第三章扭转
第三章 扭转
$31扭转的概念和实例 1扭转变形:扭转变形是在杆件两端作用大小相等、方向相反 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶,致使杆件的任意两个横截 面都发生绕轴线的相对移动。 2.外力特征:力偶 矩矢平行于杆的轴 线。力偶矩矢表示 的右手螺旋法则 3.扭转变形受力特点:杆件的两端作用着大小相等,方向相 反,且作用面垂直于杆件轴线 4.力偶变形特点:各轴线仍直,杆件的任意两个横截面发 生绕轴线的相对转动。 5.工程实例:方向盘轴、传动轴
1.扭转变形：扭转变形是在杆件两端作用大小相等、方向相反 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶，致使杆件的任意两个横截 面都发生绕轴线的相对移动。 $3.1 扭转的概念和实例 3．扭转变形受力特点：杆件的两端作用着大小相等，方向相 反，且作用面垂直于杆件轴线 A B A B m m 5．工程实例：方向盘轴、传动轴。 2．外力特征：力偶 矩矢平行于杆的轴 线。力偶矩矢表示 的右手螺旋法则。 4.力偶变形特点：各轴线仍直，杆件的任意两个横截面发 生绕轴线的相对转动
$32外力偶矩的计算扭矩和扭矩图 1外力偶矩的计算 n m=9549.-(Nm) n N:功率;n:转速 T 2.扭矩和扭矩图 (1)内力偶矩:杆件受扭时截面上 的内力偶矩。符号T T← I m n (2)内力偶矩计算一截面法 用截面n-n将轴分成两部分,按右手螺旋法则把m 、T表示为矢量,列出左部分平衡方程∑M,=0,得到
$3.2外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 1.外力偶矩的计算 9549 (N.m) n N m = N：功率； n ：转速 （1）内力偶矩：杆件受扭时截面上 的内力偶矩。符号 （2）内力偶矩计算—截面法 T 用截面 n − n 将轴分成两部分，按右手螺旋法则把 m 、T表示为矢量，列出左部分平衡方程 Mx = 0 ，得到 T = m 。 2．扭矩和扭矩图 m m m n n II T x m n n T II
当矢量方向与截面外法线方向一致时,T为正;反之为负。 (3)扭矩图 n 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的m 图形 n 反应出Tmax值及其截面位置,从 而进行强度计算(危险截面)。该 T—x 图一般以杄件轴线为横轴表示横截 面位置,纵轴表示扭矩大小。 7+(m、m) T
m m m n n II T x m n n T II 当矢量方向与截面外法线方向一致时，T为正；反之为负。 x T （3）扭矩图 反应出|T|max值及其截面位置，从 而进行强度计算（危险截面）。该 图一般以杆件轴线为横轴表示横截 面位置，纵轴表示扭矩大小。 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的 图形
例传动轴如图,主动轮A输出功率 P=36kw 从动轮B、C、D输出功率分别为BB=Pc=11WPb=14kW ,轴的转速为n=300r/mn试作轴的扭矩图。 3 m B 1C2 D 解(1)求外力偶矩 36 m4=9549 9549×=1146Nm 300 mn=m=95492B=9549×=350Nm 300 mmc 14 m1=9549 9549×-=446Nm 13 300
例 传动轴如图，主动轮A输出功率 PA = 36kW ，从动轮B、C、D输出功率分别为 PB = PC =11kW ， PD =14kW ，轴的转速为 。试作轴的扭矩图。 解（1）求外力偶矩 N m n P m A A 1146 . 300 36 = 9549 = 9549 = N m n P m m B B C 350 . 300 11 = = 9549 = 9549 = N m n P m D D 446 . 300 14 = 9549 = 9549 = mB mC T mB T1 T3 mD n = 300r/min mB mC mA mD B C D 1 1 2 2 3 3 A
(2)求截面内扭矩 m 3m 在BC段内 7i+m=0T=-mB=-350Nm 1C2 在CA段内 T1 u +mc +mR=o T=-m-m=-700N m 在AD段内 Tu=mp=446.m I 3)画扭矩图
（2）求截面内扭矩 在BC段内 mB mC T mB T1 T3 mD mB mC mA mD B C D 1 1 2 2 3 3 A T x T1 + mB = 0 T1 = −mB = −350N.m 在CA段内 T + mC + mB = 0 T = −mC − mB = −700N.m 在AD段内 T = mD = 446N.m （3）画扭矩图
$33薄壁圆筒的扭转 1.薄壁圆筒的扭转实验 p g 试验前后比较现象: ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变,只是绕 轴线作了相对转动。 ②各纵向线均倾斜了同一微小角度γ。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。 得出结论:纵向截面上无正应力,只有切于截面的切应力
1．薄壁圆筒的扭转实验 $3.3薄壁圆筒的扭转 ①圆筒表面的各圆周 线的形状、大小和间 距均未改变，只是绕 轴线作了相对转动。 试验前后比较现象： ②各纵向线均倾斜了同一微小角度 。 得出结论：纵向截面上无正应力，只有切于截面的切应力。 p q p q p p p p q q q q l t r ' o x y z m m m t dx dy (a) (b) (c) (d) (e) ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形
2薄壁圆筒扭转时的切应力 (((=∈ p q 横截面内力力系对x轴力矩为:2mt·τ·r 平衡方程 n=2m●z●r art
2.薄壁圆筒扭转时的切应力 p q p q p p p p q q q q l t r ' o x y z m m m t dx dy (a) (b) (c) (d) (e) 横截面内力力系对x轴力矩为： 2rt • • r 平衡方程： r t m m r r 2 2 2 = = • •
3切应力互等定理 几何模型:用相邻的两个横截面和两个纵向面,从圆筒 中取出边长分别为∝、qy、d和t的微小矩形六面体。 由∑M=0得,(c)=(:hbr=x 4.切应变剪切胡克定律 y 切应变 Gy剪切胡克定律 式中一扭转角 l—圆筒长度;y—剪应变;G—剪切弹性模量。 半径;
3.切应力互等定理 几何模型：用相邻的两个横截面和两个纵向面，从圆筒 中取出边长分别为 dx、dy、dz和 t 的微小矩形六面体。 由 Mx = 0 得 ， ( tdy)dx = ( tdx)dy ' ' = 4．切应变 剪切胡克定律 l r = ——切应变 = G ——剪切胡克定律 r —半径； —扭转角； l —圆筒长度； ——剪应变；G——剪切弹性模量。 式中
$34圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算 1.变形几何关系 y=0 2.物理关系——胡克定 律 Yo=Gp lg kd 3.力学关系 IBIX T= PT dA G G d dA TR D pdA=2T. p 32 T R max W.其中 W R称为抗扭截面模量
$3.4 圆轴扭转变形的剪应力分布和变形计算 1．变形几何关系 dx d = 2．物理关系——胡克定 律 dx d G G = = 3．力学关系 dA dx d G dx d T dA G A A A = = = 2 2 p I T = 2 32 2 4 4 0 2 2 R D I dA d R A p = = = = p Wt T R I T max = = 其中 R I W p t = 称为抗扭截面模量。 ` o T T d d x T max max