《材料力学》课程教学资源（教案讲义）第八章 应力状态分析和强度理论

第八章应力状态分析和强度理论 授课学时:8学时 主要内容:斜截面上的应力:二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 S81应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力 1.应力状态 过构件上一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况的集合,称为这点的应力状 2.单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 A 斜截面上的应力 A 斜截面上的正应力和切应力为 Oa= pa cosa =o cos a I,=p, sin a=-sin 2a 可以得出 a=0时 过A点取一个单元体,如果单元体的某个面上只有正应力,而无剪应力,则此平面称 为主平面。主平面上的正应力称为主应力 主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面,则这样的单元体称为主单元体。三 个主应力中有一个不为零,称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零,称为二向应力 状态。三个主应力中都不为零,称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数 值的大小排列,即为σ1≥σ2≥03°

1 第八章 应力状态分析和强度理论 授课学时：8 学时 主要内容：斜截面上的应力；二向应力状态的解析分析和应力圆。三向应力简介。 $8.1 应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 1．应力状态 过构件上一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合，称为这点的应力状 态 2．单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力 A N  = 斜截面上的应力    cos cos = = = A P A P p a a 斜截面上的正应力和切应力为     2 = cos = cos a pa     sin 2 2 a = pa sin = 可以得出  = 0 时  max =  4   = 时 2 max   = 过 A 点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力，而无剪应力，则此平面称 为主平面。主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单元体称为主单元体。三 个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态。三个主应力中有两个不为零，称为二向应力 状态。三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。主单元体三个主平面上的主应力按代数 值的大小排列，即为  1   2   3。   P P P P pa  a a  k k k k k k pa n A •    

S82二向应力状态下斜截面上的应力 1.任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置,截面的法线n 在外法线n和切线t上列平衡方程 o dA+(T dA cosa)sin a-(o dA cos a)cosa +(T,dasin a) a-(o, dAsin a)sin a=0 I, dA-(I dAcos a )cosa-(o dAcos a sin a (o, dAsin a)cosa+T dAsin a)sin a=0 根据剪应力互等定理,r=r,并考虑到下列三角关系 +cos 2a 1-sin 2a Sin a= 2sin acos =sin 2a 简化两个平衡方程,得 O.、x+oyOx-, 2cos 2a-t sin 2a Iy sin 2a+T cos 2a 2.极值应力 将正应力公式对a取导数,得 0-0 2sin 2a +t cos 2a d 若a=a0时,能使导数qGa=0,则 2 2ao +T, cos 2ao=0 上式有两个解:即a0和a0±90°。在它们所确定的两个互相垂直的平面上,正应力取

2 $8.2 二向应力状态下斜截面上的应力 1． 任意斜截面上的应力 在基本单元体上取任一截面位置，截面的法线 n 。 在外法线 n 和切线 t 上列平衡方程  a dA + ( xydAcos)sin  − ( xdAcos) cos + ( yxdAsin ) cos − ( ydAsin )sin  = 0  a dA − ( xydAcos) cos − ( xdAcos)sin  + ( ydAsin ) cos + ( yxdAsin )sin  = 0 根据剪应力互等定理， xy yx  =  ，并考虑到下列三角关系 2 1 sin 2 ,sin 2 1 cos 2 cos 2 2     − = + = ， 2sincos = sin 2 简化两个平衡方程，得          cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + =        sin 2 cos 2 2 xy x y + − = 2．极值应力 将正应力公式对  取导数，得       + − = −         sin 2 cos 2 2 2 xy x y d d 若  =  0 时，能使导数 = 0    d d ，则 sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = −      xy x y x y xy tg     − = − 2 2 0 上式有两个解：即  0 和   0  90 。在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取 xy  yx   y  x n  t      x  y xy  x y n 

得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面,另一个是最小正应力所在 的平面。求得最大或最小正应力为 R +g 2 an代入剪力公式,τ。为零。这就是说,正应力为最大或最小所在的平面,就是主平 面。所以,主应力就是最大或最小的正应力 将切应力公式对a求导,令一《=(0x-0,)cos2a-2rxSn2a=0 若α=a1时,能使导数 则在α1所确定的截面上,剪应力取得极值。通过求 导可得 (o-O,)cos 2a,-2Try sin 2a,=0 1g 求得剪应力的最大值和最小值是: 与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似,剪应力的极值与所在两个平面方 位的对应关系是:若rx>0,则绝对值较小的a1对应最大剪应力所在的平面。 3.主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 a与a1之间的关系为 tg 2a, 2c1=2an+ a,=a+ 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45°

3 得极值。且绝对值小的角度所对应平面为最大正应力所在的平面，另一个是最小正应力所在 的平面。求得最大或最小正应力为 2 2 min max ) 2 ( 2 xy x y x y        + −  + =     0 代入剪力公式，  0  为零。这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平 面。所以，主应力就是最大或最小的正应力。 将切应力公式对  求导，令 = ( − )cos 2 − 2 sin 2 = 0    x y xy d d 若  =1 时，能使导数 = 0    d d ，则在 1 所确定的截面上，剪应力取得极值。通过求 导可得 ( x − y ) cos 21 − 2 xy sin 21 = 0 xy x y tg     2 2 1 − = 求得剪应力的最大值和最小值是： 2 2 min max ) 2 ( xy x y      + − =     与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力的极值与所在两个平面方 位的对应关系是：若  xy  0 ，则绝对值较小的 1 对应最大剪应力所在的平面。 3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系  与 1 之间的关系为 1 0 2 1 2   tg tg = − 4 , 2 2 1 2 0 1 0      =  + = + 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为  45

S83二向应力状态的应力圆 1.应力圆方程 2a-r. sin 2a 将公式 2 中的a削掉,得 sin 2a+r cos 2a 0-0 T 由上式确定的以σ,和τ为变量的圆,这个圆称作应力圆。圆心的横坐标为 (n+a,),纵坐标为零,圆的半径为 2 2.应力圆的画法 建立-应力坐标系(注意选好比例尺) 在坐标系内画出点D(n,n)和D(on,rn DD与轴的交点C便是圆心 以C为圆心,以AD为半径画圆—应力圆 3.单元体与应力圆的对应关系 1)圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2)圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3)对应夹角转向相同 4.在应力圆上标出极值应力 0+O 0-0 ±R=± 2 S84三向应力状态 1.三个主应力 G1≥022 2三向应力圆的画法 由σ1,O2作应力圆,决定了平行于3平面上的应力 3,O1作应力圆,决定了平行于2平面上的应力

4 $8.3 二向应力状态的应力圆 1．应力圆方程 将公式        + − = − − + + =                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y 中的  削掉，得 2 2 2 2 2 2 xy x y x y          +         − + =         + − 由上式确定的以   和   为变量的圆，这个圆称作应力圆。 圆心的横坐标为 ( )  x + y 2 1 ，纵坐标为零，圆的半径为 2 2 2 xy x y    +         + 。 2．应力圆的画法 建立  − 应力坐标系（注意选好比例尺） 在坐标系内画出点 ( ) D x xy  , 和 ( ) D y yx  , ' ' DD 与轴的交点 C 便是圆心 以 C 为圆心，以 AD 为半径画圆——应力圆。 3．单元体与应力圆的对应关系 1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹角的两倍 3）对应夹角转向相同 4．在应力圆上标出极值应力 2 2 min max 2 2 xy x y x y        +         −  + =    2 2 max min min max 2 2 xy x y R        +         −  − =  =     $8.4 三向应力状态 1．三个主应力  1   2   3 2.三向应力圆的画法 由 1 2  , 作应力圆，决定了平行于  3 平面上的应力 由 3 1  , 作应力圆，决定了平行于  2 平面上的应力  1  2   O C

由σ2G3作应力圆,决定了平行于G1平面上的应力 3.单元体正应力的极值为 最大的剪应力极值为 S85复杂应力状态的广义虎克定律 1.单拉下的应力一应变关系 E 2.复杂状态下的应力一应变关系 向应力状态等三个主应力,可看作是三组单向应力的组合。对于应变,可求出单向应 力引起的应变,然后叠加可得 E E E 1-(02+3) 2-A(a3+G1 l3-A(1+a2) 3.体积胡克定律 单元体变形后的体积为 单元体变形后的体积为 V=(dx+e,dx).(dy +6,dy).(d=+a,d_) 体积改变为 (1+E1)1+s2)1+)-1≈ (σ1+a2+σ3) 3(-2p)(a+a2+a1)= E E K 其中k=30=2) 为体积模量 G1+2+0 是三个主应力的平均值

5 由 2 3  , 作应力圆，决定了平行于  1 平面上的应力 3．单元体正应力的极值为  max =  1， min =  3 最大的剪应力极值为 2 1 3 max    − = $8.5 复杂应力状态的广义虎克定律 1．单拉下的应力—应变关系 E   = ， E   = − = − ' 2．复杂状态下的应力— 应变关系 三向应力状态等三个主应力，可看作是三组单向应力的组合。对于应变，可求出单向应 力引起的应变，然后叠加可得  ( ) 1 2 3 1 2 3 1 1           = − − = − − E E E E                = − + = − + = − + ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 3 3 1 2 2 2 3 1 1 1 2 3                E E E 3．体积胡克定律 单元体变形后的体积为 V = dx • dy • dz 单元体变形后的体积为 V (dx dx) (dy dy) (dz dz) 1 1 2 3 = +  • +  • +  体积改变为 ( )( )( ) ( ) ( ) E E K V V V      m             =     −  + + + + = − = = + + + −  + + − = 3 1 2 3 1 2 1 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 其中 ( ) E K 3 1− 2 = 为体积模量， 3  1  2  3  + + m = 是三个主应力的平均值。  x  1  2  3 xy   x  y  z x y z

6=-m为体积胡克定律 6

6 K  m  == 为体积胡克定律