第四章机械振动 习题精选及参考答案 1质量为10×10kg的小球与轻弹簧组成的系统,按x=0.1cos(8z+-)(SD的规律 作谐振动,求: (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值 (②)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能,在哪些位置上动能与势能相等? (3)12=5s与1=ls两个时刻的位相差 解:(1)设谐振动的标准方程为x=Acos(or+),则知 A=0.m,O=8r.72 =2s3=2n/3 vm=aA=0.8 m s=2.51 ms am=oA632 m-s" Fml=am=0.63N 3.16×10-J En=EA=-E=158×10-2J 当Ek=E时,有E=2En, kA ±一二A=± (3) △p=(12-1)=8m(5-1)=32丌 2一个沿x轴作简谐振动的弹簧振子,振幅为A,周期为T,其振动方程用余弦函数表 示.如果t=0时质点的状态分别是: (1)x0=-A (2)过平衡位置向正向运动; (3)过x=处向负向运动 (4)过x=-一=处向正向运动
第四章 机械振动 习题精选及参考答案 1 质量为 10 10 kg −3 的小球与轻弹簧组成的系统，按 ) (SI) 3 2 0.1cos(8 x = + 的规律 作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等? (3) 5s t 2 = 与 1s t 1 = 两个时刻的位相差； 解：(1)设谐振动的标准方程为 cos( ) = +0 x A t ，则知： s, 2 / 3 4 2 1 0.1m, 8 , 0 A = = T = = = 又 vm =A = 0.8 1 m s − = 2.51 1 m s − 63.2 2 am = A = 2 m s − (2) Fm = am = 0.63N 3.16 10 J 2 1 2 −2 E = mvm = 1.58 10 J 2 1 −2 E p = Ek = E = 当 Ek = Ep 时，有 E = 2Ep ， 即 ) 2 1 ( 2 1 2 1 2 2 kx = kA ∴ m 20 2 2 2 x = A = (3) =(t 2 −t 1 ) = 8(5−1) = 32 2 一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为 T ，其振动方程用余弦函数表 示．如果 t = 0 时质点的状态分别是： (1) x0 = −A ； (2)过平衡位置向正向运动； (3)过 2 A x = 处向负向运动； (4)过 2 A x = − 处向正向运动．
试求出相应的初位相,并写出振动方程 解:因为 v 中 将以上初值条件代入上式,使两式同时成立之值即为该条件下的初位相.故有 中1=xx=Acos(mt+丌) =-丌 AcoS(-t+-丌) 3一质量为10×10-3kg的物体作谐振动,振幅为24cm,周期为40s,当t=0时位移为 +24cm.求 (1)t=0.5s时,物体所在的位置及此时所受力的大小和方向 (2)由起始位置运动到x=12cm处所需的最短时间 (3)在x=12cm处物体的总能量 解:由题已知 A=24×10-m,T=40s 0.5丌rad 又,t=0时 =0 故振动方程为 x=24x10-cos(0.5m)n (1)将t=0.5s代入得 24×102cos(0.5m)m=0.7T F 10×10-3×()2×0.17=-42×10-N 方向指向坐标原点,即沿x轴负向 (2)由题知,t=0时,=0 ,且v<0,故 (3)由于谐振动中能量守恒,故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
试求出相应的初位相，并写出振动方程． 解：因为 = − = 0 0 0 0 sin cos v A x A 将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有 ) 2 cos( 1 = = t + T x A ) 2 2 3 cos( 2 3 2 = = t + T x A ) 3 2 cos( 3 3 = = t + T x A ) 4 2 5 cos( 4 5 4 = = t + T x A 3 一质量为 10 10 kg −3 的物体作谐振动，振幅为 24cm ，周期为 4.0s ，当 t = 0 时位移为 + 24cm ．求： (1) t = 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x =12cm 处所需的最短时间； (3)在 x =12cm 处物体的总能量． 解：由题已知 24 10 m, 4.0s 2 = = − A T ∴ 1 0.5 rad s 2 − = = T 又， t = 0 时， x0 = +A,0 = 0 故振动方程为 24 10 cos(0.5 )m 2 x t − = (1)将 t = 0.5s 代入得 24 10 cos(0.5 )m 0.17m 2 0.5 = = − x t ) 0.17 4.2 10 N 2 10 10 ( 3 2 3 2 − − = − = − = − = − F ma m x 方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向． (2)由题知， t = 0 时， 0 = 0 ， t = t 时 3 , 0, 2 0 = + v t = A x 且 故 ∴ s 3 2 2 / 3 = = = t (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
E=一kA、1 o 10×10-()2×(02 7.1×10-4J 4图为两个谐振动的x-t曲线,试分别写出其谐振动方程 A(s) 题4图 解:由题4图(a),∵t=0时,x0=0,V>0,…=丌,又,A=10cm,7=2s 2 T 丌rad.s 3 x,=0. 1 cos(t+-T) 由题48图(b)∵t=0时,xb1>0,:=5z 0时 0,v1<0,中=2r 2 55 中1=×1+x==丌 0. lcos(-r+-)m 5有两个同方向、同频率的简谐振动,其合成振动的振幅为0.20m,位相与第一振动的位 相差为一,已知第一振动的振幅为0.173m,求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的 位相差 题5图 解:由题意可做出旋转矢量图如下 由图知
7.1 10 J ) (0.24) 2 10 10 ( 2 1 2 1 2 1 4 3 2 2 2 2 2 − − = = = = E kA m A 4 图为两个谐振动的 x −t 曲线，试分别写出其谐振动方程． 题4图 解：由题4图(a)，∵ t = 0 时， , , 10cm, 2s 2 3 0, 0, x0= v0 0 = 又 A = T = 即 1 rad s 2 − = = T 故 )m 2 3 xa = 0.1cos(t + 由题4-8图(b)∵ t = 0 时， 3 5 , 0, 2 0 0 0 = v = A x t 1 = 0 时， 2 1 0, 1 0, 1 2 x = v = + 又 2 5 3 5 1 = 1+ = ∴ 6 5 = 故 xb t )m 3 5 6 5 0.1cos( = + 5 有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m ，位相与第一振动的位 相差为 6 ，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振动的 位相差． 题5图 解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
A2=A2+A2-2A1Acos30° =(0.173)2+(02)2-2×0.173×02×√3/2 0.01 A2=0. 设角A4O为O es=4+4-2=(013)+01)2-(002 2A1A2 2×0.173×0.1 即θ=x,这说明,A与A2间夹角为,即二振动的位相差为x 6一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动,振动方程为 x,=0.4 cos(2t+-)m x2=0.3c0s(2t-x)m 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相,并写出谐振方程。 △φ =|A-A|=0 04 0.3sn tan A 2 cos 91+ A2 cos p2 0.4cos I+0.3cOS 5T 3 其振动方程为 x=0.lcos(21+-)m (作图法略) 7如题7图所示,两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆,已知x方向的振动方程为 x=6c0s2mm,求y方向的振动方程
0.01 (0.173) (0.2) 2 0.173 0.2 3 / 2 2 cos30 2 2 1 2 2 1 2 2 = = + − A = A + A − A A ∴ A2 = 0.1m 设角 AA1O为 ，则 2 1 2 cos 2 2 2 1 2 A = A + A − A A 即 0 2 0.173 0.1 (0.173) (0.1) (0.02) 2 cos 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 = + − = + − = A A A A A 即 2 = ，这说明， A1 与 A2 间夹角为 2 ，即二振动的位相差为 2 . 6 一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为 = − = + )m 6 5 0.3cos(2 )m 6 0.4cos(2 2 1 x t x t 试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。 解：∵ = − − ) = 6 5 ( 6 ∴ A合 = A1 − A2 = 0.1m 3 3 6 5 0.3cos 6 0.4cos 6 5 0.3sin 6 0.4 sin cos cos sin sin tan 2 1 2 2 1 1 2 2 = + − = + + = A A A A ∴ 6 = 其振动方程为 )m 6 0.1cos(2 x = t + (作图法略) 7 如题7图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 x 方向的振动方程为 x = 6cos2tcm ，求 y 方向的振动方程．
题7图 解:因合振动是一正椭圆,故知两分振动的位相差为或一;又,轨道是按顺时针方向旋 转,故知两分振动位相差为.所以y方向的振动方程为 y=12 cos(2Tt+-)cm
题7图 解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 2 或 2 3 ；又，轨道是按顺时针方向旋 转，故知两分振动位相差为 2 .所以 y 方向的振动方程为 )cm 2 12cos(2 y = t +