第七章弯曲变形
第七章 弯曲变形
$7.1挠曲线近似微分方程 1.概念 挠曲线:当梁在xy面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为面内xy 的一条光滑连续曲线,称为梁的挠曲线。 挠度:横截面的形心在垂直于梁轴(x轴)方向的线位移,称 为横截面的挠度,并用符号ⅴ表示。 f(x) y 转角:横截面的角位移,称 为截面的转角,用符号b表示。A 6 B→-X tgb dr(r) 0≈gO=f(x) 因此,确定梁的挠曲线方程,就确定了梁的仼一截面的挠度和转角
$7.1挠曲线近似微分方程 x x L P A v B B’ y 挠曲线：当梁在xy面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为面内xy 的一条光滑连续曲线，称为梁的挠曲线。 挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（ x轴）方向的线位移，称 为横截面的挠度，并用符号 v 表示。 = f (x) 转角：横截面的角位移，称 为截面的转角，用符号 表示。 f (x) dx d tg ' = = ( ) dx dv t g = f x = ' 因此，确定梁的挠曲线方程，就确定了梁的任一截面的挠度和转角 1．概念
2.挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径与弯矩的关系为 M(x) 6 x El B+X 将微分弧段ds放大,有如下关系: P L ds=plde d0 1 M (x)EI 由于挠度很小,d≈欧上式可以写成, de M dx EI de M 考虑到弯矩的符号与 de 致,上式写成ax=EI dv M(x) 将≈代入上式得出 dx El
2．挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径与弯矩的关系为 EI M x x ( ) ( ) 1 = 将微分弧段ds放大，有如下关系： ds = d ( ) EI M ds x d = = 1 由于挠度很小， ds dx EI M dx d = 考虑到弯矩的符号与 dx d 一致，上式写成 EI M dx d = 将 dx dv 代入上式得出 EI M x dx dv ( ) 2 '' = x x L P A v B B’ y 上式可以写成
S72积分法求弯曲变形 1.转角方程 M(x) 转角和挠曲线方程对卩 两侧积分,可得梁的转角方程 El M(x) 0(x)=v=|-ax+C El 再积分一次,即可得梁的挠曲线方程 v(x)= M(r) dx dx+Cx+D El 式中C和D为积分常数,它们可由梁的约束所提供的已知位移来 确定。 2.积分常数的确定一边界条件和光滑连续性 固定端,挠度和转角都等于零;铰支座上挠度等于零。弯曲变 形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上,有唯一确定 的挠度和转角
$7.2积分法求弯曲变形 EI M x v ( ) '' = dx C EI M x x = v = + ( ) ( ) ' 再积分一次，即可得梁的挠曲线方程 dx dx Cx D EI M x v x + + = ( ) ( ) 式中C和D为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来 确定。 转角和挠曲线方程对 两侧积分，可得梁的转角方程 2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性 固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变 形的对称点上转角等于零。在挠曲线的任意点上，有唯一确定 的挠度和转角。 1．转角方程
例所示简支梁AB受集中力P作用,试讨论它的弯曲变形 y 解:①求反力并列梁的弯矩方程RA A 分两段列AB梁的弯矩方程为: AC段M1(x) b Bx(0≤x1≤a)_ CB段M4x2)=bPx2-Px2-a)(a≤x2≤D ②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分将和两段 的挠曲线近似微分方程及积分结果,列表如下
例 所示简支梁 AB 受集中力 P 作用，试讨论它的弯曲变形。 解：①求反力并列梁的弯矩方程 P l b RA = P l a RA = 分两段列AB梁的弯矩方程为： AC段 1 1 1 ( ) Px l b M x = (0 ) x1 a CB段 ( ) ( ) 2 2 Px2 P x2 a l b M x = − − ②列出梁的各段的挠曲线近似微分方程并积分 将和两段 的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表如下。 ( ) 2 a x l x y P a b x1 x2 A B C RA RB l
段(0≤ XI CB段(a≤x2≤7) Pb Ely Pb Eli P(x2-a) Pb Pb Elv +O El 2 (x2-a)2+C Pb Ely Pb x,+Cx,+D (x2-a)+C2x2+D ③确定积分常数 梁在A、B两端的边界条件为x1=0时,y1=0 X 时,y2=0 挠曲线在截面的连续条件为当x1=x2=a时,=B2V=V2
AC 段 (0 ) x1 a CB 段 ( ) 2 a x l 1 '' 1 x l Pb EIv = 1 2 1 ' 1 2 x C l Pb EIv = + 1 1 1 3 1 6 x C x D l Pb EIv = + + ( ) 2 2 '' 2 x P x a l Pb EIv = − − 2 2 2 2 2 ' 2 ( ) 2 2 x a C P x l Pb EIv = − − + 2 2 2 3 2 3 2 2 ( ) 6 6 x a C x D P x l Pb EIv = − − + + ③确定积分常数 梁在A、B两端的边界条件为 x1 = 0 y1 = 0 x = l 2 时， y2 = 0 时， 挠曲线在截面的连续条件为当x1 = x2 = a 时，1 = 2 1 2 v = v
解得D1=D2=0C1=C2=-2(2-b2) 梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表: AC段0≤x≤aCB段a≤x2≤1 Pb Pb 1(x1)= (12-b2-3x2)2(x2) (2-b2-3x12)+(x2-a) cEll 6El Pbx cEll (12-b2-x2)|n2(x2)= Pb x2)+(x2-a) cEll ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为O4=(x) Pab(l+b) cEll
解得 D1 = D2 = 0 ( ) 6 2 2 1 2 l b l Pb C = C = − − 梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表： AC段 0 x1 a CB段 a x l 2 ( ) 6 ( ) ( 3 ) 6 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 l b x EIl Pbx v x l b x EIl Pb x = − − − = − − − = − − − + − = − − − + − 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 3 ( 3 ) 6 ( ) x a b l l b x EIl Pb v x x a b l l b x EIl Pb x ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为 EIl Pab l b x A x a 6 ( ) ( ) 1 1 1 + = = − =
Pab(l+a) 在梁右端截面的转角为0=O2(x2)x6EI 当a>b时,可以断定b为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面,先确定C截面的转角 0c=1(x1) Pab 1/ x1=a 3EIL (a-b) 若a>b,AC段内必有一截面转角为零。 令日1(x1)=0则 Pb (2-b2-3x0)=0 cEll 解得x 0的转角为零,亦即挠度最大的截面位置。 由AC段的挠曲线方程可vm=(x)xN=93En Pb b2) 求得梁AB的最大挠度为
在梁右端截面的转角为 EIl Pab l a x B x a 6 ( ) ( ) 2 1 2 2 + = = = 当 a b 时，可以断定 B 为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面，先确定C截面的转角 ( ) 3 ( ) 1 1 1 a b EIl Pab x C x a = = − = 若 a b ,AC段内必有一截面转角为零。 令 1 (x1 ) = 0 ( 3 ) 0 6 2 0 2 2 − l − b − x = EIl Pb 解得 3 2 2 0 l b x − = 0 x 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。 则 由AC段的挠曲线方程可 求得梁AB的最大挠度为 ( ) 9 3 ( ) 2 2 max 1 1 1 0 l b EIl Pb v x x x = = − =
$73用叠加法求弯曲变形 当梁上有几个简单载荷共同作用时,可以分别计算梁在每个载荷单 独作用时的变形,然后进行叠加,即可求得梁在几个载荷共同作用 时的总变形 例起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷,吊重P为作用 于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度 解:(1)分解载荷:均布载荷q,集中力尸 q CIP B (2)查表叠加 均布载荷单独作用下G)=-5y L/2L/2 384EI 集中力单独作用下)= 48EⅠ 在均布载荷和集中力共同作用下 Pl f 384EⅠ48EI U)
例 起重机大梁的自重是集度为q的均布载荷，吊重P为作用 于中间的集中力。试求大梁跨度中间的挠度。 $7.3用叠加法求弯曲变形 当梁上有几个简单载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单 独作用时的变形，然后进行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用 时的总变形。 q A C P B L/2 L/2 q P ( ) c p f 解:(1)分解载荷:均布载荷q，集中力P （2）查表叠加 均布载荷单独作用下 ( ) EI ql f c q 384 5 4 = − 集中力单独作用下 ( ) EI Pl f c P 48 3 = − 在均布载荷和集中力共同作用下 EI Pl EI ql f c 384 48 5 4 3 = − −
例将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座, P1为切削力,P2为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠 度 解:(1)分解载荷,集中力PP C (2)计算在截面B处的剪力和弯矩 Q=P M= Pa (3)查表叠加 M 截面因M起的转角(0)=MD=Fan P 3EI3EⅠ B P2单独作用引起的转角(On) Pl P2 16EI 转角叠加 Pal pl 3EI 16El 因转角引起的C处的挠度 Pa l pal BEI 16EI
例 将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B简化为铰支座， P1为切削力， P2为齿轮传动力。试求截面B的转角和端点C的挠 度。 解： （1）分解载荷 ，集中力 P1 P2 （2）计算在截面B处的剪力和弯矩 Q = P1 ， M = Pa ( ) EI Pal EI Ml B M 3 3 1 截面因M引起的转角 = = P2单独作用引起的转角 ( ) EI P l B P 16 2 2 2 = − EI P l EI Pal B 3 16 2 1 2 = − P1 C C2 v B 转角叠加 P2 M B C1 v Q A D B C P1 P2 因转角引起的C处的挠度 EI P al EI Pa l vc B a 3 16 . 2 2 2 1 1 = = − （3）查表叠加