第十章压杆稳定
第十章 压杆稳定
$101压杆稳定的概念 1.压杆稳定 若处于平衡的构件,当受到 微小的干扰力后,构件偏离 原平衡位置,而干扰力解除以 后,又能恢复到原平衡状态时干扰力 这种平衡称为稳定平衡 2.临界压力 当轴向压力大于一定数值时,任一微 小挠动去除后,杆件不能恢复到原直 线平衡位置,则称原平衡位置是不稳P 定的,此压力的极限值为临界压力 3.曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动,转变 到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳
若处于平衡的构件，当受到 一微小的干扰力后，构件偏离 原平衡位置，而干扰力解除以 后，又能恢复到原平衡状态时 ，这种平衡称为稳定平衡。 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变 到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 P P P P Pcr Pcr 干扰力 当轴向压力大于一定数值时，任一微 小挠动去除后，杆件不能恢复到原直 线平衡位置，则称原平衡位置是不稳 定的，此压力的极限值为临界压力。 $10.1压杆稳定的概念 1．压杆稳定 2．临界压力 3．曲屈
$102细长压杆临界压力的欧拉公式 1 两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xoy。距原点为x的任意截面的挠度为v。 若压力P取绝对值,则y为正时,M为负。于是有 M=-Pv 2.挠曲线近似微分方程 将其代入弹性挠曲线近似微分方程, 则得 EIv=Mx)=Pv 令k2P E则有v+kv=0 该微分方程的通解为 v= Asin kx+ bcos kx
$10.2细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xoy。距原点为x的任意截面的挠度为v。 若压力P取绝对值，则y为正时，M为负。于是有 M = −Pv 2．挠曲线近似微分方程 EIv = M(x) = −Pv '' 令 EI P k = 2 则有 0 '' 2 ' v + k v = 该微分方程的通解为 v = Asin kx+ Bcoskx x 将其代入弹性挠曲线近似微分方程， 则得
式中A、B——积分常数,可由边界条件确定压杆为球铰支座 提供的边界条件为: x=0和x=l时,v=0 将其代入通解式,可解得 Asin kl=0. B=0 上式中,只有snkl=0 满足上式的值为 k=n(n=0,1,2,…) 则有k 1于是,压力P为P=k2EI=mn2E 1丌 n=1得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力P、nE 此式由瑞士科学家欧拉于1744年提出,故也称两端铰支细长压 杆的欧拉公式
式中A、B——积分常数，可由边界条件确定压杆为球铰支座 提供的边界条件为: x x = 0 和 x = l 时， v = 0 将其代入通解式，可解得 Asin kl = 0 ， B = 0 上式中， 只有 sin kl = 0 满足上式的值为 kl = n (n = 0,1,2, ) 则有 l n k = 于是，压力P为 2 2 2 2 l n EI P k EI = = n=1得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力 2 2 l EI Pc = 此式由瑞士科学家欧拉于1744年提出，故也称两端铰支细长压 杆的欧拉公式
此公式的应用条件:理想压杆;线弹性范围内;两端为球铰支座 $103其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 式中4称为长度系数, 山是把压杆折算成相当于两端铰支杆时的长度 ,称为相当长度 例:试由两端固定细长压杆的挠曲线的微分方 程,导出欧拉公式。 解 由挠曲线的微分方程可得
此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 2 2 ( l) EI Pcr = 式中 称为长度系数， l 是把压杆折算成相当于两端铰支杆时的长度 ，称为相当长度。 例：试由两端固定细长压杆的挠曲线的微分方 程，导出欧拉公式。 解： P R B y A x v x l 0.3l C 由挠曲线的微分方程可得
d-v M P R(I-x 1+ d x El El El 方程的通解为 R B v=C cos kx+C, sin kx+(7-x) 固定支座的边界条件是 x=0时, 0 x=l时,=0, 0 边界条件带入上面各式得 R R l=0.C cos kl+Casin kl=okc elk Eh2=0
EI R l x v EI P EI M dx d v ( ) 2 2 − = = − + 方程的通解为 (l x) EIk R v = C k x + C k x + − 1 2 2 cos sin 固定支座的边界条件是 x = 0 时， v = 0 ， = 0 dx dv x = l 时， v = 0 ， = 0 dx dv 边界条件带入上面各式得 0, cos sin 0, 0 1 2 1 2 2 2 + = + = − = EIk R l C k l C k l k C EIk R C P R B y A x v x l 0.3l C
解得 tan kl=kl 作出正切曲线,与从坐标画出的45°斜直线相交, 交点的横坐标为 (4493)2E/(0.7) 弯矩为零的C点的横坐标 1.352 ≈0.3l k
解得 tan kl = kl 作出正切曲线，与从坐标画出的45º斜直线相交， 交点的横坐标为 ( ) ( ) 2 2 P 4.493 EI / 0.7l cr = 弯矩为零的C点的横坐标 l k xc 0.3 1.352 =
$104压杆的稳定校核 1.压杆的许用压力 st [P]为许可压力;nx为工作安全系数 2.压杆的稳定条件 P≤P 例平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径D=65mm,油压 p=1.2MPa,活塞杆长度/=1250mm,材料为35钢,G产220MPa ,E=210Ga,n=6。试确定活塞杆的直径。 解: 活塞杆 (1)轴向压力
$10.4 压杆的稳定校核 1．压杆的许用压力 st cr n P P = P 为许可压力； st n 为工作安全系数。 2．压杆的稳定条件 P P 例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径 D = 65mm ，油压 p = 1.2MPa 。 ，活塞杆长度 l =1250mm ，材料为35钢， P = 220MPa ， E = 210GPa ， ns = 6 试确定活塞杆的直径。 （1）轴向压力 活塞杆 解： p
P=D3p=65×10-)×12×10°=3980N 4 (2)临界压力 =n3P=6×3980=23900N (3)确定活塞杆直径 由P 丌2EI 23900N得出d≈0.025m 1×1.25 (4)计算活塞杆柔度 200 0.025 丌2E|x2×210×10 对35号钢,A1= =97 220×10 因为,1 ELEE 满足欧拉公式的条件。 活塞杆
P D p (65 10 ) 1.2 10 3980N 4 4 6 2 2 3 = = = − Pcr = nstP = 63980 = 23900N （2）临界压力 p 活塞杆 （3）确定活塞杆直径 ( ) N l EI Pcr 23900 2 2 = = 由 得出 d 0.025m （4）计算活塞杆柔度 200 4 0.025 1 1.25 = = = i l 对35号钢， 97 220 10 210 10 6 2 2 9 1 = = = P E 因为， 满足欧拉公式的条件。 1