第十六量子物理基础 习题精选及参考答案 1将星球看做绝对黑体,利用维恩位移定律测量m便可求得T.这是测量星球表面温度的方 法之一设测得:太阳的An=0.55m,北极星的mn=0.35/m,天狼星的n=0.29m, 试求这些星球的表面温度 解:将这些星球看成绝对黑体,则按维恩位移定律: λnT=bb=2897×10-3mK 对太阳:T= b2897×10-3 055×106=53×103K 对北极星:7b_2897×10-3 =83×103K 0.35×10 2897×10-3 对天狼星:T3= 29×10-6=10×104K 2若一个光子的能量等于一个电子的静能,试求该光子的频率、波长、动量 解:电子的静止质量m0=9.11×10-3kg,h=663×10-3J.S 当hU=m0c2时 则 m0c29.11×10-3×(3×103)2 h 663×10-34 =1236×1020Hz 24271×10-m=0.02A =273×10-2k E=cH Emo =9.11×10-31×3×108=273×10 3波长A=0.708A的X射线在石腊上受到康普顿散射,求在和π方向上所散射的X射线 波长各是多大?
第十六 量子物理基础 习题精选及参考答案 1 将星球看做绝对黑体，利用维恩位移定律测量 m 便可求得T．这是测量星球表面温度的方 法之一．设测得：太阳的 m = 0.55m ，北极星的 m = 0.35m ，天狼星的 m = 0.29m ， 试求这些星球的表面温度． 解：将这些星球看成绝对黑体，则按维恩位移定律： , 2.897 10 m K 3 = = − mT b b 对太阳： 5.3 10 K 0.55 10 2.897 10 3 6 3 1 1 = = = − − m b T 对北极星： 8.3 10 K 0.35 10 2.897 10 3 6 3 2 2 = = = − − m b T 对天狼星： 1.0 10 K 0.29 10 2.897 10 4 6 3 3 3 = = = − − m b T 2 若一个光子的能量等于一个电子的静能，试求该光子的频率、波长、动量． 解：电子的静止质量 9.11 10 kg, 6.63 10 J S 31 34 0 = = − − m h 当 2 0 h = m c 时， 则 1.236 10 Hz 6.63 10 9.11 10 (3 10 ) 20 34 2 31 8 2 0 = = = − − h m c ο 12 = = 2.427110 m = 0.02 A − c 3 1 8 2 2 1 0 2 0 2 2 1 9.11 10 3 10 2.73 10 kg m s 2.73 10 kg m s − − − − − = = = = = = = = m c c m c c E p E cp h p 或 3 波长 ο 0 = 0.708A 的X射线在石腊上受到康普顿散射，求在 2 π 和π方向上所散射的X射线 波长各是多大?
在q=方向上 △=-=2hsm2 moc 2×663×10-3 9.11×10-31×3×1034 2.43×10-12m=0.0243A 散射波长A=0+△A=0.708+0.0248=0.732A 在q=丌方向上 △A=-2h29=2=486×102m=00486A 2 mc 散射波长 A=A+△元=0.708+0.0486=0.756A 4已知Ⅹ光光子的能量为0.60MeV,在康普顿散射之后波长变化了20%,求反冲电子的能量 解:已知X射线的初能量E0=06MeV,又有 hc 10 E 经散射后 =+=+0.0200=1.20 he 此时能量为 反冲电子能量 e=a (1 0.60=0.10Mev 5实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV的光子 (1)试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级? (2)受激发的氢原子向低能级跃迁时,可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上 解:(1)-136eV+12.75eV=-0.85eV= 13.6eV 解得 =4 或者 =136(1--2)=1275 解出
解：在 2 = 方向上： ο 12 31 8 34 2 0 0 2.43 10 m 0.0243 A 4 sin 9.11 10 3 10 2 6.63 10 2 sin 2 Δ = = = = − = − − − m c h 散射波长 ο = 0 +Δ = 0.708+ 0.0248 = 0.732A 在 = 方向上 ο 1 2 0 2 0 0 4.86 10 m 0.0486 A 2 2 sin 2 Δ = − = = = = − m c h m c h 散射波长 ο = 0 +Δ = 0.708+ 0.0486 = 0.756 A 4 已知X光光子的能量为0.60 MeV，在康普顿散射之后波长变化了20%，求反冲电子的能量． 解：已知 X 射线的初能量 0.6 MeV, 0 = 又有 0 0 0 , hc hc = = 经散射后 0 0 0 20 0 = + = + 0.020 =1. 此时能量为 0 0 1.2 1 1.2 = = = hc hc 反冲电子能量 ) 0.60 0.10 MeV 1.2 1 E = 0 − = (1− = 5 实验发现基态氢原子可吸收能量为12.75eV 的光子． (1)试问氢原子吸收光子后将被激发到哪个能级? (2)受激发的氢原子向低能级跃迁时，可发出哪几条谱线?请将这些跃迁画在能级图上． 解：(1) 2 13.6 eV 13.6 eV 12.75 eV 0.85 eV n − + = − = − 解得 n = 4 或者 ) 1 1 1 ( 2 2 n E = Rhc − ) 12.75 1 136.(1 2 = − = n 解出 n = 4
帕邢系 巴尔末系 赖曼系 题5图 (2)可发出谱线赖曼系3条,巴尔末系2条,帕邢系1条,共计6条 帕邢系 赖曼系 题6图 6处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线,试求这两 条谱线的波长及外来光的频率 解:巴尔末系是由n>2的高能级跃迁到n=2的能级发出的谱线.只有二条谱线说明激发 后最高能级是n=4的激发态 E4=-1362=-085e E=-136,=-15le E,=-136,=-34e hc E-E E3-E2 6.63 3×3×103 1.60×10 =6573×10-0m=6573A hc 6.63×10×3×1 E4-E2(34-0.85)×16×10-19=4872A 基态氢原子吸收一个光子hU被激发到n=4的能态 hu=E-E E4-E1(136-0.85)×1.6×10 =308×1015Hz 6626×10-34
题 5 图 (2)可发出谱线赖曼系 3 条，巴尔末系 2 条，帕邢系 1 条，共计 6 条. 题 6 图 6 处于基态的氢原子被外来单色光激发后发出巴尔末线系中只有两条谱线，试求这两 条谱线的波长及外来光的频率． 解：巴尔末系是由 n 2 的高能级跃迁到 n = 2 的能级发出的谱线．只有二条谱线说明激发 后最高能级是 n = 4 的激发态． ο 1 9 3 4 8 4 2 ο 1 0 1 9 3 4 8 3 2 2 2 3 2 4 2 4872 A (3.4 0.85) 1.6 10 6.63 10 3 10 6573 10 m 6573 A (3.4 1.51) 1.60 10 6.63 10 3 3 10 3.4e 2 13.6 1.51e 3 13.6 0.85e 4 13.6 = − = − = = = − = − = − = = = − = − = − = − = − = − = − − − − − − E E hc E E hc E E hc E E hc h E V E V E V a n m n m 基态氢原子吸收一个光子 h 被激发到 n = 4 的能态 ∴ hc h = E4 − E1 = 3.08 10 Hz 6.626 10 (13.6 0.85) 1.6 10 15 34 19 4 1 = − = − = − − h E E
7光子与电子的波长都是2.0A,它们的动量和总能量各为多少? h 解:由德布罗意关系:E=mc2,p=m=波长相同它们的动量相等 h663×10 P A2.0×10-0=3.3×10 +24kg-m- 光子的能量 E=hU==pc=3,3×1024×3×108=99×10-16J=62×10eV 电子的总能量E=√(qp)2+(mc2)2,qp=62×103eV 而 0.51MeV=0.51×0°eV E=(p)2+(m, c2)=m,c2=0.51MeV 8已知中子的质量mn=167×10-27kg,当中子的动能等于温度300K的热平衡中子气体 的平均动能时,其德布罗意波长为多少? 解:mn=167×10-7kg,h=663×104JS,k=1.38×1023JK 中子的平均动能E=K7= 2m 德布罗意波长= 3mk7=1456A 9一个质量为m的粒子,约束在长度为L的一维线段上.试根据测不准关系估算这个粒 子所具有的最小能量的值 解:按测不准关系,AxA2≥h,Apx=m△vx,则 mx△v≥h,△v≥ h 这粒子最小动能应满足 Em=m(Av)2≥m(")2 h h 2m△ 2mAx 2ml 10一波长为3000A的光子,假定其波长的测量精度为百万分之一,求该光子位置的测不准
7 光子与电子的波长都是 2.0 ο A ，它们的动量和总能量各为多少? 解：由德布罗意关系： 2 E = mc ， h p = mv = 波长相同它们的动量相等． 24 -1 10 34 3.3 10 kg m s 2.0 10 6.63 10 = = = − − − h p 光子的能量 3.3 10 3 10 9.9 10 J 6.2 10 eV 2 4 8 1 6 3 = = = = = = − − pc hc h 电子的总能量 2 2 0 2 E = (cp) + (m c ) , 6.2 10 eV 3 cp = 而 0.51 MeV 0.51 10 eV 2 6 m0 c = = ∴ m c cp 2 0 ∴ ( ) ( ) 0.51MeV 2 0 2 2 0 2 E = cp + m c = m c = 8 已知中子的质量 1.67 10 kg 27 n − m = ，当中子的动能等于温度300K的热平衡中子气体 的平均动能时，其德布罗意波长为多少? 解： 1.67 10 kg 27 n − m = , 6.63 10 J S 34 = − h , 23 -1 =1.3810 JK − k 中子的平均动能 m p Ek KT 2 2 3 2 = = 德布罗意波长 o 1.456A 3 = = = mkT h p h 9 一个质量为 m 的粒子，约束在长度为 L 的一维线段上．试根据测不准关系估算这个粒 子所具有的最小能量的值． 解：按测不准关系， xpx h， x x p = mv ，则 mxvx h , m x h vx 这粒子最小动能应满足 2 2 2 2 2 2 min 2 2 ( ) 2 1 ( ) 2 1 mL h m x h m x h E m vx m = = = 10 一波长为3000 ο A 的光子，假定其波长的测量精度为百万分之一，求该光子位置的测不准
量 光子 h p △A △ 由测不准关系,光子位置的不准确量为 h2223000 42A/210 =3×10A=30cm l1已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动,其波函数为 y°(x)= (-a≤x≤a) 那么,粒子在x=-a处出现的概率密度为多少? yy 5 3ma1257 cos (丌+)=-co 12粒子在一维无限深势阱中运动,其波函数为: nA vn(x)=1-s()(0<x<a) 若粒子处于n=1的状态,在0~a区间发现粒子的概率是多少? 解:dh dx=-sin 在0~区间发现粒子的概率为 2 2ra/41 [-cos2-kd(-x)=0.091
量． 解： 光子 h p = ， = − = 2 2 h h p 由测不准关系，光子位置的不准确量为 3 10 A 30 cm 10 3000 o 9 6 2 = = = = = = − p h x 11 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为： a x a x 2 3 cos 1 ( ) = (−a x a) 那么，粒子在 x a 6 5 = 处出现的概率密度为多少? 解： * 2 2 ) 2 3 cos 1 ( a x a = = a a a a a a a a 2 1 ) 2 1 ( 1 4 cos 1 ) 4 cos ( 1 4 5 cos 1 2 6 5 3 cos 1 2 2 2 2 2 = = = + = = = 12 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为： sin( ) 2 ( ) a n x a x n = (0 x a) 若粒子处于 n =1 的状态，在 0～ a 4 1 区间发现粒子的概率是多少? 解： x a x a w x sin d 2 d d 2 2 = = ∴ 在 4 0 ~ a 区间发现粒子的概率为： = = = 4 0 0 2 0 4 2 4 sin d( ) 2 sin d 2 a a a x a a x a a x a x a p dw [1 cos 2 ] ( ) 0.091 2 2 / 4 1 0 = − = x a d a a x
13宽度为a的一维无限深势阱中粒子的波函数为y(x)=Asnx,求:(1)归一化系数 A;(②2)在η=2时何处发现粒子的概率最大? 解:(1)归一化系数□wdx=D,wdx=1 ep[a' sin 2 nt xdx=aa C sin nxd(x) a A(-cos"x)d(x) 粒子的波函数v(x)=2sn (2)当n=2时 几率密度 x=-[1 4丌 x=kx,k=0,1,2, x=k 又因0<x<a,k<4 当x=和x=3a时有极大值, 当 时, 0 ∴极大值的地方为-,a处 14原子内电子的量子态由n,l,m,m,四个量子数表征.当nl,m一定时,不同的量子态 数目是多少?当n,l一定时,不同的量子态数目是多少?当n一定时,不同的量子态数目是多 解:(1)2(∵m,=±)
13 宽度为 a 的一维无限深势阱中粒子的波函数为 x a n x A ( ) = sin ，求：(1)归一化系数 A ；(2)在 n = 2 时何处发现粒子的概率最大? 解：(1)归一化系数 = = + − a x x 0 2 2 d d 1 即 = a a x a n x a n A n a x x a n A 0 0 2 2 2 sin d sin d( ) = − a x a n x a n A n a 0 2 )d( ) 2 (1 cos 2 1 2 2 2 2 = = A = a A n n a ∴ A = a 2 粒子的波函数 x a n a x sin 2 ( ) = (2)当 n = 2 时， x a a 2 sin 2 2 = 几率密度 ] 4 [1 cos 2 1 sin 2 2 2 2 x a a x a a w = = = − 令 0 d d = x w ，即 0 4 sin 4 x = a a ,即 0, 4 sin x = a ， , 0,1,2, 4 x = k k = a ∴ 4 a x = k 又因 0 x a， k 4， ∴当 4 a x = 和 x a 4 3 = 时 w 有极大值， 当 2 a x = 时， w = 0． ∴极大值的地方为 4 a ， a 4 3 处 14 原子内电子的量子态由 ml ms n,l, , 四个量子数表征．当 ml n,l, 一定时，不同的量子态 数目是多少?当 n,l 一定时，不同的量子态数目是多少?当 n 一定时，不同的量子态数目是多 少? 解：(1) 2 ) 2 1 ( ms =
(2)2(2/+1),每个有2+1个m1,每个m1可容纳m,=±的2个量子态 (3)2n2 15试描绘:原子中l=4时,电子角动量L在磁场中空间量子化的示意图,并写出L在磁 方向分量L的各种可能的值 解:L=√(+1=√44+1)h=√20h Z(n) 432 -3 题15图 磁场为Z方向,Lz=m,m1=0,±1,±2,土3,±4 Lz=(4,3,21,0,-1,-2-3-4)h 16在元素周期表中为什么n较小的壳层尚未填满而n较大的壳层上就开始有电子填入?对 这个问题我国科学工作者总结出怎样的规律?按照这个规律说明4s态应比3d态先填入电 子 解:由于原子能级不仅与n有关,还与l有关,所以有些情况虽n较大,但l较小的壳层能 级较低,所以先填入电子.我国科学工作者总结的规律:对于原子的外层电子,能级高低以 (n+0.7)确定,数值大的能级较高 4s(即n=4,=0),代入(n+0.7)=(4+0.7×0)=4 3d(n=3,l=2),代入(3+0.7×2)=44 4s低于3d能级,所以先填入4s壳层
(2) 2(2l +1) ，每个 l 有 2l +1 个 ml ，每个 ml 可容纳 2 1 ms = 的 2 个量子态． (3) 2 2n 15 试描绘：原子中 l = 4 时，电子角动量 L 在磁场中空间量子化的示意图，并写出 L 在磁 场 方向分量 Lz 的各种可能的值． 解： L = l(l +1) = 4(4 +1) = 20 题 15 图 磁场为 Z 方向， LZ = ml， ml = 0, 1， 2 ， 3， 4 ． ∴ = (4,3,2,1,0,−1,−2,−3,−4) LZ 16 在元素周期表中为什么 n 较小的壳层尚未填满而n较大的壳层上就开始有电子填入?对 这个问题我国科学工作者总结出怎样的规律?按照这个规律说明 4s 态应比 3d 态先填入电 子． 解：由于原子能级不仅与 n 有关，还与 l 有关，所以有些情况虽 n 较大，但 l 较小的壳层能 级较低，所以先填入电子．我国科学工作者总结的规律：对于原子的外层电子，能级高低以 (n + 0.7l) 确定，数值大的能级较高． 4s (即 n = 4,l = 0 )，代入 (n + 0.7l) = (4 + 0.7 0) = 4 3d(n = 3,l = 2) ，代入 (3 + 0.7 2) = 4.4 4s 低于 3d 能级，所以先填入 4s 壳层．