《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第六章 弯曲应力

第六章弯曲应力 授课学时:6学时 主要内容:纯弯曲的正应力:横力弯曲切应力。 S61梁的弯曲 1.横力弯曲 横截面上既有Q又有M的情况。如AC、DB段。 2.纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时,该段梁的变形称为纯弯曲。如CD段。 LaIlIIIImImm 3.梁的纯弯曲实验 (1)现象:横向线a-b变形后仍为直线,但有转动:纵向线变a-a变为曲线,且上面 压缩下面拉伸;横向线与纵向线变形后仍垂直 2)中性层:梁内有一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此 层纤维称中性层 (3)中性轴:中性层与横截面的交线。 横截面对称轴 纵向对称面 中性层

1 第六章 弯曲应力 授课学时：6 学时 主要内容：纯弯曲的正应力；横力弯曲切应力。 $6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有 Q 又有 M 的情况。如 AC、DB 段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲。如 CD 段。 Q 3．梁的纯弯曲实验 （1）现象：横向线 a-b 变形后仍为直线，但有转动；纵向线变 a −a 变为曲线，且上面 压缩下面拉伸；横向线与纵向线变形后仍垂直。 （2）中性层：梁内有一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此 层纤维称中性层。 （3）中性轴：中性层与横截面的交线。 a a b b a a b b m m 横截面对称轴 中性轴 中性层 纵向对称面

S62纯弯曲时的正应力 1.变形几何关系 从梁中截取出长为dx的一个微段,横截面选用如图所示的y-z坐标系。图中,y轴 为横截面的对称轴,z轴为中性轴。从图中可以看到,横截面间相对转过的角度为dθ,中 dx O m m b 性层oo曲率半径为p,距中性层为y处的任一纵 线(纵向纤维)bb为圆弧曲线。因此,纵线bb的伸长 为 A=(P+y)d8-dx=(p+ y)de-pde= ydB 而其线应变为 △lyly bb de 纵向纤维的应变与它到中性层的距离y成正比 2.物理关系 梁的纵向纤维间无挤压,只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的 比例极限pp时,可由虎克定律得到横截面上坐标为y处各点的正应力为

2 $6.2 纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为 dx 的一个微段，横截面选用如图所示的 y − z 坐标系。图中， y 轴 为横截面的对称轴， z 轴为中性轴。从图中可以看到，横截面间相对转过的角度为 d ，中 dx o o b b ' o ' o m d ' b ' y b  m 性层 ' ' o o 曲率半径为  ，距中性层为 y 处的任一纵 线（纵向纤维） ' ' b b 为圆弧曲线。因此，纵线 bb 的伸长 为 l = ( + y)d − dx = ( + y)d − d = yd 而其线应变为      y d yd bb l = =  = 纵向纤维的应变与它到中性层的距离 y 成正比。 2．物理关系 梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简单拉伸或压缩。当横截面上的正应力不超过材料的 比例极限  P 时，可由虎克定律得到横截面上坐标为 y 处各点的正应力为 y E E   =  = m z y dA x y z

该式表明,横截面上各点的正应力a与点的坐标y成正比。中性轴z上各点的正应力 均为零,中性轴上部横截面的各点均为压应力,而下部各点则均为拉应力 3.静力关系 横截面上坐标为(y,2)的点的正应力为σ,截面上各点的微内力od4组成与横截面垂 直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量,即平行x轴的轴力N,对z轴 的力偶矩M.和对轴的力偶矩M、,分别为 n=odA, M==ddA 考虑左侧平衡,∑X=0,∑M,=0,得 N=|∞uA=0,M odA=0 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩M M:=yoda=Lyc dA= M 式中积分 ∫,va=2 是横截面对中性轴z的惯性距,上式可写成为 式中,E/z越大,则曲率亠越小。因此,E/z称为梁的抗弯刚度。将该式代入 E σ=EE=一y,即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 小 即以梁的中性层为界,梁的凸出一侧受拉压力,凹入的一侧受压 则截面上的最大正应力为

3 该式表明，横截面上各点的正应力  与点的坐标 y 成正比。中性轴 z 上各点的正应力 均为零，中性轴上部横截面的各点均为压应力，而下部各点则均为拉应力。 3．静力关系 横截面上坐标为 ( y,z) 的点的正应力为  ，截面上各点的微内力 dA 组成与横截面垂 直的空间平行力系。这个内力系只能简化为三个内力分量，即平行 x 轴的轴力 N ，对 z 轴 的力偶矩 M z 和对轴的力偶矩 M y ，分别为  = A N dA，  = A M y zdA，  = A Mz ydA 考虑左侧平衡， X = 0， M y = 0 ，得  = = A N dA 0，  = = A M y zdA 0 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩 M z   = = = A A z y dA M E M y dA 2   式中积分 z A y dA = I  2 是横截面对中性轴 z 的惯性距，上式可写成为 EI M =  1 式中， EIZ 越大，则曲率  1 越小。因此， EIZ 称为梁的抗弯刚度。将该式代入 y E E   =  = ，即可得到弯曲时梁的横截面上的正应力计算公式 z I My  = 即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹入的一侧受压。 则截面上的最大正应力为

S63横力弯曲时的正应力 1.横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的细长梁,即截面高度h远小于跨度l的梁,横截面将不在保持为平面。纵 向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式,能够满足精度的要 求 横力弯曲时,弯矩随截面位置变化。一般情况下,在弯矩最大的截面上离中性轴最远处 发生最大应力。有公式 Mmy 引入符号W 则截面上最大弯曲正应力可以表达为 ,强度条 件为 M 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面 的抗弯截面模量分别为: 高为h,宽为b的矩形截面:W bh2 直径为的圆截面:W= zd 3 2.例题 受均布载荷作用的简支梁如图所示,试求 (1)1—1截面上1、2两点的正应力 (2)此截面上的最大正应力; (3)全梁的最大正应力 解:画M图求截面弯矩 q=60KN/m x =60kNm i 22 求应力

4 z I Mymax  max = $6.3 横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲时的正应力 横力弯曲时的细长梁，即截面高度 h 远小于跨度 l 的梁，横截面将不在保持为平面。纵 向纤维间的正应力也存在。但用纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要 求。 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩最大的截面上离中性轴最远处 发生最大应力。有公式 z I M y max max  max = 引入符号 max y I W z z = ，则截面上最大弯曲正应力可以表达为 W Mmax  max = ，强度条 件为  =   W Mmax max Wz 称为截面图形的抗截面模量。它只与截面图形的几何性质有关。矩形截面和圆截面 的抗弯截面模量分别为： 高为 h ，宽为 b 的矩形截面： 6 2 12 2 2 3 bh h bh h I W z = = = 直径为  的圆截面： 32 2 64 2 3 3 d d d d I W z   = = = 2．例题 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求： （1）1——1 截面上 1、2 两点的正应力； （2）此截面上的最大正应力； （3）全梁的最大正应力； 解：画 M 图求截面弯矩 kNm qLx qx M 60 2 2 2 1 =        = − 求应力 /8 2 qL

1.=b2=120×180 ×10-12=5832×10-5m4 12 648×10-4m h/2 60×60 5832×105=67MPa 10+=926MPa W648 M 675 =×104=1042MPa W6.48 S64弯曲切应力 1.矩形截面中的弯曲切应力 1)矩形截面中的弯曲切应力假设 大小:矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。 方向:高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布 2)研究方法:分离体平衡。 在梁上取微段dx,在微段上再取一块如图,列平衡方程 ∑X=N2-N1- r bdx=0(1) (2) e(x)+do(r) A:==M+4=+A=(3) M(x)+dM(x) (3)带入(1)、(2)得r=MS dx bl 由剪应力互等得 dM s ∫a-的byb 于是

5 12 5 4 3 3 10 5.832 10 12 120 180 12 m bh I z − −  =   = = 4 3 6.48 10 / 2 m h I W z z − = =  MPa I M y z 10 61.7 5.832 1 60 60 5 1 2  = −   =  = = MPa W M z 10 92.6 6.48 1 60 4  1max = =  = MPa W M z 10 104.2 6.48 max 67.5 4  max = =  = $6.4 弯曲切应力 1．矩形截面中的弯曲切应力 1）矩形截面中的弯曲切应力假设 大小：矩形横截面中弯曲切应力方向与剪力方向相同。 方向：高宽比较大的矩形截面中的弯曲切应力沿宽度均匀分布。 2）研究方法：分离体平衡。 在梁上取微段dx，在微段上再取一块如图，列平衡方程： 0 ' X = N2 − N1 − bdx = （1） z z A A z I MS y dA I M N dA * 1 1 1 1 = = =    （2） ( ) ( ) z z A A z I M dM S y dA I M dM N dA * 2 1 1 1 1 + = + = =    （3） （3）带入（1）、（2）得 z Z bI S dx dM * '  = 由剪应力互等得 z Z bI S dx dM * '  =  =           = = = − − 1 2 2 2 1 1 * A 4 h y z y h S y dA by dy 于是         = − 2 2 2 4 y h I Q Z  Q(x)+ dQ(x) Q(x) M (x) M (x)+ dM (x) y dx M (x)

30 并y=0时t2MN1.5 2.工字钢截面 工字形截面可以看作由三个矩形截面组成,因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。 仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式r bl 2~y‖y+/ 将此式代入弯曲剪应力公式,可得腹板上弯曲剪应力的计算公式 b(h2 4 将y=0时,在截面中性轴上时,在腹板与翼 缘的交y=±带入上式,得 日 Q BH Bh 12b88 3.圆形截面梁 s R2 4RR, b=2R, I=4 I b 3 R S65梁的正应力和剪应力强度条件、提高弯曲强度的措施 1.弯曲正应力和剪应力强度条件 梁在弯曲时,横截面上一部分点受拉应力,另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类 塑性材料,其抗拉和抗压能力相同,为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许 用应力,常将这种梁做成矩形,圆形和工字形等对称于中性轴的截面,对于拉压强度不等的 材料,拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为 例求T形截面梁的最大切应力 6

6 并 y = 0 时有  1.5 2 3 max = = bh Q 2．工字钢截面 工字形截面可以看作由三个矩形截面组成，因此其弯曲剪应力计算与矩形截面梁类似。 仍然沿用矩形截面梁弯曲剪应力计算公式 z z bI QS   = 。              + −      + −              + −      = −  y h y y h b H h h H h Sz B 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 将此式代入弯曲剪应力公式，可得腹板上弯曲剪应力的计算公式 ( )               = − + − 2 2 2 2 8 2 4 y b h H h B I b Q Z  将 y = 0 时，在截面中性轴上时，在腹板与翼 缘的交 2 h y =  带入上式，得 ( )       = − − 8 8 2 2 max h B b BH I b Q Z        = − 8 8 2 2 min BH Bh I b Q Z  3．圆形截面梁 3 2 * 3 2 3 4 2 R R R Sz = • =   ，b = 2R ， 4 2 R I z  = 2 * max 3 4 R Q I b QS z z   = = $6.5 梁的正应力和剪应力强度条件 、提高弯曲强度的措施 1．弯曲正应力和剪应力强度条件 梁在弯曲时，横截面上一部分点受拉应力，另一部分点受压应力。对于低碳钢等这一类 塑性材料，其抗拉和抗压能力相同，为了使横截面上的最大拉应力和最大压应力同时达到许 用应力，常将这种梁做成矩形，圆形和工字形等对称于中性轴的截面，对于拉压强度不等的 材料，拉压应力均不应该超过各自的许用应力。于是强度条件为  =   W Mmax max ，    max 例 求 T 形截面梁的最大切应力

解: (1)求支反力 R=5kN, RB=l1.5kN (2)作剪力图 O=6.5kN (3)求最大切应力 S=88×10-3×20×10-3×44×10-=774×10-m3 =763×10-6m4 3.30×104P 2.提高弯曲强度的措施 1)梁的合理受力(降低最大弯矩Mm) (1)合理放置支座(从设计方案考虑) 双杠,等强,Mm=|Mn 以剪支梁为例,最大弯矩为 若两端支座各向中心移动0.2,最大弯矩减小为 q (2)合理布置载荷(从使用方案考虑) 2)合理设计截面形状(增大抗弯截面模量W) (1)梁的截面优化

7 A B C D 9kN 4kN 1m 1m 1m Q x 解： （1）求支反力 RA = 5kN ， RB =11.5kN （2）作剪力图 Qmax = 6.5kN （3）求最大切应力 * 3 3 3 4 3 Sz,max 88 10 20 10 44 10 77.4 10 m − − − − =      =  6 4 I z 7.63 10 m − =  Pa I b Q S Z z 4 * max  max = = 3.3010 2．提高弯曲强度的措施 1）梁的合理受力(降低最大弯矩 Mmax ) (1)合理放置支座(从设计方案考虑) 双杠，等强， Mmax = Mmin 以剪支梁为例，最大弯矩为 8 2 max ql M = 若两端支座各向中心移动 0.2l ，最大弯矩减小为 40 2 max ql M = （2)合理布置载荷(从使用方案考虑) 2）合理设计截面形状(增大抗弯截面模量 Wz ) （1）梁的截面优化

∥,对于宽b,高为h的矩形,抗弯截面模量W= =0.167Ah 因此,高度越大,W越大,σ~越小 在外边缘达到许用应力时,中性轴附近的应力很小,造成材料的浪费。例如:圆形截面。理 想的情况是将面积之半分布于距中性轴为h处 a塑性材料[o]=[o 上、下对称抗弯更好,抗扭差。 b脆性材料{]<[ 采用T 字型或上下 不对称的工 字型截面 h 3)等强 度梁-截面 A/2 沿杆长变 化,恰使每个截面上的正应力都等于许用应力,这样的变截面梁称为等强度梁。 由 (x) ]得 w(x) M(x) 若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度h,高度为x的函 数,b=b(x)。则M(x)=-Px r()= 2M(x) 得出b(x)=,3P 按剪切强度确定截面宽度的最小值bmn。 26. h 26. h

8 W Mmax  max = ，对于宽 b ，高为 h 的矩形，抗弯截面模量 Wz Ah 0.167Ah 6 = = 。 因此，高度越大， Wz 越大，  max 越小。 在外边缘达到许用应力时，中性轴附近的应力很小，造成材料的浪费。例如：圆形截面。理 想的情况是将面积之半分布于距中性轴为 2 h 处。 a.塑性材料      t =  c 上、下对称 抗弯更好，抗扭差。 b.脆性材料      t   c 采 用 T 字型或上下 不对称的工 字型截面。 3）等强 度梁-截面 沿杆长变 化，恰使每个截面上的正应力都等于许用应力，这样的变截面梁称为等强度梁。 由 ( ) ( )  = =   W x M x max 得 ( ) ( )   M x W x = 若图示悬臂梁为等强度梁。等宽度 h，高度为 x 的函 数，b=b(x)。则 M (x) Px 2 1 = ( ) ( ) ( )     Px b x h M x W x 2 1 6 2 = = = 得出 ( )   x h P b x 2 3  = 按剪切强度确定截面宽度的最小值 bmin 。  = = =   b h P b h Q min min max 2 1 2 3 2 3 P x A/2 A/2 A A A     h

3P 由于变截面梁并不节省材料,且加工麻烦,因此采用阶梯梁(加工方便)

9 h  P b 4 3 min = 由于变截面梁并不节省材料，且加工麻烦，因此采用阶梯梁(加工方便)