第二章轴向拉伸、压缩与剪切 授课学时:8学时 主要内容 1.轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力σ=,强度条件om= A mmx slo] 2.胡克定律M=M E EA 3.用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移 4.简单拉压静不定问题的求解 5.剪应力、挤压应力强度条件的应用 S21轴向拉伸与压缩的概念 1.轴向拉伸与压缩的概念 杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合,变形是沿轴线方向的伸长和缩短。 2.力学模型 s22轴力、轴力图 1.轴力 杆在轴向拉压时,横截面上的内力称为轴力。轴力用N表示,方向与轴线重合 n 一 求解轴力的方法:截面法 轴力的符号规则:N与截面的外法线方向一致为正;反之为负。轴力为正,杆件受拉 轴力为负,杆件受压 2.轴力图:用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位 置,纵轴表示轴力大小。它能确定岀最大轴力的数值及其所在横截面的位置,即确定危险截
第二章 轴向拉伸、压缩与剪切 授课学时：8 学时 主要内容： 1．轴向拉伸与压缩杆横截面上正应力 A N = ，强度条件 ( ) [ ] max = max A N 2．胡克定律 EA NL l = ， = E 3．用切线代圆弧法求解超静定桁架结点位移 4．简单拉压静不定问题的求解 5． 剪应力、挤压应力强度条件的应用 $2.1 轴向拉伸与压缩的概念 1．轴向拉伸与压缩的概念 杆件上外力合力的作用线与杆件轴线重合，变形是沿轴线方向的伸长和缩短。 2．力学模型 $2.2 轴力 、轴力图 1．轴力 杆在轴向拉压时，横截面上的内力称为轴力。轴力用 N 表示，方向与轴线重合。 N N 求解轴力的方法：截面法。 轴力的符号规则：N 与截面的外法线方向一致为正；反之为负。轴力为正，杆件受拉； 轴力为负，杆件受压。 2．轴力图：用折线表示轴力沿轴线变化的情况。该图一般以杆轴线为横轴表示截面位 置，纵轴表示轴力大小。它能确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截 P P P P
面位置,为强度计算提供依据 例AB杆受力如图所示,已知P=25N,P2=4N,P=5N。试求AB杆 各段内并作轴力图 解: (1)计算各段的轴力 对AC段,设置截面如图, 由平衡方程∑X=0得 N,=P=2.5KN 对BC段,由平衡方程∑X=0得 P+N,-P=0 N,=-1.5KN (2)按比例画轴力图 3.轴向拉(压)时横截面上的应力,强度条件 根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设,可得横截面上只存在正应 力。又因为材料均匀连续,并且纵向纤维的伸长相同,所以横截面上的正应力均匀分布。 N 强度条件及其应用: 例如图所示托架,已知:AB为钢板条,截面积100cm2,AC为10号槽钢,横截面 面积为A=12.7cm2。若P=65KN,求:各杆的应力 解 (1)以节点C为研究对象,受力分析如图所示,建立平衡方程 X=0 N 解方程可得
面位置，为强度计算提供依据 例 AB 杆受力如图所示 , 已知 P1 = 2.5kN，P2 = 4kN ， P3 =1.5kN 。 试求 AB 杆 各段内并作轴力图 解: (1)计算各段的轴力 对 AC 段，设置截面如图， 由平衡方程 X = 0 得 N1 = P1 = 2.5KN 对 BC 段，由平衡方程 X = 0 得 P2 + N2 − P1 = 0 N2 = −1.5KN (2)按比例画轴力图 3．轴向拉（压）时横截面上的应力，强度条件 根据横截面在轴向拉压时仍然保持为平面不变的平面假设，可得横截面上只存在正应 力。又因为材料均匀连续，并且纵向纤维的伸长相同，所以横截面上的正应力均匀分布。 A N = 强度条件及其应用： = A N 例 如图所示托架，已知：AB 为钢板条， 截面积 100cm2，AC 为 10 号槽钢，横截面 面积为 A=12.7 cm2。若 P = 65KN ，求：各杆的应力。 解： （1）以节点 C 为研究对象，受力分析如图所示，建立平衡方程 = = 0 0 Y X ， N P N N = = 5 4 5 3 2 2 1 解方程可得 A C B
N1=488KN N2=813KN (2)计算各杆的应力 B C N2 AB和AC的应力为 1==163MPa A A 64MPa S23材料拉伸时的力学性能 1.低碳钢拉伸时的力学性能 材料的力学性能:就是材料在外力作用下,所表现出来的变形和破坏等方面的特性 试件形状: (1)弹性阶段 < 应力一应变曲线上当应力增加到b点时,再将应力降为零,则应变随之消失;一旦应力 超过b点,卸载后,有一部分应变不能消除,则b点的应力定义为弹性极限O。在拉伸(或 压缩)的初始阶段应力矿与应变E为直线关系直至4点,此时4点所对应的应力值称为比例 极限P,表示为=EE s (2)屈服阶段O 在应力增加很少或不增加时,应变会很快增加,这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所
= = N KN N KN 81.3 48.8 2 1 （2）计算各杆的应力 AB 和 AC 的应力为 = = = = MPa A N MPa A N 64 163 2 2 2 1 1 1 $2.3 材料拉伸时的力学性能 1．低碳钢拉伸时的力学性能 材料的力学性能：就是材料在外力作用下，所表现出来的变形和破坏等方面的特性。 试件形状： （1）弹性阶段 e 应力—应变曲线上当应力增加到 b 点时，再将应力降为零，则应变随之消失；一旦应力 超过 b 点，卸载后，有一部分应变不能消除，则 b 点的应力定义为弹性极限 e 。在拉伸（或 压缩）的初始阶段应力 与应变 为直线关系直至 a 点，此时 a 点所对应的应力值称为比例 极限 p ，表示为 = E （2）屈服阶段 s 在应力增加很少或不增加时，应变会很快增加，这种现象叫屈服。开始发生屈服的点所 C C
对应的应力叫屈服极限0。到达屈服阶段时,在磨光试件表面会出现沿45度方向的条纹 这是由于该方向有最大剪应力,材料内部晶格相对滑移形成的。 3)强化阶段 材料经过屈服阶段以后,因塑性变形使其组织结构得到调整,若需要增加应变则需要增 加应力。-ε曲线又开始上升,到最高点已处的强度Ob是材料能承受的强度极限。 (4)局部变形阶段 当低碳钢拉伸到强度极限时,在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小,形成缩颈现象。 (5)截面收缩率和延伸率 A0- 截面收缩率 100% 延伸率 2.铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时,没有屈服和颈缩,拉断时延伸率很小,故强度极限b是衡量强度的唯 指杉 S24材料压缩时的力学性能 1.低碳钢在压缩时,弹性摸量和屈服极限与拉伸相似,但压缩不会破坏,只会越压越 扁,没有强度极限。 2.铸铁压缩时,在较小变形时就会破坏,并沿45度方向破坏,说明铸铁因剪切破坏。 S25失效与许用应力 1.失效原因 脆性材料在其强度极限φb破坏,塑性材料在其屈服极限时失效。二者统称为极限应 力理想情形 极限应力:σm<o,,σm<b(极限应力是材料的强度指标) 若工作应力为 N A 因此工作应力的最大允许值低于,可b 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为 n 般工程中
对应的应力叫屈服极限 s 。到达屈服阶段时，在磨光试件表面会出现沿 45 度方向的条纹， 这是由于该方向有最大剪应力，材料内部晶格相对滑移形成的。 （3） 强化阶段 材料经过屈服阶段以后，因塑性变形使其组织结构得到调整，若需要增加应变则需要增 加应力。σ—ε曲线又开始上升，到最高点 e 处的强度 b 是材料能承受的强度极限。 （4）局部变形阶段 当低碳钢拉伸到强度极限时，在试件的某一局部范围内横截面急剧缩小，形成缩颈现象。 （5）截面收缩率和延伸率 截面收缩率 100% 0 0 1 − = A A A 延伸率 100% 0 1 0 − = l l l 2．铸铁拉伸时的力学性能 铸铁拉伸时，没有屈服和颈缩，拉断时延伸率很小，故强度极限 b 是衡量强度的唯一 指标。 $2.4 材料压缩时的力学性能 1．低碳钢在压缩时，弹性摸量和屈服极限与拉伸相似，但压缩不会破坏，只会越压越 扁，没有强度极限。 2．铸铁压缩时，在较小变形时就会破坏，并沿 45 度方向破坏，说明铸铁因剪切破坏。 $2.5 失效与许用应力 1．失效原因 脆性材料在其强度极限 b 破坏，塑性材料在其屈服极限 s 时失效。二者统称为极限应 力理想情形。 极限应力： max s ， max b (极限应力是材料的强度指标) 若工作应力为 A N = 因此工作应力的最大允许值低于 s ， b 。 塑性材料、脆性材料的许用应力分别为 n3 s = ， b b n = 一般工程中
15~2.2 nb=30~5.0 2.强度条件 等截面杆4s s26轴向拉伸或压缩的变形,弹性定律 P 1.杆件在轴向方向的伸长为 2.沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为 3.胡克定律 当应力低于材料的比例极限时,应力与应变成正比,即=EE,这就是胡克定律。E 为弹性模量 将应力与应变的表达式带入得 4/=M 横向应变 Ab b,-6 横向应变与轴向应变的关系为 S27轴向拉(压)杆静不定问题 1.静不定问题的概念 对于杆件的轴力,当未知力数目多于平衡方程的数目,仅利用静力平衡方程无法解出全 部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题 2.静不定问题的解法 解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等,这要求除了利用理论力学的
3.0 ~ 5.0 1.5 ~ 2.2 = = b s n n 。 2．强度条件 = max max A N 等截面杆 A Nmax $2.6 轴向拉伸或压缩的变形，弹性定律 1．杆件在轴向方向的伸长为 l = l − l 1 2．沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为 l l = ， A P A N = = 。 3．胡克定律 当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 = E ，这就是胡克定律。E 为弹性模量。 将应力与应变的表达式带入得 EA Nl l = 4．横向应变为 b b b b b − = = ' 1 横向应变与轴向应变的关系为 = − ' $2.7 轴向拉（压）杆静不定问题 1．静不定问题的概念 对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全 部未知力。这类问题称为静不定问题或超静定问题。 2．静不定问题的解法 求解静不定问题的关键在于使未知力个数和方程个数相等，这要求除了利用理论力学的
知识建立平衡方程外,还要建立若干个补充方程,使其个数等于静不定次数。 以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。 1)列A点的平衡方程 ∑X=0.N-2M2sna=0 N,=M ∑Y=0,M2+2 Cosa=0 (2)变形几何关系 Ml1=△l3cosa (3)力与变形的关系 11_N1l EA E,A cosa N,/ E3A3 (4)联立补充方程和平衡方程求解未知力 Pcos P 2 cosa+ E4,Ns 1+24 E,A E,4 cosa 例杆的上、下两端都有固定约束,若抗拉刚度EA已知,试求两端反力 解 (1)列杆的平衡方程 杆的未知反力有R1和R2,平衡方程只有一个。即 R1+R2 (2)变形几何关系 由于杆的上、下两端均已固定,故杆的总变形为零,即 M=M1+M2=0,△l1等于AC段变形,M2等于BC段变形 (3)力与变形的关系 AC段,其轴力N1=R,对BC段,其轴力N2=-R2, 由虎克定律 A=Na=Ra N,b Rb EA EA EA EA 代入变形几何关系 r,a R,b 即Ra-R2b=0
知识建立平衡方程外，还要建立若干个补充方程，使其个数等于静不定次数。 以求下面三杆桁架的内力为例说明静不定问题的解法。 (1)列 A 点的平衡方程 = + = = = − = 0, 2 cos 0 0, 2 sin 0 2 1 1 2 1 2 Y N N N N X N N （2）变形几何关系 l 1 = l 3 cos （3）力与变形的关系 1 l ＝ 1 1 cos 1 1 1 1 1 E A N l E A N l = 3 3 3 3 E A N l l = （４）联立补充方程和平衡方程求解未知力 1 1 3 3 3 3 1 2 2cos cos E A E A P N N + = = ， 3 3 3 1 1 3 1 2 cos E A E A P N + = 例 杆的上、下两端都有固定约束，若抗拉刚度 EA 已知，试求两端反力。 解： （1）列杆的平衡方程 杆的未知反力有 R1 和 R2 ，平衡方程只有一个。即 x = 0 R1 + R2 − P = 0 （2）变形几何关系 由于杆的上、下两端均已固定，故杆的总变形为零，即 l = l 1 + l 2 = 0， 1 l 等于 AC 段变形， 2 l 等于 BC 段变形 （3）力与变形的关系 AC 段，其轴力 N1 = R1 ，对 BC 段，其轴力 N2 = −R2 ， 由虎克定律 EA R a EA N a l 1 1 1 = = EA R b EA N b l 2 2 2 = = 代入变形几何关系 0 1 2 = − = EA R b EA R a l 即 R1a − R2b = 0 N3 N2 N1 P D C B P 1 l 3 l l E A A B C P a b A C B P R1 R2
(4)联立补充方程和平衡方程求解未知力 ∫R+R2-P=0 IRa-R,b=0 解得 b R P +b R2 应该注意,R1、R2方向可任意假设,但在建立补充方程时,杆件所受的力必须与产 生的变形一致,才能得到正确答案。 3.装配应力 对于静定问题,不存在装配应力,但在静不定结构中,由于杆件的尺寸不准确,强行装 配在一起,这样在未受载荷之前,杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力 以下图为例进行讲解。 1.平衡方程 N, sin a-N sin a=o N-N, cos a-N. cos a=o 2.变形几何方程 osa 3.物理方程 N. l △1=-c0sa,△ N3 l ELA E3A3 联立方程得 N=M,=N,M,=0,A cos a 2E,A,cOS s28应力集中的概念 1.应力集中 等截面直杄受轴向拉伸或压缩时,横截面上的应力是均匀分布的,对于构件有圆孔、切 口、轴肩的部位,应力并不均匀,并在此区域应力显著增大,这种现象称为应力集中 (原孔洞应力向两旁分配,造成应力分配不均匀。) 应力系中系数K σ名义应力(平均应力) 2.应力集中对构件强度的影响 塑性材料:由于塑性引起应力均布,对静 强度极限影响不大。对疲劳强度,应力集中有 影响 脆性材料:塑性材料没有屈服阶段,载荷
（４）联立补充方程和平衡方程求解未知力 − = + − = 0 0 1 2 1 2 R a R b R R P 解得 P a b b R + 1 = P a b a R + 2 = 应该注意， R1、 R2 方向可任意假设，但在建立补充方程时，杆件所受的力必须与产 生的变形一致，才能得到正确答案。 3．装配应力 对于静定问题，不存在装配应力，但在静不定结构中，由于杆件的尺寸不准确，强行装 配在一起，这样在未受载荷之前，杆内已产生的内力。由于装配而引起的应力称为装配应力。 以下图为例进行讲解。 1．平衡方程 N1 sin − N2 sin = 0 N3 − N1 cos − N2 cos = 0 2．变形几何方程 = + cos 1 3 l l 3．物理方程 1 1 1 1 cos E A N l l = ， 3 3 3 3 E A N l l = 联立方程得 2cos 3 1 2 N N = N = ， + = 3 1 1 3 3 3 3 3 2 cos 1 E A E A l E A N $2.8 应力集中的概念 1．应力集中 等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的，对于构件有圆孔、切 口、轴肩的部位，应力并不均匀，并在此区域应力显著增大，这种现象称为应力集中。 (原孔洞应力向两旁分配，造成应力分配不均匀。) 应力系中系数 n K max = ， n 名义应力(平均应力) 2．应力集中对构件强度的影响 塑性材料：由于塑性引起应力均布，对静 强度极限影响不大。对疲劳强度，应力集中有 影响。 脆性材料：塑性材料没有屈服阶段，载荷 N1 N2 N3 B C 1 l l 2 A ' A 3 l P P P max max
增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷,也应考虑其影 响 s29剪切和挤压 1.剪切变形与挤压 剪切变形的受力特点:作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力,大小相等,方向相 反,作用线相距很近 变形特点是:两个力之间的截面沿剪切面相对错动 可能被剪断的截面称为剪切面。 Q Q ≤ 式中Q:剪切面上的剪力,它与P的关系由平 衡方程确定。A:剪切面面积(不一定是横截面的面积, 且与外载荷平行) 挤压应力 式中P:挤压面上的挤压力 A:挤压面面积(与外载荷垂直,过圆柱直径的横截面面积 2.剪应力与挤压力的计算 例齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径d=70mm,键的尺寸 b×h×1=20×12×100m,传递的力偶矩m=kN·m,键的许用应力[=60MPa,许 用挤压应力n]=10Pa。试校核键的强度。 解 (1)计算键所受 剪力的大小将键沿 截面n-n假想切开成两 hn三P 部分,并把截面以下部 分和轴作为一个整体来 考虑。n-n截面上的剪力 Q为
增加时应力集中处的最大应力一直领先。并首先在此处出现裂纹。对静载荷，也应考虑其影 响。 $2.9 剪切和挤压 1．剪切变形与挤压 剪切变形的受力特点：作用在杆件两个侧面上且与轴线垂直的外力，大小相等，方向相 反，作用线相距很近。 变形特点是：两个力之间的截面沿剪切面相对错动。 可能被剪断的截面称为剪切面。 A Q = = A Q 式中 Q：剪切面上的剪力，它与 P 的关系由平 衡方程确定。A：剪切面面积（不一定是横截面的面积， 且与外载荷平行） 挤压应力 bs bs A P = ， bs bs bs A P = 式中 P：挤压面上的挤压力 Abs ：挤压面面积（与外载荷垂直），过圆柱直径的横截面面积。 2．剪应力与挤压力的计算 例 齿轮和轴用平键联接如下图所示。已知轴的直径 d=70mm ，键的尺寸 bh1= 2012100mm ，传递的力偶矩 m=2kN • m，键的许用应力 = 60MPa ，许 用挤压应力 bs =100MPa 。试校核键的强度。 解： （1） 计算键所受 剪力的大小 将键沿 截面 n-n 假想切开成两 部分，并把截面以下部 分和轴作为一个整体来 考虑。n-n 截面上的剪力 Q 为 挤压面 P P P P 2 P 2 P P P m n Q Q m m n n l h/2 b b h d n n n n Qm m n n Q P P = Abs bs O
O=At=blr 由平衡条件 ∑m=0得Q4-m=0 2m O (2)校核键的剪切强度 2m 2×2000 28.6MPa< 故平键满足剪切强度条件 hI (3)校核键的挤压强度键受到的挤压力为P,挤压面面积2,由挤压强度 条件 Pblr2br2×20×10 -3×286×10 12×10-3 =953MPa<[n as hl/2h 故平键满足挤压强度条件。 例拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为20 号钢,=30M{,直径d=20m,厚度 35t15 t=8mm,P=15kN。试校核插销的剪切强度。 若挤压许可应力为[n]=1001,试校核插销的挤 压强度。 P 解 Q (1)计算键所受力的大小 将插销沿截面m-m和n-n假想切开(双剪切面)。列平衡方程可得 Q P (2)校核键的剪切强度 15×10 23.9MPa <G (3)校核键的挤压强度 考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和2dt,故校核中段的挤压强度。 15×103 62.5MPa<[ob Ab1.5d1.5×8×10-×20×10
Q = A = bl 由平衡条件 mo = 0 得 0 2 − m = d Q d m Q 2 = （2）校核键的剪切强度 = = = − MPa bld m 28.6 20 100 70 10 2 2 2000 9 故平键满足剪切强度条件。 （3）校核键的挤压强度 键受到的挤压力为 P，挤压面面积 2 hl Abs = ，由挤压强度 条件 bs bs bs MPa h b hl bl A P = = = = = − − 95.3 12 10 2 2 20 10 28.6 10 2 3 3 6 故平键满足挤压强度条件。 例 拖车挂钩由插销与板件联结。插销材料为 20 号钢， = 30Mpa ， 直 径 d = 20mm ，厚度 t = 8mm， P =15kN 。试校核插销的剪切强度。 若挤压许可应力为 bs =100Mpa ，试校核插销的挤 压强度。 解： （1） 计算键所受力的大小 将插销沿截面 m-m 和 n-n 假想切开（双剪切面）。列平衡方程可得 2 P Q = （2）校核键的剪切强度 ( ) = = = − MPa A Q 23.9 20 10 4 2 15 10 2 3 3 （3）校核键的挤压强度 考虑中段的直径面积小于上段和下段直径面面积之和 2dt，故校核中段的挤压强度。 bs bs bs MPa dt P A P = = = = − − 62.5 1.5 8 10 20 10 15 10 1.5 3 3 3 P P 2 P 2 P P P m n Q Q m m n n 3.5t 1.5t