东南大学远程教育：《材料力学》教学资源（PPT课件）第八章 能量原理

东南大学远程教育 材料力学 第二十一讲 主讲教师:马军

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第八章能量方法 利用功和能的概念来求解可变形固体的 位移、变形和内力等的方法,通称为能 量方法。 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 第八章 能量方法 利用功和能的概念来求解可变形固体的 位移、变形和内力等的方法，通称为能 量方法

第一节虚位移原理及单位力方法 虚位移原理 对于一个处于平衡状态下的杆件,其外力和内力对任意给定的 虚位移所作的总虚功等于零,即 W+W=0 W。,W分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功 外力指的是荷载和支座反力,内力则为截面上各部分间的相 互作用力 以一简支梁为例,来说明推导梁的虚位移原理的表达式 下图所示简支梁上的外力荷载P12P2,P3和支座反力 RA,RB。在给梁任意一个虚位移时,所有荷载作用点均有沿 其作用方向的相应虚位移⑧128283(图上未绘出)。两支座 A、B则不可能有虚位移,否则就与支座约束条件不符。因此, 梁上所有外力(包括荷载和支反力)对于虚位移所作的虚功为 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 第一节 虚位移原理及单位力方法 一．虚位移原理 对于一个处于平衡状态下的杆件，其外力和内力对任意给定的 虚位移所作的总虚功等于零，即 W e + Wi = 0 e Wi W , 分别指的是外力和内力对虚位移所做的虚功 外力指的是荷载和支座反力，内力则为截面上各部分间的相 互作用力 以一简支梁为例，来说明推导梁的虚位移原理的表达式 下图所示简支梁上的外力荷载 1 2 P3 P ,P , 和支座反力 A RB R , 。在给梁任意一个虚位移时，所有荷载作用点均有沿 其作用方向的相应虚位移 1 2 3  , , （图上未绘出）。两支座 A、B则不可能有虚位移，否则就与支座约束条件不符。因此， 梁上所有外力（包括荷载和支反力）对于虚位移所作的虚功为

第一节虚位移原理及单位力方法 R A PP PR A B Q+dQ M+dM dx dx aX 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 A B R A P1 P2 P3 RB M + dM M Q Q + dQ 2 d 2 d 2 d dx dx dx 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 W=∑P8+R0+RB:0=∑P8 再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功,从梁中取出任一微段dx来 研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为Q、Q+dQ和弯矩 M、M+dM。总虚功为 )+M+ d0) 2 d入 Q +(Q+do) dx 略去高阶无穷小项dM./de d入 和 do 即得 2 M·d+Q 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 i 3 i 1 A B i 3 i 1 W e = Pi i + R  0 + R  0 = P = = 再计算梁的内力对于虚位移所作的虚功，从梁中取出任一微段dx来 研究。作用在该微段左、右两截面上的内力分别为Q、Q+dQ和弯矩 M、M+dM。总虚功为 ( ) ( )         + +        +          + +         2 d Q d Q 2 d Q 2 d M dM 2 d M 略去高阶无穷小项         2 d dM         2 d 和 dQ ，即得 Md+ Qd 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 作用在微段左、右两截面上的M和Q,对于该微段而言应看作是 外力,所以,Md0+Q·dλ为该微段的外力虚功,而该微段 的内力所作的虚功dW.,则可按该微段的外力虚功,而该微段 的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得,即 dW:+Md0+Q·d入=0 可得 dW,=-(M:d0+Q.d入) 则整个梁的内力虚功为 W=∫dW=-J(Md+Qd) 将上两式代入虚位移原理公式,即得 ∑P-(Md0+Q·d)=0 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 作用在微段左、右两截面上的M和Q，对于该微段而言应看作是 外力，所以， 为该微段的外力虚功，而该微段 的内力所作的虚功 ，则可按该微段的外力虚功，而该微段 的外力虚功与内力虚功之和应等于零的虚位移原理求得，即 Md+ Qd dWi dWi + M  d + Q d = 0 可得 dW (M d Q d ) i = −   +   则整个梁的内力虚功为 ( ) =  = −   +   l l Wi dWi M d Q d 将上两式代入虚位移原理公式，即得 P (M d Q d ) 0 l i 3 i 1  i  −    +   = = 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 亦即 ∑P=(Md0+Qd) =1 若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁,而是发生组合变形的梁, 其任意截面上的内力不仅有弯矩M和剪力Q,而且还有轴力N和扭 矩T,作用在杆上的荷载为P(i=1,2……,n),则此杆件的虚位 移原理表达式为 ∑P=(Md0+Qd+Nd6+Td) A B 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 亦即   =    +   = l i 3 i 1 i P (M d Q d ) 若所研究的对象不是仅有弯曲变形的梁，而是发生组合变形的梁， 其任意截面上的内力不仅有弯矩M和剪力Q，而且还有轴力N和扭 矩T，作用在杆上的荷载为 ，则此杆件的虚位 移原理表达式为 P (i 1,2, ,n) i =     =   +   +  +  = l i n i 1 i P (M d Q d Nd T d ) A B P1 P2 P n N P1 P2 dx 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 Q+dQ +dN T+dT M+dM dx dx ds d d入 2 dx dx 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 M + dM M Q Q + dQ 2 d 2 d 2 d dx dx dx T N T + dT N + dN dx 2 d 2 d 2 d dx 2 d 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 虚位移原理应用条件 >外力P与内力MQN,T满足静力平衡条件 >设想的虚位移δ,是满足原结构几何约束条件之任意微小位移, 它与原载荷引起之真实变形无关 上述分析过程中为涉及材料性质(物理性质),对其他非线弹 性问题同样适用 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 虚位移原理应用条件 ➢外力 与内力 满足静力平衡条件 ➢设想的虚位移 是满足原结构几何约束条件之任意微小位移， 它与原载荷引起之真实变形无关 ➢上述分析过程中为涉及材料性质（物理性质），对其他非线弹 性问题同样适用 Pi (M,Q,N,T) i 第一节 虚位移原理及单位力方法

第一节虚位移原理及单位力方法 单位力方法 对于杆系结构,既然如前所述只要满足支座约束条件,及各微段 间变形连续条件的任何微小位移,均可作杆件的虚位移,那么可 把实载作用下之真实位移及各微段两端的真实相对位移当作虚位 移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或 转向的位移△,就可以在该点处施加一个相应的单位力,将之视 为荷载,而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为N,M 则杆件的虚位移原理表达式为 △=」(Nd6+Me+QdA+Td) 对于线弹性,在所研究的杆件中,由实际荷载引起的长为dx的微段 两端横截面的变形位移分别为 do Ndx EA 2001.07 东南大学远程教育

2001.07 东南大学远程教育 二．单位力方法 对于杆系结构，既然如前所述只要满足支座约束条件，及各微段 间变形连续条件的任何微小位移，均可作杆件的虚位移，那么可 把实载作用下之真实位移及各微段两端的真实相对位移当作虚位 移。若要确定在实荷载作用下杆件上某一截面沿某一指定方向或 转向的位移 ，就可以在该点处施加一个相应的单位力，将之视 为荷载，而由单位力所引起的杆件任一截面上的内力记为 。则杆件的虚位移原理表达式为  N,M, Q,T ( )  1•  = Nd + Md + Qd + Td 对于线弹性，在所研究的杆件中，由实际荷载引起的长为dx的微段 两端横截面的变形位移分别为 EA Ndx d = 第一节 虚位移原理及单位力方法