命题结论的例子,我们称之为反例.若要说 明一个命题是假命题,只要举出一个反例即可. 五、练习新知,加深讨论 师:请同学们看教材中本节例1后练习的第2题. 教师找学生回答,然后集体订正得到: (1)假命题. 反例:|-1|=|1|,但-1≠1. (2)假命题. 反例:(-1)×(-1)>0,但-1是负数. (3)真命题. (4)假命题. 若两条不平行的直线与第三条直线相交,同位角不相等. 师:我们来看第3题. 教师找学生回答,然后集体订正得到: (1)真命题,(2)真命题,(3)真命题. 师:在数学命题的研究中,为了确认某些命题是真还是假,需要对命题的正确性进行论证, 在论证过程中,必须追本求源,真理不需要再作论证,其正确性是人们在长期实践中检验所得 的真命题,作为判断其他命题真假的依据,这些作为原始根据的真命题称为公理.同学们想一 下,我们学过哪些公理? 生甲:经过两点有一条直线,并且只有一条直线. 生乙:两点之间的所有连线中,线段最短. 生丙:经过直线外一点,有且只有一条直线平行于这条直线, 师:对,这些都是公理.有些命题,它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判断 其他命题真假的依据,这样的真命题叫做定理.谁能举几个例子? 生甲:对顶角相等. 生乙:三角形的三个内角和等于180°. 生丙:等角的补角相等. 师:对.推理的过程叫做证明.下面,我们来证明一个七年级时用过的定理“内错角相等
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 两直线平行” 教师多媒体出示 【例2】已知:如图所示,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2 求证:a∥b. 师:若已知“同位角相等,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平 行”这个结论? 学生交流讨论,教师巡视指导. 学生口述,教师板书推理过程 证明:∵∠1=∠2,(已知) 又∵∠1=∠3,(对顶角相等) ∠2=∠3.(等量代换) ∴a∥b.(同位角相等,两直线平行) 教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也 可以是定义、公理、已经学过的定理 【例3】已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC 求证:OE⊥OF 证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知) ∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义) 又∵∠AOB+∠BC=180°,(已知) ∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC) =90°.(等式性质) ∵.OE⊥OF.(垂直的定义) 六、课堂小结 师:我们今天学习了什么内容? 学生回答,教师补充完善 教学反思 在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法 通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我 主要采用“举一”,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“反三”的目的.尽可 能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地 判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并 能做到步步有据 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 两直线平行”. 教师多媒体出示: 【例2】 已知:如图所示,直线c与直线a、b相交,且∠1=∠2. 求证:a∥b. 师:若已知“同位角相等,两直线平行”这个定理,怎么证明“内错角相等,两直线平 行”这个结论? 学生交流讨论,教师巡视指导. 学生口述,教师板书推理过程. 证明:∵∠1=∠2,(已知) 又∵∠1=∠3,(对顶角相等) ∴∠2=∠3.(等量代换) ∴a∥b.(同位角相等,两直线平行) 教师强调:证明中的每一步推理都要有根据,不能想当然.这些根据,可以是已知条件,也 可以是定义、公理、已经学过的定理. 【例3】 已知:如图,∠AOB+∠BOC=180°,OE平分∠AOB,OF平分∠BOC. 求证:OE⊥OF. 证明:∵OE平分∠AOB,OF平分∠BOC(已知) ∴∠1=∠AOB,∠2=∠BOC.(角平分线的定义) 又∵∠AOB+∠BOC=180°,(已知) ∴∠1+∠2=(∠AOB+∠BOC) =90°.(等式性质) ∴OE⊥OF.(垂直的定义) 六、课堂小结 师:我们今天学习了什么内容? 学生回答,教师补充完善. 教学反思 在这节课上,通过举反例判定一个命题是假命题,培养学生学会从反面思考问题的方法. 通过强调正面的严密性,让学生理解证明的必要性和推理过程要步步有据.在教学方法上我 主要采用“举一”,让学生独立思考、自由交流、集思广益,从而达到“反三”的目的.尽可 能地调动更多学生主动参与、交流、沟通,通过自身思维碰撞构建新的认知结构,从而准确地 判断命题的真假,对于假命题举出反例.对于命题的证明,要求学生能写出证明的一般步骤并 能做到步步有据
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 第2课时命题与证明(二) 教学目标 【知识与技能】 1.掌握三角形内角和定理及其三个推论 2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述. 3.探索并理解三角形的内角和定理 4会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题. 【过程与方法】 1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程 2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论 【情感、态度和价值观】 1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途 2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯. 3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数 学的兴趣 重点难点 【重点】 三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理 【难点】 三角形内角和定理的证明 教学过程 、创设情境,导入新知 师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗? 学生回答. 师:我们用什么方法证明过这个命题? 生:用折叠、剪拼和度量的方法. 师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗? 生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据, 这样的真命题叫做定理. 师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题 的证明,现在我们来证明这个定理 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示 【例1】证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180° 师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出 图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论 解压密码联系qq19139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 第2课时 命题与证明(二) 教学目标 【知识与技能】 1.掌握三角形内角和定理及其三个推论. 2.熟悉并掌握较简单命题的证明方法及其表述. 3.探索并理解三角形的内角和定理. 4.会灵活地运用三角形内角和定理的几个推论解决实际问题. 【过程与方法】 1.经历探索并证明三角形内角和定理的过程. 2.让学生在思考与探索的过程中了解三角形内角和定理的几个推论. 【情感、态度和价值观】 1.通过三角形内角和定理的证明,让学生体会到数学的严谨性和推理的用途. 2.通过让学生积极思考、踊跃发言,使他们养成良好的学习习惯. 3.通过生动的教学活动,发展学生的合情推理能力和表达能力,提高学生学习和探索数 学的兴趣. 重点难点 【重点】 三角形内角和定理的证明,三角形内角和定理及其推理. 【难点】 三角形内角和定理的证明. 教学过程 一、创设情境,导入新知 师:在前面我们学习了三角形的内角和定理,你还记得它的内容吗? 学生回答. 师:我们用什么方法证明过这个命题? 生:用折叠、剪拼和度量的方法. 师:很好!在上节课我们学习了定理的概念,大家还记得吗? 生:记得.它们的正确性已经过推理得到证实,并被选定作为判定其他命题真假的依据, 这样的真命题叫做定理. 师:对.三角形的内角和定理是一个定理,它能够被证实,上节课我们还学习了简单命题 的证明,现在我们来证明这个定理. 二、共同探究,获取新知 教师多媒体出示: 【例1】 证明三角形内角和定理:三角形的三个内角和等于180°. 师:在证明命题时,要分清命题的条件和结论,如果问题与图形有关,首先,根据条件画出 图形,并在图形上标出有关字母与符号;再结合图形,写出已知、求证.这个命题的条件和结论
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 分别是什么 生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180° 师:这个命题与图形有关吗? 生:有关 师:那我们要画出什么图形? 生:一个三角形. 教师在黑板上画出一个三角形 师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论 应该怎么写? 生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180 教师板书. 师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们 以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明 教师边操作边讲解 在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等, 来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们 看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题? 生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B. 教师作图 师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了? 学生讨论后回答 生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有 1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论 师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1? 学生交流讨论 教师提示:∠A和∠1是什么角? 生:内错角 师:怎么证两个内错角相等? 生:两直线平行,内错角相等 师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行 生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了 师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论 推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清. 学生口述,教师板书 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 分别是什么? 生:条件是一个三角形,结论是它的内角和等于180°. 师:这个命题与图形有关吗? 生:有关. 师:那我们要画出什么图形? 生:一个三角形. 教师在黑板上画出一个三角形. 师:题目中没有已知、求证,我们自己要写出来.已知就是条件,求证的就是要证的结论. 应该怎么写? 生:已知:△ABC,如图所示.求证:∠A+∠B+∠C=180°. 教师板书. 师:以前我们通过剪拼将三角形的三个内角拼成了一个平角,这不是证明,但它却给我们 以启发,现在我们通过作图来实现这种转化,给出证明. 教师边操作边讲解: 在剪拼中我们可以把∠B剪下,放在这个位置,在证明中我们可以作出一个角与∠B相等, 来代替这种操作.并且为了证明的需要,在原来图形上添画的线,这种线叫做辅助线.同学们 看,应该怎样添画辅助线来帮助我们证明这个问题? 生:延长BC到D,以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B. 教师作图: 师:对.如果再知道什么条件就能得到结论了? 学生讨论后回答. 生:因为∠1+∠2+∠ACB是一个平角,等于180°,如果∠A=∠1,那么就有∠A+∠B+∠C=∠ 1+∠2+∠ACB=180°,这样就证出了结论. 师:对.现在我们看怎样证∠A=∠1? 学生交流讨论. 教师提示:∠A和∠1是什么角? 生:内错角. 师:怎么证两个内错角相等? 生:两直线平行,内错角相等. 师:在题中要证哪两条直线平行?怎么证它们平行? 生:证明CE∥BA,因为∠2=∠B,由同位角相等,两直线平行,就可以证出CE∥BA了. 师:很好!我们现在来把这个推导过程具体写一下.要注意,我们刚才是分析,可以由结论 推条件,但在书写过程中,要先写条件,再写结论,这个顺序要理清. 学生口述,教师板书
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两 个角的和会是多少? 生 师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系? 生:互余. 师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论 教师板书 推论1直角三角形的两锐角互余 、边讲边练 师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能 说出第一题的思路? 生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义 就可证出了 师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整. 学生完成练习第1题. 师:第二个练习的思路大家清楚吗? 学生交流讨论后回答 生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组 成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180° 师:很好!请同学们把证明过程补充完整 学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正 四、层层推进,深化理解 教师多媒体出示 师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点 D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角在上 图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗? 学生小组交流讨论后回答 生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+ ∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B. 师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系 生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B. 师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两 个推论 教师板书 推论2三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 推论3三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角 师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 师:现在大家想一想,如果一个三角形中一个角是90°,根据三角形内角和定理,另外两 个角的和会是多少? 生:90°. 师:对.两个角的和是90°,我们可以称它们之间是什么关系? 生:互余. 师:对.由此我们得到三角形内角和定理的第一个推论. 教师板书: 推论1 直角三角形的两锐角互余. 三、边讲边练 师:三角形内角和定理的证明有多种方法,课本练习中给出了另外两种证法.大家能不能 说出第一题的思路? 生:过点A作DE∥BC后,由两直线平行,内错角相等来建立两个相等关系,再由平角的定义 就可证出了. 师:你们已经理清了思路,现在请大家将书上的证明过程补充完整. 学生完成练习第1题. 师:第二个练习的思路大家清楚吗? 学生交流讨论后回答. 生:过三角形一边上一点作两条平行线,然后根据平行线的性质使△ABC的三个内角与组 成平角的三个角分别相等,再由平角的定义证明它们的和是180°. 师:很好!请同学们把证明过程补充完整. 学生补充练习第2题的证明,教师巡视指导,然后集体订正. 四、层层推进,深化理解 教师多媒体出示: 师:在三角形内角和定理的证明中,我们曾经如图中所示那样把△ABC的一边BC延长至点 D,得到∠ACD,像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角.在上 图中,△ABC的外角,也就是∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B有怎样的关系?你能给出证明吗? 学生小组交流讨论后回答. 生:∠ACD与∠ACB的和是180°,所以∠ACD=180°-∠ACB;根据三角形内角和定理,∠A+ ∠B+∠C=180°,∠A+∠B=180°-∠C.由等式的性质,得到∠ACD=∠A+∠B. 师:很好!除了这个相等关系,还能得到什么大小关系? 生:∠ACD>∠A,∠ACD>∠B. 师:很好!在证明中主要应用了三角形内角和定理,我们把这两个结论称为这个定理的两 个推论. 教师板书: 推论2 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 推论3 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角. 师:像这样,由公理、定理直接得出的真命题叫做推论.推论2可以用来计算角的大小,推
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 论3可以用来比较两个角的大小 【例2】已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角. 求证:∠1+∠2+∠3=360° 师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想 下,怎么证明这个命题? 学生交流讨论后回答,然后集体订正. 证明:∠1=∠ABC+∠ACB, ∠2=∠BAC+∠ACB, ∠3=∠BAC+∠ABC, (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质) ∴∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理) ∠1+∠2+∠3=360 五、课堂小结 师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获? 学生发言,教师点评 教学反思 本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明 三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明 这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另 方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定 理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握, 理清脉络 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 论3可以用来比较两个角的大小. 【例2】 已知:如图所示,∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角. 求证:∠1+∠2+∠3=360°. 师:这个问题实质上是三角形外角和定理,即三角形三个外角的和是360°.请大家想一 下,怎么证明这个命题? 学生交流讨论后回答,然后集体订正. 证明:∵∠1=∠ABC+∠ACB, ∠2=∠BAC+∠ACB, ∠3=∠BAC+∠ABC, (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质) ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,(三角形内角和定理) ∴∠1+∠2+∠3=360°. 五、课堂小结 师:我们今天学习了哪些内容?你有什么收获? 学生发言,教师点评. 教学反思 本节课我通过让学生自己思考设计证明思路,来培养学生积极思考的探索精神.在证明 三角形内角和定理的第一种证法中,我带领他们回顾了以前证明此定理的操作方法,并说明 这两种方法的思想是一致的.一方面可以让他们学会把实际问题用数学形式表示出来,另一 方面培养了他们建立相关事物之间的联系的意识,促进知识的迁移.在证明三角形内角和定 理的练习中,我让他们先理清思路,再做题,不但可以借鉴别人的思路,而且能做到整体把握, 理清脉络