第四章平面图形的 几何性质
第四章 平面图形的 几何性质
s41静矩和形心 1.静矩 2 对于图形,其面积为A。Z和y为 图形所在平面的坐标轴。则微面 dA 积dA在整个图形面积上的积分为 ∠ Jy A y 称为图形对yz轴的静矩或一次矩 2.形心 设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。形心与平面图形的形心 致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标 da
$4.1静矩和形心 设有一厚度很小的均匀薄板形状如上图。形心与平面图形的形心 一致。利用静力学的力矩定理求出薄板重心坐标 dA z z ~ y y ~ c y z 1．静矩 对于图形，其面积为A。Z和y为 图形所在平面的坐标轴。则微面 积dA在整个图形面积上的积分为 = A z S zdA S ydA A y = 称为图形对y,z轴的静矩或一次矩。 A ydA y A = A zdA z A = 2．形心
A 从上式可以看出,若图形对某一轴的静矩等于零,则该轴必然通 过图形的形心;反之,若图形对某一轴通过图形的形心,则图形 对该轴静矩等于零。 当一个图形A由,A1A2…A等个图形组合而成的组合图形时, 有静距的定义得 S:=yJy+y…yl=4+42+…1=∑4 S,=∑A
从上式可以看出，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通 过图形的形心；反之，若图形对某一轴通过图形的形心，则图形 对该轴静矩等于零。 A S y z = A S z y = 当一个图形A由， A1 A2 … An等个图形组合而成的组合图形时， 有静距的定义得 = = = + + + = + + = n i n n i i A A A A z S ydA ydA ydA ydA A y A y A y A y n 1 1 1 2 2 1 2 = = n i i y i S A z 1
$42惯性矩、惯性半径和惯性积 1.惯性矩 ∫,pa=J(2+=2=2+ 2.惯性半径 3.惯性积
$4.2惯性矩、惯性半径和惯性积 1．惯性矩 = A I y z dA 2 = A I z y dA 2 ( ) z y A A p I = dA = y + z dA = I + I 2 2 2 2．惯性半径 A I i y y = A I i z z = 3．惯性积 = A yz I yzdA dA z y y z o
$43平行移轴公式 图形对型心轴yz和的惯性距和惯性 b yc 积分别为 a Vc=c -Lyz dA 图形对型心轴y,z和的惯性 O 距和惯性积分别为 1,=J=24=,(=。+a)2lJ12atJd 由于「zd4=0|d4=A 上式得 1,=c+a2A同理可得1:=1c+b241==1=+ab
$4.3平行移轴公式 图形对型心轴yczc和的惯性距和惯性 I z dA A yc = c 2 I y z dA A y z c c c c = 图形对型心轴y ,z和的惯性 距和惯性积分别为 ( ) = = + = + + A A A c c A c A I y z dA z a dA z dA a z dA a dA 2 2 2 2 2 由于 = 0 A zc dA dA A A = 上式得 I y I yC a A 2 = + 同理可得 I z I zC b A 2 = + I I abA C C yz = y z + I y dA A zc = c 2 c dA O y yc zc z y b yc a z 积分别为 zc
$44转轴公式主惯性轴 两种坐标的转换 yi= cos a +=sin a =1=2cosa-ysin a 2.转轴公式的推导 h=L=idA=Lcos a-ysin a)dA=cosa=dA+sin2alydA-2 sin a cos al, yEd I cos2 a+I sin 2 a-I sin 2d 以csg=(+cos2a)和 SIn a= (1-cos2a)代入上式,得到 +cos 2a-I sin g2a 2 同理可得 cos2a+Ⅰsn20 y1-1 sin 2a+ cos 2a
$4.4转轴公式 主惯性轴 1．两种坐标的转换 = − = + cos sin cos sin 1 1 z z y y y z 2．转轴公式的推导 ( ) cos sin sin 2 cos sin cos sin 2sin cos 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Y z yz A A A A A y I I I I z dA z y dA z dA y dA yzdA = + − = = − = + − 以 (1 cos 2) 2 1 cos 2 = + 和 (1 cos 2) 2 1 sin 2 = − 代入上式，得到 cos2 sin 2 2 2 1 I g I I I I I yz y z y z y − − + + = 同理可得 cos 2 sin 2 2 2 1 yz y z y z z I I I I I I + − − + = sin 2 cos 2 2 1 1 yz y z y z I I I I + − = dA 1 z z y 1 yy 1 y z 1 z o
3.主惯性轴 对求导得 d 2 Sn 2a+I cos 2a 若 时=0得 2Sn2a0+l-COs2≈0 2/ 2a=7.1.解出ao,可以确定一对坐标轴y和0 上式代入到惯性积公式得 0 这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为 主惯性矩。对应着一个最大值,一个最小值
3．主惯性轴 对 1 y I 求导得 + − = − sin 2 cos 2 2 2 1 yz y y z I I I d dI 若 = 0 1 = 0 得 d dI y 时 sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = − yz y z I I I y z yx I I I − = − 2 tan 2 0 解出 0 ,可以确定一对坐标轴 0 y 和 0 z 。 上式代入到惯性积公式得 0 1 1 I y z = 这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。对主轴的惯性矩称为 主惯性矩。对应着一个最大值，一个最小值
