第八章静电场和稳恒电场 习题精选及参考答案 在真空中有A,B两平行板,相对距离为d,板面积为S,其带电量分别 为q和q,则这两板之间有相互作用力厂,有人说厂=q,又有人说, 4丌Ed 因为f=qE,E=,所以∫=,试间这两种说法对吗?为什么?∫到 EoS 底应等于多少 解:题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的,第二种说法把合场强E=9看成是一个带电板在另一带电板处的场强 S 也是不对的.正确解答应为一个板的电场为E=q,另一板受它的作用 28s 力∫=q ,这是两板间相互作用的电场力 2E0S2E。S 2长l=15.0cm的直导线AB上均匀地分布着线密度λ=50X109C·m的正 电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1=5.0cm处P点的场强 (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距d2=5.0cm处Q点的场强 deg 解:如题2图所示 (1)在带电直线上取线元dx,其上电量dq在P点产生场强为
第八章 静电场和稳恒电场 习题精选及参考答案 1 在真空中有 A ，B 两平行板，相对距离为 d ，板面积为 S ，其带电量分别 为+ q 和- q ．则这两板之间有相互作用力 f ，有人说 f = 2 0 2 4 d q ,又有人说， 因为 f = qE , S q E 0 = ，所以 f = S q 0 2 ．试问这两种说法对吗?为什么? f 到 底应等于多少? 解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对 的，第二种说法把合场强 S q E 0 = 看成是一个带电板在另一带电板处的场强 也是不对的．正确解答应为一个板的电场为 S q E 2 0 = ，另一板受它的作用 力 S q S q f q 0 2 2 0 2 = = ，这是两板间相互作用的电场力． 2 长 l =15.0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 =5.0x10-9C·m -1 的正 电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距 1 a =5.0cm处 P 点的场强； (2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距 2 d =5.0cm 处 Q 点的场强． 图2 解： 如题 2 图所示 (1)在带电直线上取线元 dx ，其上电量 dq 在 P 点产生场强为
dE P E。=|dE。= 4: IEo( 4a 用l=15cm,4=50×10C·m-,a=12.5cm代入得 Ep=674×102NC方向水平向右 2l同理dE。Mx+d方向如题86图所示 由于对称性[dE02=0,即EO只有y分量, 2πEn√2+4d2 以=50×10-C·cm-,1=15cm,d2=5cm代入得 EQ=E=14.9×102NC,方向沿y轴正向 3一个半径为R的均匀带电半圆环,电荷线密度为A,求环心处O点的场强 解:如3图在圆上取d=Rdq
2 0 ( ) d 4π 1 d a x x EP − = 2 2 0 2 ( ) d 4π d a x x E E l P P l − = = − ] 2 1 2 1 [ 4π 0 l a l a + − − = π (4 ) 2 2 0 a l l − = 用 l =15 cm， 9 5.0 10− = 1 C m − , a =12.5 cm 代入得 2 EP = 6.7410 1 N C − 方向水平向右 (2)同理 2 2 2 0 d d 4π 1 d + = x x EQ 方向如题 8-6 图所示 由于对称性 = l dEQx 0 ，即 EQ 只有 y 分量， ∵ 2 2 2 2 2 2 2 0 d d d d 4π 1 d + + = x x x EQy 2 2 4π d d = = l EQy EQy − + 2 2 2 3 2 2 2 ( d ) d l l x x 2 2 2 2π 0 + 4d = l l 以 9 5.0 10− = 1 C cm− , l =15 cm, d2 = 5 cm 代入得 2 EQ = EQy =14.9610 1 N C − ，方向沿 y 轴正向 3 一个半径为 R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为 ,求环心处 O 点的场强． 解: 如 3 图在圆上取 dl = Rd
题3图 dq=ldl=Radp,它在O点产生场强大小为 aRdo dE4方向沿半径向外 则dE= de sin g 4Ts R sm odp de,= dE cos(T-o) 4πEaR 积分E.= d 4πE。R Eo 2πE。R os odo=0 4丌E。R E=E λ方向沿x轴正向 4均匀带电球壳内半径6cm,外半径10cm,电荷体密度为2×105C·m求距 球心5cm,8cm,12cm各点的场强 解:高斯定理「Ed=<qE42=之9 Eo 当=5cm时
题 3 图 dq = dl = Rd ，它在 O 点产生场强大小为 2 4π 0 d d R R E = 方向沿半径向外 则 sin d 4π d d sin 0R Ex = E = cos d 4π d d cos( ) 0R Ey E − = − = 积分 R R Ex 0 0 0 2π sin d 4π = = cos d 0 4π 0 0 = − = R Ey ∴ R E Ex 2π 0 = = ，方向沿 x 轴正向． 4 均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为2× 5 10 − C·m -3求距 球心5cm，8cm ,12cm 各点的场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s , 0 2 4π = q E r 当 r = 5 cm 时， q = 0 , E = 0
r=8cm时,∑q=p(r3-) E =-4πEr ≈348×104N.C-1,方向沿半径向外 r=12cm时,∑q=p2(7-两 公、O ≈4.10×104N.C1沿半径向外 4πE0 5半径为R1和R2(R2>R1)的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带 有电量和-A,试求:(1)rR2处各点的 场强 解:高斯定理中E·dS=<9 取同轴圆柱形高斯面,侧面积S=2m 则 E- dS= E2TTrl 对(1 R∑ q=0,E=0 (2) R<r< R2∑q= 沿径向向外 R2 q=0 E=0 6两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1和σ2,试求 空间各处场强
r = 8 cm 时， q 3 4π = p 3 (r ) 3 − r内 ∴ ( ) 2 0 3 2 4π 3 4π r r r E − 内 = 4 3.4810 1 N C − ， 方向沿半径向外． r = 12 cm 时, 3 4π q = − 3 (r外 r内 3） ∴ ( ) 4 2 0 3 3 4.10 10 4π 3 4π − = r r r E 外 内 1 N C − 沿半径向外. 5 半径为 R1 和 R2 ( R2 ＞ R1 )的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带 有电量 和- ,试求:(1) r ＜ R1 ；(2) R1 ＜ r ＜ R2 ；(3) r ＞ R2 处各点的 场强． 解: 高斯定理 0 d = q E S s 取同轴圆柱形高斯面，侧面积 S = 2πrl 则 E S E rl S d = 2π 对(1) R1 r q = 0,E = 0 (2) 1 R2 R r q = l ∴ r E 2π 0 = 沿径向向外 (3) R2 r q = 0 ∴ E = 0 6 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ，试求 空间各处场强．
解:如题6图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为a1与2 两面间,E=(G1-a2)n 1面外,E=-(a1+2 2面外,E=(G1+2 万:垂直于两平面由a1面指为G2面 7半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为p,若在球内挖去一块半径为 r<R的小球体,如题8-13图所示.试求:两球心O与O点的场强,并证 明小球空腔内的电场是均匀的 解:将此带电体看作带正电P的均匀球与带电-P的均匀小球的组合,见 题7图(a) (1)+p球在O点产生电场E10=0, 4 7U/ p球在O点产生电场E0=300 roO: O点电场E03560d (2)+p在O产生电场E=3O OO
图6 解: 如题 6 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， 两面间， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − 1 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = − + 2 面外， E n ( ) 2 1 1 2 0 = + n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面． 7 半径为 R 的均匀带电球体内的电荷体密度为 ,若在球内挖去一块半径为 r ＜ R 的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心 O 与 O 点的场强，并证 明小球空腔内的电场是均匀的． 解: 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 − 的均匀小球的组合，见 题 7 图(a)． (1) + 球在 O 点产生电场 E10 = 0 ， − 球在 O 点产生电场 ' 4π d π 3 4 3 0 3 20 OO r E = ∴ O 点电场 ' 3 d 3 0 3 0 OO r E = ； (2) + 在 O 产生电场 ' 4π d d 3 4 3 0 3 E10 OO =
p球在O产生电场E20=0 ∴O′点电场E=Doo 题7图(a) 题7图(b) (3)设空腔任一点P相对O的位矢为F’,相对O点位矢为F(如题8-13(b) (F-F) 腔内场强是均匀的. 题8图 8如题8图所示,在A,B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷,AB间 距离为2R,现将另一正试验点电荷qo从O点经过半圆弧移到C点,求移动 过程中电场力作的功 解:如题8图示
− 球在 O 产生电场 E20 = 0 ∴ O 点电场 0 0 3 E = OO' 题 7 图(a) 题 7 图(b) (3)设空腔任一点 P 相对 O 的位矢为 r ，相对 O 点位矢为 r (如题 8-13(b) 图) 则 3 0 r EPO = ， 3 0 r EPO = − , ∴ 0 0 3 0 ' 3 ( ) 3 d EP EPO EPO r r OO = + = − = = ∴腔内场强是均匀的． 题 8 图 8 如题8图所示，在 A ，B 两点处放有电量分别为+ q ,- q 的点电荷， AB 间 距离为2 R ，现将另一正试验点电荷 0 q 从 O 点经过半圆弧移到 C 点，求移动 过程中电场力作的功． 解: 如题 8 图示
g q U。= g q 4 3R R 6πEnR bt sr Eo 9如题9图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为A的正电荷,两直导线的 长度和半圆环的半径都等于R.试求环中心O点处的场强和电势 解:(1)由于电荷均匀分布与对称性,AB和CD段电荷在O点产生的场强 互相抵消,取d/=Rd6 则dq=ARdb产生O点dE如图,由于对称性,O点场强沿y轴负方向 B CR D 题9图 ARde e=dE - cose 24πE L sin(--) 4πEnR R (2)AB电荷在O点产生电势,以U2=0 In 2 4πEc0x4πEa
4π 0 1 UO = ( − ) = 0 R q R q 4π 0 1 UO = ) 3 ( R q R q − R q 6π 0 = − ∴ R q q A q U U o O C 0 0 6π ( ) = − = 9 如题9图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷,两直导线的 长度和半圆环的半径都等于 R ．试求环中心 O 点处的场强和电势． 解: (1)由于电荷均匀分布与对称性， AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强 互相抵消，取 dl = Rd 则 dq = Rd 产生 O 点 E d 如图，由于对称性， O 点场强沿 y 轴负方向 题 9 图 cos 4π d d 2 2 2 0 − = = R R E Ey 4π 0R = ［ ) 2 sin( − 2 sin − ］ 2π 0R − = (2) AB 电荷在 O 点产生电势，以 U = 0 = = = A B 2 0 0 0 1 ln 2 4π 4π d 4π d R R x x x x U
同理CD产生2-4兀 In 2 半圆环产生U2=xR 4πEnR4 Eo 10根据场强E与电势U的关系E=-VU,求下列电场的场强:(1)点电 荷q的电场;(2)总电量为q,半径为R的均匀带电圆环轴上一点;*(3)偶 极子p=ql的r>>/处(见题10图) 解:(1)点电荷U= 题10图 FF为r方向单位矢量 4πEar (2)总电量q,半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势 R2+ E OU ax 4tE(R2+x2 (3)偶极子p=q在r>l处的一点电势 cos e 4 cos0)(1+-cos0)
同理 CD 产生 ln 2 4π 0 2 U = 半圆环产生 0 0 3 4π 4 π = = R R U ∴ 0 0 1 2 3 4 ln 2 2π UO =U +U +U = + 10 根据场强 E 与电势 U 的关系 E = −U ，求下列电场的场强：(1)点电 荷 q 的电场；(2)总电量为 q ，半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶 极子 p = ql 的 r l 处(见题10图)． 解: (1)点电荷 r q U 4π 0 = 题 10 图 ∴ 2 0 0 0 4π r r q r r U E = = − 0 r 为 r 方向单位矢量． (2)总电量 q ，半径为 R 的均匀带电圆环轴上一点电势 2 2 4π 0 R x q U + = ∴ ( ) i R x qx i x U E 3 / 2 2 2 4π 0 + = = − (3)偶极子 p ql = 在 r l 处的一点电势 2 0 4π 0 cos ] cos ) 2 (1 1 cos ) 2 ( 1 [ 4π r ql l l r q U = + − − =
E pcosb rar2πE07 Eo=_1aU psin 6 r64πE0 11三个平行金属板A,B和C的面积都是200cm,A和B相距4.0m,A 与C相距2.0mm.B,C都接地,如题8-22图所示.如果使A板带正电3.0 ×10C,略去边缘效应,问B板和C板上的感应电荷各是多少?以地的电势 为零,则A板的电势是多少? 解:如题11图示,令A板左侧面电荷面密度为a1,右侧面电荷面密度为2 题11图 (1)∵ AB 3 且 q O1+ 得 q 3S q 10-C -a,S=-1×10-7C
∴ 3 2π 0 cos r p r U Er = = − 3 4π 0 1 sin r U p r E = = − 11 三个平行金属板 A ，B 和 C 的面积都是200cm2， A 和 B 相距4.0mm， A 与 C 相距2.0 mm． B ，C 都接地，如题8-22图所示．如果使 A 板带正电3.0 ×10-7 C，略去边缘效应，问 B 板和 C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势 为零，则 A 板的电势是多少? 解: 如题 11 图示，令 A 板左侧面电荷面密度为 1 ，右侧面电荷面密度为 2 题 11 图 (1)∵ U AC = U AB ，即 ∴ EACd AC = EABd AB ∴ 2 d d 2 1 = = = AC AB AB AC E E 且 1 + 2 S qA = 得 , 3 2 S qA = S qA 3 2 1 = 而 7 1 2 10 3 2 − qC = − S = − qA = − C 1 10 C 7 2 − qB = − S = −
U=E-d OL d=2.3×103V 12半径为R的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为 d=3R处有一点电荷+q,试求:金属球上的感应电荷的电量 解:如题12图所示,设金属球感应电荷为q′,则球接地时电势U。=0 12图 由电势叠加原理有 4πER4E3R 13在半径为R1的金属球之外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳,介 质相对介电常数为s,金属球带电Q·试求: (1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势 (3)金属球的电势 解:利用有介质时的高斯定理{Ds=∑q (1)介质内(R1<r<R2)场强 4πEE 介质外(r<R2)场强
(2) 3 0 1 UA = EACd AC = d AC = 2.310 V 12 半径为 R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为 d = 3R 处有一点电荷+ q ，试求：金属球上的感应电荷的电量． 解: 如题 12 图所示，设金属球感应电荷为 q ，则球接地时电势 UO = 0 12 图 由电势叠加原理有： UO = 0 4π 4π 3 ' 0 0 + = R q R q 得 q = − 3 q 13 在半径为 R1 的金属球之外包有一层外半径为 R2 的均匀电介质球壳，介 质相对介电常数为 r ，金属球带电 Q ．试求： (1)电介质内、外的场强； (2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势． 解: 利用有介质时的高斯定理 D S = q S d (1)介质内 ( ) 1 R2 R r 场强 3 0 3 4π , 4π r Qr E r Qr D r = 内 = ; 介质外 ( ) R2 r 场强