《大学物理学》课程电子教案（PPT教学课件）第四章（4.4）力矩作功、转动动能

上节回顾: 质点对原点O的角动量L→×P=mkv 大小:L=r, myosin 方向:右手螺旋法则 若质点作圆运动,则:L=rmv=mr2o=Jo 注意:不是圆运动(0+/2)不能这样表示 2、质点的角动量定理:MM=L微分形式 Mat=L2-L积分形式 物理意义:质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 3、质点的角动量守恒定律:若质点所受合力矩为零, 即M=0,则有=0,即L=恒量 ry Parsing,=r2p2sin (下一页)

上节回顾： 大小 ： L=r ·mv·sin 方向：右手螺旋法则 若质点作圆运动，则：L = rmv = mr2 = J 注意：不是圆运动(θ≠  2 )不能这样表示. 2、质点的角动量定理 ：Mdt = dL 微分形式 2 1 2 1 Mdt L L t t = −  积分形式 物理意义：质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量。 3、质点的角动量守恒定律：若质点所受合力矩为零， ===即 M = 0 ，则有 dL= 0 ，即 L = 恒量 r1P1 sin1 = r2P2 sin2 （下一页） 1、质点对原点O 的角动量 L =r ×P =mr ×v

4、刚体定轴转动的角动量L=J 5、刚体定轴转动的角动量定理 dL M=(O dt Mdt=L dL=L2-L1=JO2-JO1 若/变化,则∫M=J2O2-Ja 6、刚体定轴转动的角动量守恒定律 当合外力矩为零时,即∑M外=0时, L=恒量,即 (下一页)

4、刚体定轴转动的角动量 L = J 5、刚体定轴转动的角动量定理 dt dL J dt d M = ( ) = 2 1 2 1 2 1 2 1 Mdt dL L L J J L L t t = = − = −   若J 变化，则 2 2 1 1 2 1 Mdt J  J  t t = −  6、刚体定轴转动的角动量守恒定律： 当合外力矩为零时，即∑M外=0 时， L =恒量，即 J22 = J11 （下一页）

4-4力矩作功刚体定轴转动的动能定理 力矩的功 dW=F·= F cOS P|dF dw= Fcos orde 圆轨道上的弧元 F COSO= F F cos r=M< tf dW=Mde W=MdO 称为力矩的功。 力矩作功是力作功的角量表达式 (下一页)

一、力矩的功 dW F dr F cos | dr |    = • =  称为力矩的功。 力矩作功是力作功的角量表达式 x O P   dr  d r  F    dW = F cosrd 圆轨道上的弧元 F cos = Ft F cosr = M dW = Md  W = Md （下一页） 4 – 4 力矩作功 刚体定轴转动的动能定理

二、转动动能 刚体上所有质元的动能之和为: Ek=∑mv2=∑Am(o)2 2 (△ 2 三、刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作 功的效果来解释。 d dW=mde de=Jado dt Mdo=2 Jodo=1J03-1Ja2 (下一页)

刚体上所有质元的动能之和为： 三、刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的动能变化的原因可以用力矩作 功的效果来解释。 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 ( ) ( )    m r J E m v m r i i K i i i i =  = =  =          d J d dt d dW = Md = J = 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1           Md = J d = J − J   （下一页） 二、转动动能

上式即为: W=M=E2-Ek1=△E 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做 的功等于刚体的转动动能的增量。 定轴转动的动能定理 (下一页)

上式即为： 合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做 的功等于刚体的转动动能的增量。 W =  Md = Ek 2 − Ek1 = Ek 2 1    （下一页） 定轴转动的动能定理

四、刚体的重力势能 一个质元:△mgh2 整个刚体: C P重 ∑ △m1gH g∑(△m1)=mgho 个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质 量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统如果在运动过程中只有保守 内力作功则此系统的机械能守恒。 对于系统的动能,除了考虑它的平动动能, 还要考虑它的转动动能。 (下一页)

四、刚体的重力势能 h hi hc x O m C m 整个刚体： 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质 量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守 内力作功,则此系统的机械能守恒。 一个质元： mi ghi （下一页） 对于系统的动能，除了考虑它的平动动能， 还要考虑它的转动动能。 i i EP重 =mi gh =   = i g mi hi mghc ( )

介绍:*3-9质心质心运动定理(P95) 质心 有n个质点组成的质点系,其质心位置可由下式确定 m171+m272+……+m1+…+mn m1+m2+…+m1+…+m ∑ 若取m=∑m为质点系内各质点的质量总和 上式可写为m7=∑m对时间的一阶号数为 m“=m4即m=∑m=∑ (下一页)

介绍：*3—9 质心 质心运动定理 (P95) 一 质心 有n 个质点组成的质点系，其质心位置可由下式确定 i n i i n n c m m m m m r m r m r m r r + + + + + + + + + + = 1 2 1 1 2 2        = = = n i i n i i i m m r 1 1  若取 = = n i m mi 1 ' 为质点系内各质点的质量总和 上式可写为 i n i c i m r m r   = = 1 ' 对时间的一阶导数为： dt dr m dt dr m i n i i c   = = 1 '   = = = = n i i i n i m vc mi v p 1 1 '    即 （下一页）

上式表明:系统内各质点的动量的矢量和等于系统 质心的速度乘以系统的质量。 ∑丙=0∴∑ ∑F dv 外m-C 上式表明:作用在系统上的合外力等于系统的总质量 乘以系统质心的加速度。 此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的 物理问题时,会带来许多方便。 以上质心问题只是了解一下就可以了,不要求掌握。 司心 完毕

上式表明：系统内各质点的动量的矢量和等于系统 质心的速度乘以系统的质量。    = = = =  = n i i n i i n i F dt dP F 1 1 1 内 0 外     C C m a dt dv F m    ‘ ’ 即 外 = = 上式表明：作用在系统上的合外力等于系统的总质量 乘以系统质心的加速度。 此即质心运动定律。利用此定律求解多粒子体系的 物理问题时，会带来许多方便。 以上质心问题只是了解一下就可以了，不要求掌握。 完毕

上次的例题另解如下: 例1、一个质量为M、半径为R的定 滑轮(当作均匀圆盘)上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上,另一端挂 质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦,求物体m由静止下落高度h时 的速度和此时滑轮的角速度。 解:据机械能守恒定律: m由 mgh==Jo2+-my2 mg 中 又ν=RO可解出v= mgh 2m+M比上次作法简单 (下一页)

例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定 滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂 一质量为ｍ的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体ｍ由静止下落高度ｈ时 的速度和此时滑轮的角速度。 解：据机械能守恒定律： 上次的例题另解如下： R M 2 2 2 1 2 1 mgh = J + m v m M mgh v R v + = = 2 4 又  可解出 比上次作法简单 （下一页）

T4-27、如图所示,一质量为 m的小球由一绳索系着,以角 速度o在无摩擦的水平面上, 作半径为r的圆周运动。如果 在绳的另一端作用一竖直向下 的拉力,使小球作半径为r/2的圆周运动。试求: ()小球新的角速度;(2)拉力所作的功。 分析:()沿轴向的拉力对小球不产生力矩,因此,小球 在水平面上转动的过程中不受外力矩作用,其角动量应 保持不变。但是,外力改变了小球圆周运动的半径,也 改变了小球的转动惯量,从而改变了小球的角速度;(2) 拉力所作的功,可根据动能定理由小球动能的变化得到。 解:()根据分析小球在转动过程中,角动量守恒, 故有JO0=J (下一页)

T4-27、如图所示，一质量为 m的小球由一绳索系着，以角 速度0 在无摩擦的水平面上， 作半径为r0 的圆周运动。如果 在绳的另一端作用一竖直向下 · F 0 m 的拉力，使小球作半径为r0 /2的圆周运动。试求： ⑴小球新的角速度； ⑵拉力所作的功。 分析：⑴沿轴向的拉力对小球不产生力矩，因此，小球 在水平面上转动的过程中不受外力矩作用，其角动量应 保持不变。但是，外力改变了小球圆周运动的半径，也 改变了小球的转动惯量，从而改变了小球的角速度；⑵ 拉力所作的功，可根据动能定理由小球动能的变化得到。 解：⑴根据分析小球在转动过程中，角动量守恒， 故有 J00 = J11 （下一页）