《材料力学》第五章 弯曲内力

第五章弯曲内力

第五章弯曲内力

$51概述 平面弯曲 受力特点是:所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴垂直 变形特点是:杆的轴线由原来的直线弯曲成曲线。 2.支承简化 轴线 截面对称轴 纵向对称面

$5.1概述 受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成曲线。 截面对称轴 轴线 纵向对称面 2．支承简化 1．平面弯曲

3.静定梁的分类 剪支梁 外伸梁 悬臂梁 4.载荷的简化:集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例求悬臂梁的约束反力 m=q12/2 (1)分析受力 q 受集中力P,分布力q,力偶m,xr C B 固定端简化为 X A

3．静定梁的分类 剪支梁 外伸梁 悬臂梁 4．载荷的简化：集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 B / 2 2 m = ql YA X A q P = ql A C mA 受集中力P，分布力q，力偶m， 固定端简化为 mA X A YA 、 、 、 （ 1 ）分析受力

(2)列平衡方程 X=0,XA=0 ∑∑∑ Y=0,Y4-P 2 0 m,=0,-P1-q-.-1+m+m=0 解得XA=03 7 q m=gl/2 P=g A

B / 2 2 m = ql YA X A q P = ql A C mA （2）列平衡方程 0 4 3 . 2 0, 0 2 0, 0, 0 = − − + + = = − − = = =    A A A A l m m l m Pl q ql Y Y P X X 解得 2 8 7 , 2 3 X 0,Y ql m ql A = A = A =

$52梁横截面的内力——剪力和弯矩 剪力和弯矩 根据梁的平衡条件,列 以下方程 ∑MA(F)=0 ∑M(F=0 得出静定梁在载荷作用下的支反力( 作载面m-m,考虑左侧平衡,列 平衡方程解出剪力和弯矩 ∑Y=0,R4-B1-Q=0,Q=R4-P >M(x)=0, M+R(x-a) RAx=, M=RAY-R(x-a

$5.2梁横截面的内力——剪力和弯矩 1．剪力和弯矩 作载面m-m，考虑左侧平衡，列 平衡方程,解出剪力和弯矩。 M x M P (x a) R x M R x P (x a) Y R P Q O Q R P o A A A A = + − − = = − − = − − = = −   1 1 1 1 ( ) 0 , 0, 0 , , B A P1 P2 P1 P2 Q Q RB RA x x y y m m x M M 根据梁的平衡条件，列 以下方程 MA (F) = 0 MB (F) = 0 得出静定梁在载荷作用下的支反力 RA RB

1.2.剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dX,其错动趋势为“左上右下”时,对 于剪力规定为正号;反之,为负号。对于弯矩,在图 所示的变形情况下,小段的弯曲变形向下凹进,截面 的弯矩M规定为正号;反之,为负号 MO MO

1. 2．剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对 于剪力规定为正号；反之，为负号。对于弯矩，在图 所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面 的弯矩M规定为正号；反之，为负号。 Q>0 Q0 M<0 P1 P2 P3 YA YB

例已知q=125×10N/m 求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力 解 R (1)求支座反力 R,=Rn=5×105N D 4004 (2)列平衡方程,求 1660 剪力和弯矩 O=R1=5×10N M=RA×0,83-q×04x04 3.15×10°Nm

例 已知 q 12.5 10 N / m 6 =  求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力。 解： （1）求支座反力 RA RB N 6 = = 510 （2）列平衡方程， 求 剪力和弯矩 Q RA N 6 = = 510 M RA q 3.15 10 N.m 2 0.4 0.83 0.4 6 =  −   = 

3.剪力方程弯矩方程剪力图和弯矩图 1)剪力方程和弯矩方程 般情况下,剪力和弯矩随截面位置变化,则横 截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数。 M=M( 2)剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标ⅹ表示横截面的位置,以纵坐标相 应截面上的剪力和弯矩

一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横 截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函数。 3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 ( ) M M (x) Q Q x = = 以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标相 应截面上的剪力和弯矩。 2）剪力图和弯矩图

例画出梁的剪力图和弯矩图 A (1)列平衡方程,求支反力 ∑M4=0,R-Pn=0 b ∑MB=0.,Pb-Rl=0x° 解得 Pb/ Pb R B M Pa/l (2)求剪力和弯矩 Pab/ O(x=Pb 0a) 这是在AC段内的剪力方程弯 Pb (x)=7x(0≤x≤a 矩方程

例 画出梁的剪力图和弯矩图 Q M x x Pb /l Pa / l Pab /l P RA RB a b （1）列平衡方程，求支反力  = 0, MB Pb − RA l = 0  = 0, MA RB l − Pa = 0 解得 l Pb RA = l Pa RB = （2）求剪力和弯矩 ( ) l Pb Q x = (0  x  a) ( ) x l Pb M x = (0  x  a) 这是在AC段内的剪力方程弯 矩方程

Pb Pa a<x<1)这是在BC段内的剪 力方程弯矩方程 Pb x-P(x-a))(a≤xs (3)画剪力图弯矩图

（3）画剪力图弯矩图 ( ) l Pa P l Pb Q x = − = − (a  x  l) ( ) ( ) (l x) l Pb x P x a l Pb M x = − − = − (a  x  l) 这是在BC段内的剪 力方程弯矩方程