第七章热力学基础 习题精选及参考答案 1两个卡诺循环如题7-6图所示,它们的循环面积相等,试问: (1)它们吸热和放热的差值是否相同; (2)对外作的净功是否相等 (3)效率是否相同 题1图 答:由于卡诺循环曲线所包围的面积相等,系统对外所作的净功相等,也就是吸热和放热的 差值相等.但吸热和放热的多少不一定相等,效率也就不相同 2评论下述说法正确与否 (1)功可以完全变成热,但热不能完全变成功 (2)热量只能从高温物体传到低温物体,不能从低温物体传到高温物体. (3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程,不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程 答:(1)不正确.有外界的帮助热能够完全变成功;功可以完全变成热,但热不能自动地完 全变成功; (2)不正确.热量能自动从高温物体传到低温物体,不能自动地由低温物体传到高温物体.但 在外界的帮助下,热量能从低温物体传到高温物体 (3)不正确.一个系统由某一状态出发,经历某一过程达另一状态,如果存在另一过程,它 能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态,这样的过程就是 可逆过程.用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程.有些过程 虽能沿反方向进行,系统能回到原来的状态,但外界没有同时恢复原状态,还是不可逆过程 3热力学系统从初平衡态A经历过程P到末平衡态B.如果P为可逆过程,其熵变为 S-S-,如果P为不可逆过程,其箱变为S-S,= Bd不可,你说对吗? 哪一个表述要修改,如何修改? 答:不对.熵是状态函数,熵变只与初末状态有关,如果过程P为可逆过程其熵变为 7’如果过程P为不可逆过程,其熵变为 可逆 dQ不可逆
第七章 热力学基础 习题精选及参考答案 1 两个卡诺循环如题7-6图所示，它们的循环面积相等，试问： (1)它们吸热和放热的差值是否相同； (2)对外作的净功是否相等； (3)效率是否相同? 题1图 答：由于卡诺循环曲线所包围的面积相等，系统对外所作的净功相等，也就是吸热和放热的 差值相等．但吸热和放热的多少不一定相等，效率也就不相同． 2 评论下述说法正确与否? (1)功可以完全变成热，但热不能完全变成功； (2)热量只能从高温物体传到低温物体，不能从低温物体传到高温物体． (3)可逆过程就是能沿反方向进行的过程，不可逆过程就是不能沿反方向进行的过程． 答：(1)不正确．有外界的帮助热能够完全变成功；功可以完全变成热，但热不能自动地完 全变成功； (2)不正确．热量能自动从高温物体传到低温物体，不能自动地由低温物体传到高温物体．但 在外界的帮助下，热量能从低温物体传到高温物体． (3)不正确．一个系统由某一状态出发，经历某一过程达另一状态，如果存在另一过程，它 能消除原过程对外界的一切影响而使系统和外界同时都能回到原来的状态，这样的过程就是 可逆过程．用任何方法都不能使系统和外界同时恢复原状态的过程是不可逆过程．有些过程 虽能沿反方向进行，系统能回到原来的状态，但外界没有同时恢复原状态，还是不可逆过程． 3 热力学系统从初平衡态 A 经历过程 P 到末平衡态 B．如果 P 为可逆过程，其熵变为 ： − = B A B A T Q S S d 可逆 ，如果 P 为不可逆过程，其熵变为 − = B A B A T Q S S d 不可逆 ，你说对吗？ 哪一个表述要修改，如何修改？ 答：不对．熵是状态函数，熵变只与初末状态有关，如果过程 P 为可逆过程其熵变为： − = B A B A T Q S S d 可逆 ，如果过程 P 为不可逆过程，其熵变为 − B A B A T Q S S d 不可逆
4根据SB-S4 9及SB-S,、B,这是否说明可逆过程的熵变大于不可 T T 逆过程熵变?为什么?说明理由 答:这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变,熵是状态函数,熵变只与初末状态有 关,如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同,具有相同的熵变.只能说在不可逆过程中, 系统的热温比之和小于熵变 5如题5图所示,一系统由状态a沿acb到达状态b的过程中,有350J热量传入系统,而系 统作功126J (1)若沿ab时,系统作功42J,问有多少热量传入系统 (2)若系统由状态b沿曲线ba返回状态a时,外界对系统作功为84J,试问系统是吸热还 是放热?热量传递是多少? 题5图 解:由abc过程可求出b态和a态的内能之差 O=△E+A △E=O-A=350-126=224J abd过程,系统作功A=42J O=AE+A=224+42=266J系统吸收热量 ba过程,外界对系统作功A=-84J O=△E+A=-224-84=-308J系统放热 61mol单原子理想气体从300K加热到350K,问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多 少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变 (2)压力保持不变 解:(1)等体过程 由热力学第一定律得O=△E 吸热 Q=△E=DCV(72-71)=U÷R(T2-71) Q=△E=×831×(350-30)=623.25J 对外作功 A=0
4 根据 − = B A B A T Q S S d 可逆 及 − B A B A T Q S S d 不可逆 ，这是否说明可逆过程的熵变大于不可 逆过程熵变?为什么?说明理由． 答：这不能说明可逆过程的熵变大于不可逆过程熵变，熵是状态函数，熵变只与初末状态有 关，如果可逆过程和不可逆过程初末状态相同，具有相同的熵变．只能说在不可逆过程中， 系统的热温比之和小于熵变． 5 如题5图所示，一系统由状态 a 沿 acb 到达状态b的过程中，有350 J热量传入系统，而系 统作功126 J． (1)若沿 adb 时，系统作功42 J，问有多少热量传入系统? (2)若系统由状态 b 沿曲线 ba 返回状态 a 时，外界对系统作功为 84 J，试问系统是吸热还 是放热?热量传递是多少? 题 5 图 解：由 abc 过程可求出 b 态和 a 态的内能之差 Q = E + A E = Q − A = 350 −126 = 224 J abd 过程，系统作功 A = 42 J Q = E + A = 224 + 42 = 266 J 系统吸收热量 ba 过程，外界对系统作功 A = −84 J Q = E + A = −224 − 84 = −308 J 系统放热 6 1 mol单原子理想气体从300 K加热到350 K，问在下列两过程中吸收了多少热量?增加了多 少内能?对外作了多少功? (1)体积保持不变； (2)压力保持不变． 解：(1)等体过程 由热力学第一定律得 Q = E 吸热 ( ) 2 ( ) V 2 1 R T2 T1 i Q = E = C T −T = − 8.31 (350 300) 623.25 2 3 Q = E = − = J 对外作功 A = 0
(2)等压过程 Q=uCp(2-7)=4+2R(72-7) 吸热 Q=×8.31×(350-300=103875 △E=UCV(T2-71) 内能增加 △E==×831×(350-300)=62325J 对外作功 A=Q-△E=103875-623.5=4155J 一个绝热容器中盛有摩尔质量为Mm)l,比热容比为y的理想气体,整个容器以速度v运 ,若容器突然停止运动,求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能). 解:整个气体有序运动的能量为mu2,转变为气体分子无序运动使得内能增加,温度变 化 △E=Cv△T=-mu 4T\W”Cy2R Mml2(-1) 70.01m氮气在温度为300K时,由0.1Ma(即1atm压缩到10MPa.试分别求氮气经 等温及绝热压缩后的(1)体积;(2)温度:(3)各过程对外所作的功 解:(1)等温压缩 T=300K 由pV1=P2V2求得体积 p,L 0.0l=1×10 对外作功 A=VRTIn22=p In Pi P 1013×103×0.01×n001 =-4.67×103J (2绝热压缩Cy=5Ry=7 由绝热方程P1V=p2V2 P2
(2)等压过程 ( ) 2 2 ( ) P 2 1 R T2 T1 i Q C T T − + = − = 吸热 8.31 (350 300) 1038.75 2 5 Q = − = J ( ) E =CV T2 −T1 内能增加 8.31 (350 300) 623.25 2 3 E = − = J 对外作功 A = Q − E = 1038.75 − 623.5 = 415.5 J 一个绝热容器中盛有摩尔质量为 Mmol ，比热容比为 的理想气体，整个容器以速度 v 运 动，若容器突然停止运动，求气体温度的升高量(设气体分子的机械能全部转变为内能)． 解：整个气体有序运动的能量为 2 2 1 mu ，转变为气体分子无序运动使得内能增加，温度变 化 2 V 2 1 C T mu M m E = = ( 1) 2 1 1 2 1 2 mol V 2 = mol = M u − C R T M u 7 0.01 m3 氮气在温度为 300 K 时，由 0.1 MPa(即 1 atm)压缩到 10 MPa．试分别求氮气经 等温及绝热压缩后的(1)体积；(2)温度；(3)各过程对外所作的功． 解：(1)等温压缩 T = 300 K 由 p1V1 = p2V2 求得体积 3 2 1 1 2 0.01 1 10 10 1 − = = = p p V V 3 m 对外作功 2 1 1 1 2 ln ln p p p V V V A =VRT = 1 1.013 10 0.01 ln 0.01 5 = 3 = −4.67 10 J (2)绝热压缩 C R 2 5 V = 5 7 = 由绝热方程 p1V1 = p2V2 1/ 2 1 1 2 ( ) p p V V =
p, P1、 0.01=1.93×10 由绝热方程Tp=72p2得 TP T2=579 热力学第一定律O=△E+A,O=0 所以 C(72-T) RT, A p,I5 R(72-7) 1013×105×00015 A ×(579-300)=-23.5×103J 300 8理想气体由初状态(2V1)经绝热膨胀至末状态(P2,2)·试证过程中气体所作的功为 1V1 式中y为气体的比热容比 答:证明:由绝热方程 H=p22=C得P=P1V1 A=Cpdr A=CP. dv p, 1 1 PI ,V, p,VI p1-p22V2
1 1 2 1/ 1 2 1 1 2 ( ) ( ) V p p p p V V = = 4 3 1 ) 0.01 1.93 10 10 1 ( − = = m 由绝热方程 − − − = 2 2 1 T1 p1 T p 得 300 (10) 2 579K 1.4 0.4 1 1 1 1 2 2 = = = − − T p T p T 热力学第一定律 Q = E + A，Q = 0 所以 ( ) 2 1 mol C T T M M A = − V − RT M M pV mol = ， ( ) 2 5 2 1 1 1 1 R T T RT p V A = − − 3 5 (579 300) 23.5 10 2 5 300 1.013 10 0.001 − = − A = − J 8 理想气体由初状态 ( , ) p1 V1 经绝热膨胀至末状态 ( , ) p2 V2 ．试证过程中气体所作的功为 1 1 1 2 2 − − = p V p V A ，式中 为气体的比热容比. 答：证明： 由绝热方程 pV = pV = p V = C 1 1 2 2 得 V p p V 1 = 1 1 = 2 1 d V V A p V − − − − = = − 2 1 ) 1 1 ( 1 d 1 1 1 2 1 1 1 1 V V r V V pV v v A pV [( ) 1] 1 1 2 1 1 1 − − = − − V p V V 又 ( ) 1 1 1 1 2 1 1 − + − + − − = − V V p V A 1 1 2 2 2 1 1 1 1 − − = − + − + p V V p V V
所以 A=P11-P2 91mol的理想气体的TV图如题9图所示,ab为直线,延长线通过原点0.求ab过程气 体对外做的功. 题9图 解:设T=KV由图可求得直线的斜率K为 K 7o 得过程方程 1o K 由状态方程 PV=URT DRT 得 b过程气体对外作功 RT R RT 10某理想气体的过程方程为p2=aa为常数,气体从V膨胀到V2,求其所做的功 解:气体作功 A= 11设有一以理想气体为工质的热机循环,如题11图所示.试证其循环效率为
所以 1 1 1 2 2 − − = p V p V A 9 1 mol 的理想气体的 T-V 图如题 9 图所示， ab 为直线，延长线通过原点 O．求 ab 过程气 体对外做的功． 题 9 图 解：设 T = KV 由图可求得直线的斜率 K 为 0 0 2V T K = 得过程方程 V V T K 0 0 2 = 由状态方程 pV = RT 得 V RT p = ab 过程气体对外作功 = 0 0 2 d V v A p V = = = = 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 2 0 0 2 d 2 d 2 d V V V v V V RT V V RT V V V T V R V V RT A 10 某理想气体的过程方程为 Vp a,a 1/ 2 = 为常数，气体从 V1 膨胀到 V2 ．求其所做的功． 解：气体作功 = 2 1 d V v A p V = = − = − − 2 1 2 1 ) 1 1 d ( ) ( 1 2 2 1 2 2 2 V V V V V V a V a V V a A 11 设有一以理想气体为工质的热机循环，如题 11 图所示．试证其循环效率为
PI 答:等体过程 吸热 Q=UCV√(72-71) =Cc(P2-2 R 绝热过程 Q3=0 等压压缩过程 放热 Q2=C(72-7) Q2=(2==Cp(72-T) 1_P2 循环效率 7=1 Q Q2,Cp(P21-P22) Q Cv(pV2-p,2) (v/v2-1) 题11图 题13图 12一卡诺热机在1000K和300K的两热源之间工作,试计算 (1)热机效率; (2)若低温热源不变,要使热机效率提高到80%,则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变,要使热机效率提高到80%,则低温热源温度需降低多少? 解:(1)卡诺热机效率们=1
1 1 1 2 1 2 1 − − = − p p V V 答：等体过程 吸热 ( ) Q1 = CV T2 −T1 ( ) 1 2 2 1 1 1 V R p V R pV Q = Q = C − 绝热过程 Q3 = 0 等压压缩过程 放热 ( ) Q2 = Cp T2 −T1 ( ) Q2 Q2 = − CP T2 −T1 = ( ) 2 1 2 2 P R p V R p V = C − 循环效率 1 2 1 Q Q = − ( / 1) ( / 1) 1 ( ) ( ) 1 1 1 2 1 2 V 1 2 2 2 p 2 1 2 2 1 2 − − = − − − = − = − p p C pV p V C p V p V Q Q 题11图 题13图 12 一卡诺热机在1000 K和300 K的两热源之间工作，试计算 (1)热机效率； (2)若低温热源不变，要使热机效率提高到80%，则高温热源温度需提高多少? (3)若高温热源不变，要使热机效率提高到 80%，则低温热源温度需降低多少? 解：(1)卡诺热机效率 1 2 1 T T = −
300 (2)低温热源温度不变时,若 80% 要求T=1500K,高温热源温度需提高500K (3)高温热源温度不变时,若 =80% 1000 要求T2=200K,低温热源温度需降低100K 13如题13图所示是一理想气体所经历的循环过程,其中AB和CD是等压过程,BC和 DA为绝热过程,已知B点和C点的温度分别为T2和7·求此循环效率.这是卡诺循环吗? 解:(1)热机效率 O2 O AB等压过程 Q=UCpT2-l) 吸热 2=MCp(8-11) CD等压过程 C=vCP) 放热 O2 =-O= M CP(C-TD) 0, T-To T(-TD/T) Q1T8-T4TB(1-7/T2) 根据绝热过程方程得到 AD绝热过程 Pp To BC绝热过程 PR TR=PCTC 又 TD T PA=p Pc=pD 73 7 72
70% 1000 300 = 1− = (2)低温热源温度不变时，若 80% 300 1 1 = − = T 要求 T1 =1500 K，高温热源温度需提高 500 K (3)高温热源温度不变时，若 80% 1000 1 2 = − = T 要求 T2 = 200 K，低温热源温度需降低 100 K 13 如题 13 图所示是一理想气体所经历的循环过程，其中 AB 和 CD 是等压过程， BC 和 DA 为绝热过程，已知 B 点和 C 点的温度分别为 T2 和 T3 ．求此循环效率．这是卡诺循环吗? 解：(1)热机效率 1 2 1 Q Q = − AB 等压过程 ( ) Q1 = CP T2 −T1 吸热 ( ) P mo 1 B A l C T T M M Q = − CD 等压过程 ( ) 2 P T2 T1 Q = vC − 放热 ( ) P mol 2 2 C TC TD M M Q = −Q = − (1 / ) (1 / ) 1 2 B A B C D C B A C D T T T T T T T T T T Q Q − − = − − = 根据绝热过程方程得到 AD 绝热过程 − − − − pA TA = pD TD 1 1 BC 绝热过程 − − − − pB TB = pC TC 1 1 1 又 C B D A B C D T T T T p = p p = p = 2 3 1 T T = −
(2)不是卡诺循环,因为不是工作在两个恒定的热源之间 14(1)用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000J的热量传向27℃的热源,需要多 少功?从-173℃C向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机,作热机使用时,如果工作的两热源的温度差愈大,则对于作功就 愈有利.当作致冷机使用时,如果两热源的温度差愈大,对于致冷是否也愈有利?为什么? 解:(1)卡诺循环的致冷机 Q2_72 7℃→27℃时,需作功 Q300-280 7-T A 280×1000=714J 173℃→27℃时,需作功 T1-T, 300-100 A2 ×1000=2000J (②)从上面计算可看到,当高温热源温度一定时,低温热源温度越低,温度差愈大,提取同 样的热量,则所需作功也越多,对致冷是不利的 15如题721图所示,1mol双原子分子理想气体,从初态V=20L,7=300K经历三种不 同的过程到达末态H2=40L,72=300K·图中1→2为等温线,1→4为绝热线,4→2为等 压线,1→3为等压线,3→2为等体线.试分别沿这三种过程计算气体的熵变 题15图 解:1→>2熵变 等温过程dQ=dA,dA=pdV RT S2-S1=Rh2=Rh2=5.76J.K-1
(2)不是卡诺循环，因为不是工作在两个恒定的热源之间． 14 （1）用一卡诺循环的致冷机从7℃的热源中提取1000 J的热量传向27℃的热源，需要多 少功?从-173℃向27℃呢? (2)一可逆的卡诺机，作热机使用时，如果工作的两热源的温度差愈大，则对于作功就 愈有利．当作致冷机使用时，如果两热源的温度差愈大，对于致冷是否也愈有利?为什么? 解：(1)卡诺循环的致冷机 1 2 2 2 T T T A Q e − = = 静 7 ℃→ 27 ℃时，需作功 1000 71.4 280 300 280 2 2 1 2 1 = − = − = Q T T T A J −173 ℃→ 27 ℃时，需作功 1000 2000 100 300 100 2 2 1 2 2 = − = − = Q T T T A J (2)从上面计算可看到，当高温热源温度一定时，低温热源温度越低，温度差愈大，提取同 样的热量，则所需作功也越多，对致冷是不利的． 15 如题 7-21 图所示，1 mol 双原子分子理想气体，从初态 V1 = 20L,T1 = 300K 经历三种不 同的过程到达末态 V2 = 40L,T2 = 300K ． 图中 1→2 为等温线，1→4 为绝热线，4→2 为等 压线，1→3 为等压线，3→2 为等体线．试分别沿这三种过程计算气体的熵变． 题 15 图 解： 1→2 熵变 等温过程 dQ = dA , dA = pdV pV = RT − = = 2 1 1 1 2 1 2 1 d d 1 V V V V RT T T Q S S ln ln 2 5.76 ! 2 2 − 1 = = R = V V S S R J 1 K −
1→>2→3熵变 S-S+∫ S2-S1 dT, rz CvdT C In -+Cu In T 1→3等压过程 P:=P3 T T, T3 L 3→2等体过程 T372 P2 p2 T3P373P1 P 在1→>2等温过程中 p,I=p,V2 所以 S,-S,=Cp In-2CVIn2=RIn 2=Rhn 2 1→4→2熵变 S-s-∫g+ do S2-S1=0+ T-CpIn22=CIn 1→4绝热过程 T V4 T=T44 p,I=PvA 4P1 PI p2 在1→>2等温过程中 H=P22 V4 PI P p2
1→2 →3 熵变 − = + 3 1 2 3 2 1 d d T Q T Q S S 3 2 V 1 3 p p V 2 1 ln ln d 2 d 3 3 1 T T C T T C T C T T C T S S T T T T − = + = + 1→3 等压过程 p1 = p3 3 2 1 1 T V T V = 1 2 1 3 V V T T = 3→ 2 等体过程 2 2 3 3 T p T p = 3 2 3 2 p p T T = 1 2 3 2 p p T T = 1 2 V 1 2 2 1 P ln ln p p C V V S − S = C + 在 1→2 等温过程中 p1V1 = p2V2 所以 ln ln ln ln 2 1 2 1 2 V 1 2 2 1 P R V V R V V C V V S − S = C = = 1→4 →2 熵变 − = + 4 1 2 4 2 1 d d T Q T Q S S 4 1 p 4 2 p p 2 1 ln ln d 0 2 4 T T C T T C T C T S S T T − = + = = 1→4 绝热过程 1 1 1 4 4 1 1 4 4 1 1 1 − − − − = = V V T T TV T V 1/ 2 1/ 1 4 1 1 4 1 1 4 4 , ( ) ( ) p p p p V V p V = p V = = 在 1→2 等温过程中 p1V1 = p2V2 1/ 1 1/ 2 2 1/ 1 4 1 1 4 ( ) ( ) ( ) V V p p p p V V = = =
T J S-S,=C In -=Cn-In-=RIn 2 16有两个相同体积的容器,分别装有1m1的水,初始温度分别为T1和T2,T>T2,令 其进行接触,最后达到相同温度T.求熵的变化,(设水的摩尔热容为Cmol) 解:两个容器中的总熵变 T T =Cml (In -+In =)=Cml In 因为是两个相同体积的容器,故 72+7 S-S。=Ch (2+7)2 47:72 17把0℃的0.5kg的冰块加热到它全部溶化成0℃的水,问 (1)水的熵变如何? (2)若热源是温度为20℃的庞大物体,那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热=334Jg-) 解:(1)水的熵变 AS=g=05×33×10=612J.K-1 (2)热源的熵变 0.5×334×10 △S2=三 =-570JK 293 (3)总熵变 △S=△S1+△S2=612-570=42JK 熵增加
1 1 2 4 1 ( ) − = V V T T ln ln 2 1 ln 1 2 P 4 1 2 1 P R V V C T T S S C = − − = = 16 有两个相同体积的容器，分别装有 1 mol 的水，初始温度分别为 T1 和 T2 ，T1 ＞ T2 ，令 其进行接触，最后达到相同温度 T ．求熵的变化，(设水的摩尔热容为 Cmol )． 解：两个容器中的总熵变 − = + T T T T l T C T T C T S S 1 2 mold mo d 0 1 2 2 mol 1 2 mol(ln ln ) ln TT T C T T T T = C + = 因为是两个相同体积的容器，故 ( ) ( ) Cmol T −T2 = Cmol T1 −T 得 2 T2 T1 T + = 1 2 2 2 1 0 mol 4 ( ) ln TT T T S S C + − = 17 把0℃的0.5 kg 的冰块加热到它全部溶化成0℃的水，问： (1)水的熵变如何? (2)若热源是温度为20 ℃的庞大物体，那么热源的熵变化多大? (3)水和热源的总熵变多大?增加还是减少?(水的熔解热 = 334 1 J g − ) 解：(1)水的熵变 612 273 0.5 334 103 1 = = = T Q S J 1 K − (2)热源的熵变 570 293 0.5 334 103 2 = − − = = T Q S J 1 K − (3)总熵变 S = S1 + S2 = 612 −570 = 42 J 1 K − 熵增加