第十三章光的衍射 习题精选及参考答案 1一单色平行光垂直照射一单缝,若其第三级明条纹位置正好与6000A的单色平行光的第 二级明条纹位置重合,求前一种单色光的波长 解:单缝衍射的明纹公式为 asn=(2k+1)2 当λ=6000A时,k=2 =时,k=3 重合时φ角相同,所以有 6000 aip=(2x2+)2=(2×3+) 12==×600=4286A 2单缝宽0.10m,透镜焦距为50cm,用A=5000的绿光垂直照射单缝.求:()位于透 镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中 (n=1.33),中央明条纹的半角宽度又为多少? 解:中央明纹的宽度为△x=2f 半角宽度为=sm-12 (1)空气中,n=1,所以 5000×10-10 △x=2×0.5 0.10×10-3=50×10-3m 6=sn-5000×10-0 5.0×10-3rad 0.10×10 (2)浸入水中,n=1.3,所以有 5000×10-0 △x=2×0.50 ≈3.76×10-3m 1.33×0.10×10 =sin-5000×10-10 33×0.1×10-3 3用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=060mm的单缝,缝后凸透镜的焦距f=400cm,观察 屏幕上形成的衍射条纹.若屏上离中央明条纹中心140mm处的P点为一明条纹:求:(1)入射 光的波长:(2P点处条纹的级数:(3)从P点看,对该光波而言,狭缝处的波面可分成几个半波
第十三章 光的衍射 习题精选及参考答案 1 一单色平行光垂直照射一单缝，若其第三级明条纹位置正好与6000 ο A 的单色平行光的第 二级明条纹位置重合，求前一种单色光的波长． 解：单缝衍射的明纹公式为 asin = (2k +1) 2 当 = 6000 o A 时， k = 2 = x 时， k = 3 重合时 角相同，所以有 (2 3 1) 2 6000 asin = (22 +1) = + 2 x 得 6000 4286 7 5 x = = o A 2 单缝宽0.10mm，透镜焦距为50cm，用 = 5000 o A 的绿光垂直照射单缝．求：(1)位于透 镜焦平面处的屏幕上中央明条纹的宽度和半角宽度各为多少?(2)若把此装置浸入水中 (n=1.33)，中央明条纹的半角宽度又为多少? 解：中央明纹的宽度为 f na x = 2 半角宽度为 na 1 sin − = (1)空气中， n =1 ，所以 3 3 10 5.0 10 0.10 10 5000 10 2 0.5 − − − = x = m 3 3 10 1 5.0 10 0.10 10 5000 10 sin − − − − = = rad (2)浸入水中， n =1.33 ，所以有 3 3 10 3.76 10 1.33 0.10 10 5000 10 2 0.50 − − − x = m 3 3 10 1 3.76 10 1.33 0.1 10 5000 10 sin − − − − = rad 3 用橙黄色的平行光垂直照射一宽为a=0.60mm的单缝，缝后凸透镜的焦距f=40.0cm，观察 屏幕上形成的衍射条纹．若屏上离中央明条纹中心1.40mm处的P点为一明条纹；求：(1)入射 光的波长；(2)P点处条纹的级数；(3)从P点看，对该光波而言，狭缝处的波面可分成几个半波
(1)由于P点是明纹,故有asnq=(2k+1),k=1,2,3 由 =3.5×10=tang≈snq f400 故 2asnq2×0.6 一×3.5×10 k+12k+1 4.2×10-3mm 当k=3,得A3=6000A k=4,得A4=4700A (2)若A3=6000A,则P点是第3级明纹 若A1=4700A,则P点是第4级明纹 (3)由aSn=(2k+1)可知, k=3时,单缝处的波面可分成2k+1=7个半波带 k=4时,单缝处的波面可分成2k+1=9个半波带 4用λ=5900A的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上,问最多能看到第几级明 条纹? 解:a+b=-mm=20×10-3mm=20×10+A 500 由(a+b)Sn=k知,最多见到的条纹级数k对应的o2 所以有k=a+b20×10 59003.39,即实际见到的最高级次为k=3 5波长为5000A的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上,光栅后的透镜焦距 为60cm.求:(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距;(2)当光线与光栅法线成 0°斜入射时,中央明条纹的位移为多少? b==50×10-3mm5.0×10-6m (1)由光栅衍射明纹公式 (a+b)sn=k,因k=1,又sing=tanq=
带? 解：(1)由于 P 点是明纹，故有 2 sin (2 1) a = k + ， k = 1,2,3 由 3.5 10 tan sin 400 1.4 3 = = = − f x 故 3 3.5 10 2 1 2 0.6 2 1 2 sin − + = + = k k a 3 4.2 10 2 1 1 − + = k mm 当 k = 3 ，得 3 = 6000 o A k = 4 ，得 4 = 4700 o A (2)若 3 = 6000 o A ，则 P 点是第 3 级明纹； 若 4 = 4700 o A ，则 P 点是第 4 级明纹． (3)由 2 sin (2 1) a = k + 可知， 当 k = 3 时，单缝处的波面可分成 2k +1= 7 个半波带； 当 k = 4 时，单缝处的波面可分成 2k +1= 9 个半波带． 4 用 = 5900 o A 的钠黄光垂直入射到每毫米有500条刻痕的光栅上，问最多能看到第几级明 条纹? 解： 500 1 a + b = mm 3 2.0 10− = mm 4 2.0 10− = o A 由 (a + b)sin = k 知，最多见到的条纹级数 max k 对应的 2 = , 所以有 3.39 5900 2.0 104 max = + = a b k ，即实际见到的最高级次为 kmax = 3 . 5 波长为5000 o A 的平行单色光垂直照射到每毫米有200条刻痕的光栅上，光栅后的透镜焦距 为60cm． 求：(1)屏幕上中央明条纹与第一级明条纹的间距；(2)当光线与光栅法线成 30°斜入射时，中央明条纹的位移为多少? 解： 3 5.0 10 200 1 − a + b = = mm 6 5.0 10− m (1)由光栅衍射明纹公式 (a + b)sin = k ，因 k =1,又 f x sin = tan =
所以有(a+b)x=2 5000×10-0×60×10 a+b 0×10 60×10-2m=6cm (2)对应中央明纹,有k=0 正入射时,(a+b)np=0,所以snp≈=0 斜入射时,(a+bsiφ±snO)=0,即snφ±snb=0 因6=30,∴sing≈tanq=2=± 故x=f=×60×10-2=30×10 o cm 2 2 这就是中央明条纹的位移值。 6波长λ=6000A的单色光垂直入射到一光栅上,第二、第三级明条纹分别出现在 inφ=0.20与snφ=0.30处,第四级缺级.求:(1)光栅常数:(2)光栅上狭缝的宽度 (3)在90°>@>-90°范围内,实际呈现的全部级数 解:(1)由(a+b)snp=k式 对应于snq1=0.20与sn2=0.30处满足 0.20(a+b)=2×6000×10-0 0.30(a+b)=3×6000×10-0 a+b=60×10-6m (2)因第四级缺级,故此须同时满足 (a +b)sin = kn asin p=k2 b 解得 k’=1.5×10-°k 取k'=1,得光栅狭缝的最小宽度为1.5×106m
所以有 + = f x a b 1 ( ) 即 6 10 2 1 5.0 10 5000 10 60 10 − − − = + = a b f x 2 6.0 10− = m = 6 cm (2)对应中央明纹，有 k = 0 正入射时， (a + b)sin = 0 ，所以 sin = 0 斜入射时， (a + b)(sin sin ) = 0 ，即 sin sin = 0 因 = 30 ，∴ 2 1 sin tan = = f x 故 2 2 60 10 30 10 2 1 2 1 − − x = f = = m = 30 cm 这就是中央明条纹的位移值。 6 波长 = 6000 o A 的单色光垂直入射到一光栅上，第二、第三级明条纹分别出现在 sin = 0.20 与 sin = 0.30 处，第四级缺级．求：(1)光栅常数；(2)光栅上狭缝的宽度； (3)在90°＞ ＞-90°范围内，实际呈现的全部级数． 解：(1)由 (a + b)sin = k 式 对应于 sin1 = 0.20 与 sin 2 = 0.30 处满足： 10 0.20( ) 2 6000 10− a + b = 10 0.30( ) 3 6000 10− a + b = 得 6 6.0 10− a + b = m (2)因第四级缺级，故此须同时满足 (a + b)sin = k asin = k 解得 k k a b a = + = −6 1.5 10 4 取 k =1 ，得光栅狭缝的最小宽度为 6 1.5 10− m
(3)由(a+b)snp=k (a+b)sin 当 对应k=k a 6000×10 因±4,±8缺级,所以在-90°<g<90°范围内实际呈现的全部级数为 k=0,±1,+2,±3,±5±6±7,±9共15条明条纹(k=±10在k=±90处看不到) 7已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10°rad,它们都发出波长为5500A的 光,试问望远镜的口径至少要多大,才能分辨出这两颗星? 解:由最小分辨角公式 6=1.22 5×10 4.84×10
(3)由 (a + b)sin = k (a b)sin k + = 当 2 = ，对应 max k = k ∴ 10 6000 10 6.0 10 10 6 max = = + = − − a b k 因 4 ， 8 缺级，所以在 − 90 90 范围内实际呈现的全部级数为 k = 0,1,2,3,5,6,7,9 共 15 条明条纹( k = 10 在 k = 90 处看不到)． 7 已知天空中两颗星相对于一望远镜的角距离为4.84×10-6 rad，它们都发出波长为5500 o A 的 光，试问望远镜的口径至少要多大，才能分辨出这两颗星? 解：由最小分辨角公式 D = 1.22 ∴ 13.86 4.84 10 5.5 10 1.22 1.22 6 5 = = = − − D cm