上节回顾; 1、变力作功WAB=.Fd= Fcos eds )正确写出积分表达式,即元功cW= fcos dds (2)统一积分变量; (3)建立坐标系,正确定出积分上下限(即A、B) 质点动能定理 b dy F·=macF dr m v dv=omvB-5mva 即W=△E K (下一页)
上节回顾； 1、变力作功 W F dr F ds B A B A AB = = cos ⑴正确写出积分表达式，即元功 dW = F cosds ⑵统一积分变量； ⑶建立坐标系，正确定出积分上下限（即A、B） 2、质点动能定理 2 2 2 1 2 1 B A v v B A B A B A m v dv m v m v dr dt dv F dr ma dr m B A = = − = = 即 W = EK （下一页）
3、质点系的动能定理 W外+内=∑Ek∑ 初=4E K 4、保守力的功=相应势能的增量的负值W保=-△EP 重力的功-mgh=-(mgh-mgh) Mm 万有引力的功[-Gt=--G Mm (-G- B 弹力的功「"-kt=(1n-1kx2 mM Ena=mgp h e P引 E P弹 k 口(下面例题)
3、质点系的动能定理 K i i K i W外 +W内 =Ei K末 −E 初 = E 4、保守力的功= 相应势能的增量的负值 W保 = −EP 重力的功 （ B A ） h h mgdh mgh mgh B A − = − − [ ] 万有引力的功 2 （ ）（ ） B A r r r Mm G r Mm dr G r Mm G B A − = − − − − 弹力的功 （ 2 2 ） 2 1 2 1 B A x x k xdx k x k x B A − = − − 2 2 1 E k x r m M EP mgh EP G P 重 = 引 = − 弹 = (下面例题)
例、一质量为m的质点,在xo平面上运动 其位置矢量为 bB 0 m r=a cos ati + bsin ati kot a 其中a,b,o为正值常数,a>b。 (1)求质点在A(a,0)点和B(0,b点时的动能。 (2)求质点所受的作用力以及当质点从4运动到B的 过程中分力F、F所做的功。 解:(1)由F= a cos ati+bsno x=acos at y=bsin at v=-aosin at =boos at (下一页)
例、一质量为m的质点，在xoy平面上运动。 其位置矢量为： 其中a , b , 为正值常数，a > b 。 (1)求质点在A (a,0)点和B(0,b)点时的动能。 解：(1) r a ti b tj = cos + sin r a ti b tj = cos + sin x = acost y = bsint v a t v b t x = − sin y = cos （下一页） 由 (2)求质点所受的作用力以及当质点从A运动到B的 过程中分力 Fx 、 Fy 所做的功。 A x y o a r m b B t
asin ot v=cocos at A(a,0)H: cost=1 sina t=0 bB 0 E m KA my+-my mb B(0,b): cos@ t=0 sinat=1 O EKB=mv t-m (2) F=max i+may=-mofxi -mo vi ma cos ati -mba sin ti fdx moxdx==mao W,=l Fdy mo ydy mbo 0 2 (下一页)
A(a,0)点：cos t=1 sin t=0 B(0,b)点：cos t=0 sin t=1 v a t v b t x = − sin y = cos 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 EKA = mvx + mvy = mb 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 EKB = mvx + mvy = ma m a ti m b tj F m a i m a j x y cos sin (2) 2 2 = − − = + m xi m yj 2 2 = − − 2 2 0 2 0 2 1 W F dx m xdx m a a a x = x = − = 2 2 0 2 0 2 1 W F dy m ydy m b b b y = y = − = − （下一页） A x y o a r m b B t
例4、一链条总长为l,质量为m。放在桌面上并使其 一部分下垂,下垂的长度为a,设链条与桌面的滑动 摩擦系数为μ,令链条从静止开始运动,则:(1)到 链条离开桌面的过程中,摩擦力对链条做了多少功? (2)链条离开桌面时的速率是多少? I-a 解:(1)建坐标系如图 摩擦力f=(-x)g W,=F dr=5-n(-xodox n1切)1 ung X m(-a2注意:摩擦 2l 力作负功! (下一页)
例4、一链条总长为l ，质量为m 。放在桌面上并使其 一部分下垂，下垂的长度为a ，设链条与桌面的滑动 摩擦系数为 ，令链条从静止开始运动，则：（1）到 链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？ （2）链条离开桌面时的速率是多少？ a l-a x 解： O (1) 建坐标系如图 注意：摩擦 力作负功！ l x dx l mg W f dr l a l a f = = − ( − ) 2 2 ( ) 2 )] 2 1 [ ( l a l m g lx x l m g l = − a = − − （下一页） l x g l m 摩擦力 f = ( − )
(2)对链条应用动能定理: ∑W=Hn+Hy=2m-=2m 0: Wp+y, 重力作功W2=(P=(m3=mg(-a 21 前已得出:W umg(l-a 2l m1g(2-a2)mg(-a)21 Ql 21 得 (2-a2)-(l-a)2] 口(下面学习功能原理)
(2) 对链条应用动能定理： 2 0 2 2 1 2 1 W W W mv mv = p + f = − 2 0 2 1 v 0 W W mv = p + f = 2 2 2 2 2 1 2 ( ) 2 ( ) mv l mg l a l mg l a = − − − [( ) ( ) ] 2 2 2 l a l a l g 得v = − − − 前已得出： l mg l a Wf 2 ( ) 2 − = − （下面学习功能原理） l mg l a xdx l mg W P dr l a l a p 2 ( ) 2 2 − = = = 重力作功
3-6、机械能守恒定律能量守恒与转换定律 1、质点系的功能原理 质点系的动能定理:W外+W内= EkB-EkA 因为 内W保内十W保内 所以W外十W保内十W我保内EB-EkA 又因为W保内 ED-E PA PB 所以 W+W若保内=(EB+EPB)-(Ek4+EPA 定义E=Ek+EP 机械能 W外+W若保内=EB-EA 质点系在运动过程中,它所受外力的功与系统内非保守力 的功的总和等于其机械能的增量。称为功能原理。 □(下一页)
3-6、机械能守恒定律 能量守恒与转换定律 1、质点系的功能原理 质点系的动能定理：W外+W内=EkB - EkA 因为 W内=W保内＋W非保内 所以 W外+ W保内＋W非保内= EkB - EkA 又因为 W保内＝EPA－EPB 所以 W外＋ W非保内＝ (EkB+EPB )-(EkA +EPA) 定义 E＝Ek + EP ---------- 机械能 即 W外＋ W非保内＝EB - EA 质点系在运动过程中，它所受外力的功与系统内非保守力 的功的总和等于其机械能的增量。称为功能原理。 （下一页）
2、机械能守恒定律W外+W指保内=EB-EA 如果W外=0我保内=0 →W+形 非保内=0则EB=EA=常量 在只有保守内力做功的情况下,质点系的机械能保持不变。 3、§3-8能量守恒定律 注能量表示状态 封闭系统:不受外界作用的系统意功代表过程 封闭系统内有非保守力做功时,机械能不守恒, 能量的形式可能变化,也可能在物体之间转移 一个封闭系统内经历任何变化时,该系统的所有 能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。 匈(下一页)
2、机械能守恒定律 W外＝0 W非保内＝0 则EB ＝ EA＝常量 如果 在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。 3、 §3-8 能量守恒定律 封闭系统内有非保守力做功时，机械能不守恒， 能量的形式可能变化，也可能在物体之间转移。 一个封闭系统内经历任何变化时，该系统的所有 能量的总和保持不变。这是普遍的能量守恒定律。 注 能量表示状态 意 功代表过程 W外＋ W非保内＝EB - EA 封闭系统：不受外界作用的系统。 W外 +W非保内 = 0 （下一页）
说明: 1、机械能守恒的条件:作用于质点系的外力和非保 守内力不作功(W外+W我屏内0)或只有保守 内力作功。 2、机械能守恒:系统的总机械能不变。而质点系 内的动能和势能都不是不变的,二者之间的转换 是通过系统内的保守力作功来实现的。 3、要区分功、能两种概念 功是能量变化的量度,能是物体具有的作功本领。 能是状态量,功是过程量 (继续)
说明： 1、机械能守恒的条件：作用于质点系的外力和非保 守内力不作功 （ W外+W非保内= 0 ）或 只有保守 内力作功。 2、机械能守恒：系统的总机械能不变。而质点系 内的动能和势能都不是不变的，二者之间的转换 是通过系统内的保守力作功来实现的。 3、要区分功、能两种概念， 功是能量变化的量度，能是物体具有的作功本领。 能是状态量，功是过程量。 （继续）
4、53-8能量转化与守恒定律 量的方面 是指封闭系统物质运动的总能始终保持不变,既不能 增加(创造),也不能减少(消灭)。 质的方面 是指眢种形式的能量〔机械能、热能、电能、光能、 化学能、核能等)可以互相转化。物质的一种运动形 式转化为另一种运动形式的能力是永恒的,这种转化 能力是物质本身所固有的。 这个定律的发现是十九世纪自然科学的三大发现之 化学上有个物质不灭定律;近代科学,相对论的 一个重要结论是质能守恒。质能关系式:E=mc2 (下一页)
4、§3-8 能量转化与守恒定律 量的方面： 是指封闭系统物质运动的总能始终保持不变，既不能 增加（创造），也不能减少（消灭）。 质的方面： 是指各种形式的能量（机械能、热能、电能、光能、 化学能、核能等）可以互相转化。物质的一种运动形 式转化为另一种运动形式的能力是永恒的，这种转化 能力是物质本身所固有的。 这个定律的发现是十九世纪自然科学的三大发现之一。 化学上有个物质不灭定律；近代科学，相对论的 一个重要结论是质能守恒。质能关系式：E = mc2 。 （下一页）