《材料力学》第六章 弯曲应力

第六章弯曲应力

第六章 弯曲应力

$61梁的弯曲 1.横力弯曲 横截面上既有Q又 有M的情况。如AC、 B DB段。 2.纯弯曲 Q 某段梁的内力只有弯矩没 X 有剪力时,该段梁的变形 称为纯弯曲。如CD段。 Pa

$6.1 梁的弯曲 1．横力弯曲 横截面上既有Q又 有M的情况。如AC、 DB段。 2．纯弯曲 某段梁的内力只有弯矩没 有剪力时，该段梁的变形 称为纯弯曲。如CD段。 Q

3.梁的纯弯曲实验 (1现象:横向线a-b变形后仍为直f 线,但有转动;纵向线变a-a变为 曲线,且上面压缩下面拉伸;横 向线与纵向线变形后仍垂直 (2)概念: b 中性层:梁内有一层纤维既不 伸长也不缩短,因而纤维不受拉 横截面对称轴 应力和压应力,此层纤维称中性 层 中性轴:中性层与横截 纵向对称面 面的交线。 中性轴/ 中性层

3．梁的纯弯曲实验 (1).现象：横向线a-b变形后仍为直 线，但有转动；纵向线变a-a变为 曲线，且上面压缩下面拉伸；横 向线与纵向线变形后仍垂直。 (2)概念： 中性层：梁内有一层纤维既不 伸长也不缩短，因而纤维不受拉 应力和压应力，此层纤维称中性 层。 中性轴：中性层与横截 面的交线。 a a b b a a b b m m 横截面对称轴 中性轴 中性层 纵向对称面

$62纯弯曲时的正应力 1.变形几何关系 从梁中截取出长为的一个微段,横截面选用如图所 y-坐标系。图中,1轴为横截面的对称轴, z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为 O O d60,中性层曲率半径为P,距中性层为y 处的任一纵线(纵向纤维)bb 为圆弧曲线。因此,纵bb的伸长为 Al=(P+y)de-dx=(p+y)de-pd= yde 而其线应变为 △l de y bb pdep

$6.2纯弯曲时的正应力 1．变形几何关系 从梁中截取出长为dx的一个微段，横截面选用如图所示的 y − z 坐标系。图中，y轴为横截面的对称轴， z轴为中性轴。横截面间相对转过的角度为 d ,中性层曲率半径为  ，距中性层为y 处的任一纵线（纵向纤维）b、b、 为圆弧曲线。 dx o o b b ' o ' o m d ' b ' y b  l = ( + y)d − dx = ( + y)d − d = yd 而其线应变为      y d yd bb l = =  = 因此，纵bb的伸长为

2.物理关系 梁的纵向纤维间无挤压,只是发生简 单拉伸或压缩。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限时,可由虎克 定律得到横截面上坐标为y处各点 的正应力为 E o=Ea y 3.静力关系 截面上内力系简化为三个内力分量,即平行m x轴的轴力N,对Z轴的力偶矩Mz, 和对轴的力偶矩M n=odA M,=FodA M=yoda y

梁的纵向纤维间无挤压，只是发生简 单拉伸或压缩。当横截面上的正应力 不超过材料的比例极限时，可由虎克 定律得到横截面上坐标为y处各点 的正应力为 y E E   =  = dx o o b b ' o ' o m d ' b ' y b  m m z y dA x y z 3．静力关系 截面上内力系简化为三个内力分量，即平行 x轴的轴力N， 对Z轴的力偶矩MZ ， 和对轴的力偶矩My  = A N dA  = A M y zdA ，  = A Mz ydA 2．物理关系

考虑左侧平衡,∑X=0,∑ M.=0 得 N=4=0M,=J=l=0 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩M E M y*dA= M 式中积分 dA=/ 上式可写成为 p EI EIz称为梁的抗弯刚度。将该式代入 0=Eee y,即可得到弯曲时梁的 横截面上的正应力计算公式a My Z

dx o o b b ' o ' o m d ' b ' y b  m m z y dA x y z 考虑左侧平衡， X = 0 ， M y = 0 ，得  = = A N dA 0  = = A M y zdA 0 横截面上的内力系最终归结为一个力偶矩 M z   = = = A A z y dA M E M y dA 2   式中积分 z A y dA = I  2 上式可写成为 EI M =  1 EIZ 称为梁的抗弯刚度。 将该式代入 y E E   =  = ，即可得到弯曲时梁的 z I My 横截面上的正应力计算公式  =

即以梁的中性层为界,梁的凸出一侧受拉压力,凹 入的一侧受压。则截面上的最大正应力为 max max

即以梁的中性层为界，梁的凸出一侧受拉压力，凹 z I Mymax  max = 入的一侧受压。则截面上的最大正应力为

$63横力弯曲时的正应力 1.横力弯曲时的正应力,横力弯曲时的细长梁 横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯 弯曲时梁横截面上的正应力计算公式,能够满足精度的要求。 横力弯曲时,弯矩随截面位置变化。一般情况下,在弯矩 最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式 max max 引入符号 ——截面图形的抗截面模量 max max max 强度条件为

$6.3横力弯曲时的正应力 1．横力弯曲时的正应力，横力弯曲时的细长梁， 横截面将不在保持为平面。纵向纤维间的正应力也存在。但用纯 弯曲时梁横截面上的正应力计算公式，能够满足精度的要求。 横力弯曲时，弯矩随截面位置变化。一般情况下，在弯矩 最大的截面上离中性轴最远处发生最大应力。有公式 z I M y max max  max = 引入符号 max y I W z z = ——截面图形的抗截面模量。 W Mmax  max = 强度条件为  =   W Mmax max 则

bh 高为h,宽为b的矩形截面:W 2 bh 直径为的圆截面:W 64_md3 32 例受均布载荷作用的简支梁如图 所示,试求:(1) 1截面上1、 q=60KN/m 2两点的正应力;(2)此截面上的最 大正应力;(3)全梁的最大正应力; 解:画M图求截面弯矩 Lx q 60kNm 22 L2/8

高为h ，宽为b的矩形截面： 6 2 12 2 2 3 bh h bh h I W z = = = 直径为  的圆截面： 32 2 64 2 3 3 d d d d I W z   = = = 例 受均布载荷作用的简支梁如图 所示，试求：（1）1——1截面上1、 2两点的正应力；（2）此截面上的最 大正应力；（3）全梁的最大正应力； 解：画M图求截面弯矩 kNm qLx qx M 60 2 2 2 1 =        = − /8 2 qL

求应力 bhz3120×180 ×10 12 5.832×10 12 =6.48×10 q=60KN/m h/2 H□ B 60×60 ×103=617MPa 5.832 M160 I max ×104=926MPa W.6.48 67.5 M q max ×104=104.2MPa max W648

求应力 1 2 5 4 3 3 10 5.832 10 12 120 180 12 m bh I z − −  =   = = 4 3 6.48 10 / 2 m h I W z z − = =  MPa I M y z 10 61.7 5.832 1 60 60 5 1 2  = −   =  = = MPa W M z 10 92.6 6.48 1 60 4  1max = =  = MPa W M z 10 104.2 6.48 max 67.5 4  max = =  = /8 2 qL