第五章机械波 习题精选及参考答案 1一平面简谐波沿x轴负向传播,波长A=1.0m,原点处质点的振动频率为v=2.0Hz,振 幅A=0.1m,且在1=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动,求此平面波的波动方程 解:由题知t=0时原点处质点的振动状态为y0=0.,vo<0,故知原点的振动初相为,取 波动方程为y=Acos{2丌(+)+中]则有 y=01cos2(2+3)+x =0.1cos(4m+2丌+")m 2已知波源在原点的一列平面简谐波,波动方程为y=Acos(B-Cx),其中A,B,C为 正值恒量.求 (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长 (2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程 (3)任一时刻,在波的传播方向上相距为d的两点的位相差 解:(1)已知平面简谐波的波动方程 y=Acos(Bt-Cx)(x≥0) 将上式与波动方程的标准形式 Acos(2丌Ur 比较,可知: 波振幅为A,频率BB 波长22,波速u=MD分 波动周期712丌 D B (2)将x=l代入波动方程即可得到该点的振动方程 y=Acos( Bt-C7) (3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 x,-x1 将x2-x=d,及2=代入上式,即得 △p=Ca
第五章 机械波 习题精选及参考答案 1 一平面简谐波沿 x 轴负向传播，波长 =1.0 m，原点处质点的振动频率为 =2. 0 Hz，振 幅 A ＝0.1m，且在 t =0 时恰好通过平衡位置向 y 轴负向运动，求此平面波的波动方程． 解: 由题知 t = 0 时原点处质点的振动状态为 y0 = 0,v0 0 ，故知原点的振动初相为 2 ,取 波动方程为 cos[2 ( ) ] 0 = + + x T t y A 则有 ] 2 ) 1 0.1cos[2 (2 = + + x y t ) 2 0.1cos(4 2 = t + x + m 2 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为 y = A cos( Bt −Cx )，其中 A ，B ，C 为 正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长； (2)写出传播方向上距离波源为 l 处一点的振动方程； (3)任一时刻，在波的传播方向上相距为 d 的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程 y = Acos(Bt −Cx) ( x 0 ) 将上式与波动方程的标准形式 cos(2 2 ) x y = A t − 比较，可知： 波振幅为 A ，频率 2 B = ， 波长 C 2 = ，波速 C B u = = ， 波动周期 B T 1 2 = = ． (2)将 x = l 代入波动方程即可得到该点的振动方程 y = Acos(Bt − Cl) (3)因任一时刻 t 同一波线上两点之间的位相差为 ( ) 2 2 1 = x − x 将 x2 − x1 = d ，及 C 2 = 代入上式，即得 = Cd ．
3一列平面余弦波沿x轴正向传播,波速为5m·s,波长为2m,原点处质点的振动曲线如题 图所示 (1)写出波动方程; (2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线 解:(1)由题3(a)图知,A=0.1m,且t=0时,yo=0,vo>0,∴ 又0/225Hz,则a=2U=57 t(s) 题3图(a) 取y=Acos[o(t--)+], 则波动方程为 y=0.Icos 5T(t-=+)Im (2)t=0时的波形如题3(b)图 0.1 O/0.20.4/0.6t(s) 题3图(b) 题3图(c) 将x=05m代入波动方程,得该点处的振动方程为 5丌×0.53 y=0.1 cos(5nt )=0.Icos(5rt+T) 0.5 4如题4图所示,已知t=0时和t=0.5时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b),波沿x轴正 向传播,试根据图中绘出的条件求: (1)波动方程; (2)P点的振动方程 解:(1)由题4图可知,A=0.1m,元=4m,又,t=0时,yo=0,v<0,∴中 而t Mt0.5 14 =0.5Hz 故波动方程为 y=0.lcos[丌(t-)+]m (2)将 m代入上式,即得P点振动方程为
3 一列平面余弦波沿 x 轴正向传播，波速为5m·s -1，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题 3图所示． (1)写出波动方程； (2)作出 t =0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线． 解: (1)由题 3(a)图知， A = 0.1 m，且 t = 0 时， y0 = 0,v0 0 ，∴ 2 3 0 = ， 又 2.5 2 5 = = = u Hz ，则 = 2 = 5 题 3 图(a) 取 cos[ ( ) ] = − +0 u x y A t ， 则波动方程为 )] 2 3 5 0.1cos[5 ( = − + x y t m (2) t = 0 时的波形如题 3(b)图 题 3 图(b) 题 3 图(c) 将 x = 0.5 m 代入波动方程，得该点处的振动方程为 ) 0.1cos(5 ) 2 3 0.5 5 0.5 0.1cos(5 + = + y = t − t m 4 如题4图所示，已知 t =0时和 t =0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿 x 轴正 向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程； (2) P 点的振动方程． 解: (1)由题 4 图可知， A = 0.1m ， = 4 m ，又， t = 0 时， y0 = 0,v0 0 ，∴ 2 0 = ， 而 2 0.5 1 = = = t x u 1 m s − ， 0.5 4 2 = = = u Hz ，∴ = 2 = 故波动方程为 ] 2 ) 2 0.1cos[ ( = − + x y t m (2)将 xP =1 m 代入上式，即得 P 点振动方程为
y=0.Icos[(nt-+J=0.Icos nt m 题4图 5已知平面简谐波的波动方程为y= A cos z(4t+2x)(SI (1)写出【=4.2s时各波峰位置的坐标式,并求此时离原点最近一个波峰的位置,该波峰何 时通过原点? (2)画出t=4.2s时的波形曲线 解:(1)波峰位置坐标应满足 解得x=(k-84)m(k=0,±1,±2,…) 所以离原点最近的波峰位置为-04m ∵4m+2mt=ot+ 故知u=2m·s-l, 0402s,这就是说该波峰在02s前通过原点,那么从计时时刻算起,则应 2 是42-0.2=4s,即该波峰是在4s时通过原点的. O0.1/0.61.1 题5图 (2)∵=4,l=2ms,:=l≈a,2=1m,又x=0处,t=42s时, 4.2×4丌=16.8 y=Acos4x×42=-0.8A 又,当y=-A时,中=17x,则应有 16.8x+2mx=17 解得X=0.1m,故t=4.2s时的波形图如题5图所示
y t t )] 0.1cos 2 2 = 0.1cos[( − + = m 题 4 图 5 已知平面简谐波的波动方程为 y = Acos (4t + 2x) (SI)． (1)写出 t =4.2 s时各波峰位置的坐标式，并求此时离原点最近一个波峰的位置，该波峰何 时通过原点? (2)画出 t =4.2 s时的波形曲线． 解:(1)波峰位置坐标应满足 (4t + 2x) = 2k 解得 x = (k − 8.4) m ( k = 0,1,2, …) 所以离原点最近的波峰位置为−0.4 m ． ∵ u x t t t 4 + 2 = + 故知 u = 2 1 m s − , ∴ 0.2 2 0.4 = − t = s ，这就是说该波峰在 0.2 s 前通过原点，那么从计时时刻算起，则应 是 4.2−0.2 = 4 s ，即该波峰是在 4 s 时通过原点的． 题 5 图 (2)∵ = 4 ,u = 2 1 m s − ，∴ 1 2 = = = uT u m ，又 x = 0 处，t = 4.2 s 时， 0 = 4.2 4 =16.8 y0 = Acos 4 4.2 = −0.8A 又，当 y = −A 时， x = 17 ，则应有 16.8 + 2x =17 解得 x = 0.1 m ，故 t = 4.2 s 时的波形图如题 5 图所示 J
6设S1和S2为两相干波源,振幅均为A1,相距,S较S2位相超前。,求: (1)S外侧各点的合振幅和强度 (2)S,外侧各点的合振幅和强度 解:(1)在S1外侧,距离S为F的点,S1S2传到该P点引起的位相差为 △φ A=A,-A,=0.I=A2= (2)在S2外侧.距离S2为r的点,S1S2传到该点引起的位相差 △φ (2+-12)=0 A=A1+A1=2A1,=A2=4A2 7在弦上传播的横波,它的波动方程为y1=0.1cos(131+0.0079x)(I) 试写出一个波动方程,使它表示的波能与这列己知的横波叠加形成驻波,并在x=0处为波 解:为使合成驻波在x=0处形成波节,则要反射波在x=0处与入射波有x的位相差,故 反射波的波动方程为 y2=0.lcos(13t-0.0079X-x)
6 设 1 S 和 2 S 为两相干波源，振幅均为 A1 ，相距 4 ， 1 S 较 2 S 位相超前 2 ，求： (1) 1 S 外侧各点的合振幅和强度； (2) 2 S 外侧各点的合振幅和强度 解：（1）在 1 S 外侧，距离 1 S 为 1 r 的点， 1 S 2 S 传到该 P 点引起的位相差为 = = − − + ) 4 ( 2 2 1 1 r r 0, 0 2 A =A1−A1 = I = A = （2）在 2 S 外侧.距离 2 S 为 1 r 的点， 1 S 2 S 传到该点引起的位相差. ) 0 4 ( 2 2 = − r2 + − r2 = 2 1 2 A =A1+A1 = 2A1 ,I = A = 4A 7 在弦上传播的横波，它的波动方程为 1 y =0.1cos(13 t +0.0079 x ) (SI) 试写出一个波动方程，使它表示的波能与这列已知的横波叠加形成驻波，并在 x =0处为波 节． 解: 为使合成驻波在 x = 0 处形成波节，则要反射波在 x = 0 处与入射波有 的位相差，故 反射波的波动方程为 0.1cos(13 0.0079 ) y2 = t − x −
