第四章平面图形的几何性质 授课学时:4学时 内容:静矩和形心;惯性矩;惯性积:平行移轴定理。 S41静矩和形心 1.静矩 对于图形,其面积为A。z和y为图形所在平面的坐标 轴。则微面积dA在整个图形面积上对坐标轴的积分为 dA,S,=eda 称为图形对二轴和y轴的静矩或一次矩。 2.形心 设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。则重心与平面 图形的形心一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标 歹和三分别为 「y4∫ A 从上式可以看出,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通过图形的形心;反 若图形对某一轴通过图形的形心,则图形对该轴静矩等于零。 当一个图形A由A1,A2….A等n个图形组合而成的组合图形时,由静距的定义得 S:=「y=Jy+j+…+y=A+42+…4=∑4 同理得 S,=∑A s42惯性矩、惯性半径和惯性积 惯性矩 1,==ad 1=p4=J(2+=)H=1+1 2.惯性半径
第四章 平面图形的几何性质 授课学时：4 学时 内容：静矩和形心；惯性矩；惯性积；平行移轴定理。 $4.1 静矩和形心 1．静矩 对于图形，其面积为 A。z 和 y 为图形所在平面的坐标 轴。则微面积 dA 在整个图形面积上对坐标轴的积分为 = A z S ydA， S zdA A y = 称为图形对 z 轴和 y 轴的静矩或一次矩。 2．形心 设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。则重心与平面 图形的形心一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标 y 和 z 分别为 A ydA y A = ， A zdA z A = A S y z = ， A S z y = 从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心；反之， 若图形对某一轴通过图形的形心，则图形对该轴静矩等于零。 当一个图形 A 由 A1， A2… An 等 n 个图形组合而成的组合图形时，由静距的定义得 = = = + + + = + + = n i n n i i A A A A z S ydA ydA ydA ydA A y A y A y A y n 1 1 1 2 2 1 2 同理得 = = n i i y i S A z 1 $4.2 惯性矩、惯性半径和惯性积 1．惯性矩 = A I y z dA 2 ， = A I z y dA 2 ， ( ) z y A A p I = dA = y + z dA = I + I 2 2 2 2．惯性半径 dA z z ~ y y ~ c y z dA z y y z o
VA 3.惯性积 s43平行移轴公式 图形对型心轴y和二的惯性距和惯性积分别为 「:a,1=Jy2d,t1:=Jy:=.4 图形对型心轴y和的惯性距和惯性积分别为 =|二 「:a4+2aJ=.+la 由于=d4=0,d4=A 上式得 I=I+a-a 同理可得 I+abA
A I i y y = ， A I i z z = 3．惯性积 = A yz I yzdA $4.3 平行移轴公式 b a z y zc yc z c zdA yc y o c 图形对型心轴 c y 和 c z 的惯性距和惯性积分别为 I z dA A yc = c 2 ， I y dA A zc = c 2 ， I y z dA A y z c c c c = 图形对型心轴 y 和 z 的惯性距和惯性积分别为 ( ) = = + = + + A A A c c A c A I y z dA z a dA z dA a z dA a dA 2 2 2 2 2 由于 = 0 A zc dA ， dA A A = 上式得 I y I yC a A 2 = + 同理可得 I z I zC b A 2 = + I I abA C C yz = y z +
S44转轴公式主惯性轴 1.两种坐标的转换 ∫y= cosa+zsma cosa-ysin a 2.转轴公式的推导 I, =L=idA=l(cosa-ysin a)dA=cosa='dA+sin'aly'dA-2sin a cos alyzdA Iy cos a+1. sn a-1 sin 2a 以cos2a=(1+cos2a)和sn2a=(1-cos2a)代入上式,得到 Ⅰ+ⅠI-I cos 2a-1 sin g 2a 2 同理可得 cos 20+ sin 2a Ⅰ-I 2SIn 2a+I cos 2a 3.主惯性轴 对/求导得 d 2Sin 2a +I cos 2a 若a=a0时 dly=0得
$4.4 转轴公式 主惯性轴 dA 1 z z y 1 yy 1 y z 1 z o 1．两种坐标的转换 = − = + cos sin cos sin 1 1 z z y y y z 2．转轴公式的推导 ( ) cos sin sin 2 cos sin cos sin 2sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Y z yz A A A A A y I I I I z dA z y dA z dA y dA yzdA = + − = = − = + − 以 (1 cos 2) 2 1 cos 2 = + 和 (1 cos 2) 2 1 sin 2 = − 代入上式，得到 cos2 sin 2 2 2 1 I g I I I I I yz y z y z y − − + + = 同理可得 cos 2 sin 2 2 2 1 yz y z y z z I I I I I I + − − + = sin 2 cos 2 2 1 1 yz y z y z I I I I + − = 3．主惯性轴 对 1 y I 求导得 + − = − sin 2 cos 2 2 2 1 yz y y z I I I d dI 若 = 0 时 0 1 = d dI y 得
-sin 2a+ cos 20=0 tan 2a= 解出ao,可以确定一对坐标轴y0和=0 上式代入到惯性积公式得=0 所以,当坐标轴绕O点转到y和二0位置时,图形对坐标轴的惯性积等于零。这一对坐 标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为主惯性矩。对应着一个最大值,一个最小 值
sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = − yz y z I I I y z yx I I I − = − 2 tan 2 0 ，解出 0 ，可以确定一对坐标轴 0 y 和 0 z 。 上式代入到惯性积公式得 0 1 1 I y z = 。 所以，当坐标轴绕 O 点转到 0 y 和 0 z 位置时，图形对坐标轴的惯性积等于零。这一对坐 标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为主惯性矩。对应着一个最大值，一个最小 值
