第十章电磁感应 习题精选及参考答案 1一半径r=10cm的圆形回路放在B=0.8的均匀磁场中.回路平面与B垂直.当回路半 径以恒定速率=80cm·s收缩时,求回路中感应电动势的大小 解:回路磁通 ①n=BS=Bmr2 感应电动势大小 d④d (Bxr2)=B2r=040V 题2图 2如题2所示,在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向 相反、大小相等,且电流以一的变化率增大,求: (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量; (2)线圈中的感应电动势 解:以向外磁通为正则 (1) 广"r-r"r=hlb+a-h4 2 d+a 3如题3图所示,长直导线通以电流Ⅰ=5A,在其右方放一长方形线圈,两者共面.线圈长 b=0.06m,宽a=0.04m,线圈以速度v=0.03m·s垂直于直线平移远离.求:d=0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向 题3图 解:AB、CD运动速度ν方向与磁力线平行,不产生感应电动势 DA产生电动势
第十章 电磁感应 习题精选及参考答案 1 一半径 r =10cm 的圆形回路放在 B =0.8T的均匀磁场中．回路平面与 B 垂直．当回路半 径以恒定速率 t r d d =80cm·s -1 收缩时，求回路中感应电动势的大小． 解: 回路磁通 2 BS Bπ r m = = 感应电动势大小 0.40 d d ( π ) 2π d d d d 2 = = = = t r B r B r t t m V 题 2 图 2 如题2所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈．两导线中的电流方向 相反、大小相等，且电流以 t I d d 的变化率增大，求： (1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势． 解: 以向外磁通为正则 (1) [ln ln ] 2π d 2π d 2π 0 0 0 d d a b Il b a l r r I l r r b a I b d a d m + − + = − = + + (2) t I b b a d l d a t d d [ln ln ] d 2π d 0 + − + = − = 3 如题3图所示，长直导线通以电流 I =5A，在其右方放一长方形线圈，两者共面．线圈长 b =0.06m，宽 a =0.04m，线圈以速度 v =0.03m·s -1 垂直于直线平移远离．求： d =0.05m 时线圈中感应电动势的大小和方向． 题 3 图 解: AB 、CD 运动速度 v 方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA 产生电动势
BC产生电动势 =(×B,d=-b ∴回路中总感应电动势 6+2=地b/1 dd)=16×1 方向沿顺时针 4长度为l的金属杆ab以速率v在导电轨道abcd上平行移动.已知导轨处于均匀磁场B中, B的方向与回路的法线成60°角(如题4图所示),B的大小为B=kt(k为正常).设t=0时 杆位于cd处,求:任一时刻t导线回路中感应电动势的大小和方向 解 Φn=「B.dS= Bhut cos60°=kr2h=khr2 E m=-kIvt 即沿abcd方向顺时针方向. 题4图 题5图 5导线ab长为l,绕过O点的垂直轴以匀角速O转动,aO=磁感应强度B平行于转轴, 如图5所示.试求: (1)ab两端的电势差 (2)a,b两端哪一点电势高? 解:(1)在Ob上取r→+d一小段 2B 同理 Eoa=orBdr=i./
= = = A D I v B l vBb v b 2 d ( ) d 0 1 BC 产生电动势 2π ( ) ( ) d 0 2 a d I v B l v b C B + = = − ∴回路中总感应电动势 0 8 1 2 ) 1.6 10 1 1 ( 2π − = + = + = − d d a Ibv V 方向沿顺时针． 4 长度为 l 的金属杆 ab 以速率v在导电轨道 abcd 上平行移动．已知导轨处于均匀磁场 B 中， B 的方向与回路的法线成60°角(如题4图所示)， B 的大小为 B = kt ( k 为正常)．设 t =0时 杆位于 cd 处，求：任一时刻 t 导线回路中感应电动势的大小和方向． 解: = = = = 2 2 2 1 2 1 B dS Blvt cos60 k t lv klvt m ∴ klvt t m = − = − d d 即沿 abcd 方向顺时针方向． 题 4 图 题 5 图 5 导线 ab 长为 l ，绕过 O 点的垂直轴以匀角速 转动， aO = 3 l 磁感应强度 B 平行于转轴， 如图5所示．试求： （1） ab 两端的电势差； （2） a,b 两端哪一点电势高? 解: (1)在 Ob 上取 r →r + dr 一小段 则 = = 3 2 0 2 9 2 d l Ob l B rB r 同理 = = 3 0 2 18 1 d l Oa rB r Bl
12 E=e+E 即U b点电势高. 6半径为R的直螺线管中,有一>0的磁场,一任意闭合导线abc,一部分在螺线管内绷 dt 直成b弦,a,b两点与螺线管绝缘,如题6图所示.设ab=R,试求:闭合导线中的感应 电动势 解:如图,闭合导线abca内磁通量 R2√3R B B R2) >0 ∴E,<0,即感应电动势沿acb,逆时针方向 B× O ×、 题6图 7一矩形线圈长为a=20cm,宽为b=10cm,由100匝表面绝缘的导线绕成,放在一无限长导 线的旁边且与线圈共面.求:题7图中(a)和(b)两种情况下,线圈与长直导线间的互感 解:(a)见题7图(a),设长直电流为Ⅰ,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为 Hola r2b dr uola pi2=LB In 2 o Nh2=28×10-6H (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通中2=0,见题7图(b)
∴ 2 2 6 1 ) 9 2 18 1 ( B l B l a b = aO + Ob = − + = (2)∵ ab 0 即 Ua −Ub 0 ∴ b 点电势高． 6 半径为R的直螺线管中，有 dt dB ＞0的磁场，一任意闭合导线 abca ，一部分在螺线管内绷 直成 ab 弦， a , b 两点与螺线管绝缘，如题6图所示．设 ab = R ，试求：闭合导线中的感应 电动势． 解：如图，闭合导线 abca 内磁通量 ) 4 3 6 π ( 2 2 R R m = B S = B − ∴ t B R R i d d ) 4 3 6 π ( 2 2 = − − ∵ 0 d d t B ∴ i 0 ，即感应电动势沿 acba ，逆时针方向． 题 6 图 7 一矩形线圈长为 a =20cm，宽为 b =10cm，由100匝表面绝缘的导线绕成，放在一无限长导 线的旁边且与线圈共面．求：题7图中(a)和(b)两种情况下，线圈与长直导线间的互感． 解：(a)见题 7 图(a)，设长直电流为 I ，它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为 ln 2 2π d 2π d 0 2 0 ( ) 12 Ia r Ia r B S b S b = = = ∴ 12 0 6 ln 2 2.8 10 2π − = = = a N I N M H (b)∵长直电流磁场通过矩形线圈的磁通 12 = 0 ，见题 7 图(b) ∴ M = 0
题8图 8两根平行长直导线,横截面的半径都是a,中心相距为d,两导线属于同一回路.设两导 线内部的磁通可忽略不计,证明:这样一对导线长度为l的一段自感为 L 解:如图8图所示,取dS=ldr 则 In I'I (d-r d-a L 两线圈顺串联后总自感为1.OH,在它们的形状和位置都不变的情况下,反串联后总自感为 0.4H.试求:它们之间的互感 解:∵顺串时L=L+L2+2M 反串联时L=L+L2-2M L-L=4M L-L' -=0.15H 题10图 10一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示,共有N匝.试求 (1)此螺线环的自感系数 (2)若导线内通有电流I,环内磁能为多少? 解:如题10图示 (1)通过横截面的磁通为
题 7 图 题 8 图 8 两根平行长直导线，横截面的半径都是 a ，中心相距为 d ，两导线属于同一回路．设两导 线内部的磁通可忽略不计，证明：这样一对导线长度为 l 的一段自感为 l L 0 = In a d − a ． 解： 如图 8 图所示，取 dS = ldr 则 − − − − − = − = − − = + d a a d a a d a d a Il d a r r r Il l r r I rπ I (ln ln ) 2π )d d 1 1 ( 2π ) d 2 2π (d ) ( 0 0 0 0 a Il d − a = ln π 0 ∴ a l d a I L − = = ln π 0 9 两线圈顺串联后总自感为1.0H，在它们的形状和位置都不变的情况下，反串联后总自感为 0.4H．试求：它们之间的互感． 解： ∵顺串时 L = L1 + L2 + 2M 反串联时 L = L1 + L2 − 2M ∴ L − L = 4M 0.15 4 = − = L L M H 题 10 图 10 一矩形截面的螺绕环如题10-19图所示，共有N匝．试求： (1)此螺线环的自感系数； (2)若导线内通有电流 I ，环内磁能为多少? 解：如题 10 图示 (1)通过横截面的磁通为
磁链y=M= LoN In y n-h In NIh b 4 11一无限长圆柱形直导线,其截面各处的电流密度相等,总电流为.求:导线内部单位 长度上所储存的磁能 解:在r<R时B=0 2TR 2408π2R4 d=2πudr(∵导线长l=1) W=Mm, emdr=RAo/rdr 4πR16
= = b a a NIh b h r r NI ln 2π d 2 π 0 0 磁链 a N Ih b N ln 2π 2 0 = = ∴ a N h b I L ln 2π 2 0 = = (2)∵ 2 2 1 W LI m = ∴ a N I h b Wm ln 4π 2 2 0 = 11 一无限长圆柱形直导线，其截面各处的电流密度相等，总电流为 I ．求：导线内部单位 长度上所储存的磁能． 解：在 r R 时 2 0 2πR I B r = ∴ 2 4 2 2 0 0 2 2 8π R B I r wm = = 取 dV = 2πrdr (∵导线长 l =1 ) 则 = = = R R m I R I r r W w r r 0 0 2 0 4 2 3 0 4π 16π d 2 d