第七章弯曲变形 授课学时:4学时 主要内容: 推导Ey=M(x);积分法的求解过程:边界条件的建立;光滑连续条件的确定;叠加法 S71挠曲线近似微分方程 1.概念 挠曲线:当梁在xy面内发生弯曲时,梁的轴线由直线变为xy面内的一条光滑连续曲线 称为梁的挠曲线 挠度:横截面的形心在垂直于梁轴(x轴)方向的线位移,称为横截面的挠度,并用符 号v表示。 f(x) 转角:横截面的角位移,称为截面的转角,用符号θ表示。从图中可以看到,截面C的 转角等于挠曲线以C点的切线与x轴的夹角 flx) dx 0≈1gO=f(x)= d 综上所述,求梁的任一截面的挠度和转 角,关键在于确定梁的挠曲线方程v=f(x) ⊥ 2.挠曲线近似徽分方程 梁轴的曲率半径P与弯矩M的关系为 P(x) El 将微分弧段ds放大,有如下关系: =pn,(1)=B7·由于挠度很小,≈,上式可以写成 de M de M 考虑到弯矩的符号与a一致,上式写成 将b≈一代入上式得出 dv M(x)
第七章 弯曲变形 授课学时：4 学时 主要内容： 推导 ( ) `` EIy = M x ；积分法的求解过程；边界条件的建立；光滑连续条件的确定；叠加法。 $7.1 挠曲线近似微分方程 1．概念 挠曲线：当梁在 xy 面内发生弯曲时，梁的轴线由直线变为 xy 面内的一条光滑连续曲线， 称为梁的挠曲线。 挠度：横截面的形心在垂直于梁轴（ x 轴）方向的线位移，称为横截面的挠度，并用符 号 v 表示。 = f (x) 转角：横截面的角位移，称为截面的转角，用符号 表示。从图中可以看到，截面 C 的 转角 C 等于挠曲线以 C 点的切线与 x 轴的夹角。 f (x) dx d tg ' = = ( ) dx dv tg = f x = ' 综上所述，求梁的任一截面的挠度和转 角，关键在于确定梁的挠曲线方程 = f (x) 2．挠曲线近似微分方程 梁轴的曲率半径 与弯矩 M 的关系为 EI M x x ( ) ( ) 1 = 将微分弧段 ds 放大，有如下关系： ds = d ， ( ) EI M ds x d = = 1 。由于挠度很小， ds dx ，上式可以写成 EI M dx d = 考虑到弯矩的符号与 dx d 一致，上式写成 EI M dx d = 将 dx dv 代入上式得出 EI M x dx dv ( ) 2 '' =
S72积分法求弯曲变形 1.转角和挠曲线方程 对p 两侧积分,可得梁的转角方程为 El MO = 再积分一次,即可得梁的挠曲线方程 M(x) x)= dx dx+Cx+D 式中C和D为积分常数,它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。 2.积分常数的确定一边界条件和光滑连续性 固定端,挠度和转角都等于零;铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在 挠曲线的任意点上,有唯一确定的挠度和转角。 R 例:所示简支梁AB受到集中力P作用,讨论它的弯曲变形。 ①求反力并列梁的弯矩方程 R=P RA ②建立坐标系x4y,分两段列出AB梁的弯矩方程为: b AC段M1(x1)=Px1 (0≤x1≤a) b CB段 M2(x2)=7Px2-P(x2-a)(a≤x2≤D ③对挠曲线近似微分方程积分,将AC和CB两段的挠曲线近似微分方程及积分结果,列表 AC段(0≤x1≤a) CB段(a≤x2≤D) Pb Ev1=1 E/v x2-P(x2-a) Pb El,=x1+CI E/v2= 212-2(x2-a)2+C2
$7.2 积分法求弯曲变形 1．转角和挠曲线方程 对 EI M x v ( ) '' = 两侧积分，可得梁的转角方程为 dx C EI M x x = v = + ( ) ( ) ' 再积分一次，即可得梁的挠曲线方程 dx dx Cx D EI M x v x + + = ( ) ( ) 式中 C 和 D 为积分常数，它们可由梁的约束所提供的已知位移来确定。 2．积分常数的确定—边界条件和光滑连续性 固定端，挠度和转角都等于零；铰支座上挠度等于零。弯曲变形的对称点上转角等于零。在 挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角。 例：所示简支梁 AB 受到集中力 P 作用，讨论它的弯曲变形。 解： ①求反力并列梁的弯矩方程 P l b RA = P l a RA = ②建立坐标系 xAy ，分两段列出 AB 梁的弯矩方程为： AC 段 1 1 1 ( ) Px l b M x = (0 ) x1 a CB 段 ( ) ( ) 2 2 Px2 P x2 a l b M x = − − ( ) 2 a x l ③对挠曲线近似微分方程积分，将 AC 和 CB 两段的挠曲线近似微分方程及积分结果，列表 如下。 AC 段 (0 ) x1 a CB 段 ( ) 2 a x l 1 '' 1 x l Pb EIv = 1 2 1 ' 1 2 x C l Pb EIv = + ( ) 2 2 '' 2 x P x a l Pb EIv = − − 2 2 2 2 2 ' 2 ( ) 2 2 x a C P x l Pb EIv = − − + L
E/=,x+C1x1+D1 (x2-a)3+C2x2+D2 确定积分常数积分常数C1、D1和C2、D2,需要连续条件和边界条件来确定。即 挠曲线在C截面的连续条件为 x1=x2=a时,B1=02 P C1 (-a)2+C2 6/ 2 67 a3+Ca+D1=,a3-2(1-a)3+C2a+D2 由上两式解得 C1=C2,D=D2 此外,梁在A、B两端的边界条件为 0时 0 x2=时,y2=0 即 D1=0 Pb. P (-a)3+C2=0 解得 D1=D2=0C1 12-b2) 梁AC和CB段的转角方程和挠曲线方程列于下表: AC段0≤x1≤a CB段a≤x,≤l 61(x1)=- (12-b2-3x2)62(x)2= cEll cEll (4) v1( v2(x2)= cEll ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为
1 1 1 3 1 6 x C x D l Pb EIv = + + 2 2 2 3 2 3 2 2 ( ) 6 6 x a C x D P x l Pb EIv = − − + + 确定积分常数 积分常数 C1、 D1 和 C2 、 D2 ，需要连续条件和边界条件来确定。即 挠曲线在 C 截面的连续条件为 当 x1 = x2 = a 时， 1 = 2 1 2 v = v 即： 2 2 2 1 2 ( ) 6 6 2 l a C P a l Pb a C l Pb + = − − + 2 2 3 3 1 1 3 ( ) 6 6 6 l a C a D p a l Pb a C a D l Pb + + = − − + + 由上两式解得 1 2 1 2 C = C ,D = D 此外，梁在 A 、 B 两端的边界条件为 x1 = 0 时， y1 = 0 x = l 2 时， y2 = 0 即： ( ) 0 6 6 0 2 2 3 1 − − + = = l a C l P l l Pb D 解得 D1 = D2 = 0 ( ) 6 2 2 1 2 l b l Pb C = C = − − 梁 AC 和 CB 段的转角方程和挠曲线方程列于下表： AC 段 0 x1 a CB 段 a x l 2 ( ) 6 ( ) ( 3 ) 6 ( ) 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 l b x EIl Pbx v x l b x EIl Pb x = − − − = − − − = − − − + − = − − − + − 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 3 ( 3 ) 6 ( ) x a b l l b x EIl Pb v x x a b l l b x EIl Pb x ④求梁的最大挠度和转角 在梁的左端截面的转角为
,=0(x)12= Pab(l+b cEll 在梁右端截面的转角为 a=(x2)2 Pab(+a) cEll 当a>b时,可以断定b为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面,先确定C截面的转角 =(x)-=3En(a-b 若a>b,则转角b>0。AC段挠曲线为光滑连续曲线,而4<0,当转角从截面A 到截面C连续地由负值变为正值时,AC段内必有一截面转角为零。为此,令61(x1)=0 Pb cEll (12-b2-3x2)=0 解得 x0的转角为零,亦即挠度最大的截面位置。由AC段的挠曲线方程可求得AB梁的最 大挠度为 x 3 S73用叠加法求弯曲变形 当梁上有几个载荷共同作用时,可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形,然后进 行叠加,即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形 应用叠加法求梁的变形时,若已知梁在简单载荷作用时的变形,是很方便的。 例1起重机大梁的自重是集度为的均布载荷q,吊重P为作用于中间的集中力。试求 大梁跨度中间的挠度。 解: (1)分解载荷 均布载荷q,集中力P (2)查表叠加 均布载荷单独作用下 a 9 P B ↓平↓↓++ sql 9 384EI L/2
EIl Pab l b x A x a 6 ( ) ( ) 1 1 1 + = = − = 在梁右端截面的转角为 EIl Pab l a x B x a 6 ( ) ( ) 2 1 2 2 + = = = 当 a b 时，可以断定 B 为最大转角。 为了确定挠度为极值的截面，先确定 C 截面的转角 ( ) 3 ( ) 1 1 1 a b EIl Pab x C x a = = − = 若 a b ，则转角 C 0。AC 段挠曲线为光滑连续曲线，而 A 0 ，当转角从截面 A 到截面 C 连续地由负值变为正值时， AC 段内必有一截面转角为零。为此，令 1 (x1 ) = 0， 即 ( 3 ) 0 6 2 0 2 2 − l − b − x = EIl Pb 解得 3 2 2 0 l b x − = 0 x 的转角为零，亦即挠度最大的截面位置。由 AC 段的挠曲线方程可求得 AB 梁的最 大挠度为 ( ) 9 3 ( ) 2 2 max 1 1 1 0 l b EIl Pb v x x x = = − = $7.3 用叠加法求弯曲变形 当梁上有几个载荷共同作用时，可以分别计算梁在每个载荷单独作用时的变形，然后进 行叠加，即可求得梁在几个载荷共同作用时的总变形。 应用叠加法求梁的变形时，若已知梁在简单载荷作用时的变形，是很方便的。 例 1 起重机大梁的自重是集度为的均布载荷 q ，吊重 P 为作用于中间的集中力。试求 大梁跨度中间的挠度。 解： （1）分解载荷 均布载荷 q ，集中力 P （2）查表叠加 均布载荷单独作用下 ( ) EI ql f c q 384 5 4 = − q P A C B L/2 L/2
集中力单独作用下 Pl 48EⅠ 在均布载荷和集中力共同作用下 例2将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承A和B 简化为较支座,P为切削力,B为齿轮传动力。试求截面BO 的转角和端点C的挠度 (1)分解载荷 集中力 P2.B1 (2)计算在截面B处的剪力和弯矩 O=P, M=Pa (3)查表叠加 截面因M引起的转角 )=B Pal 3EI P2单独作用引起的转角 )2=PP 16El 转角叠加 pal pl 3EI16EⅠ 因转角引起的C处的挠度 Pal pal Bg.a 3EI T 16El P引起的C点的挠度 P 3EI C点挠度的叠加 vc =v+Vasa(+a)pal2 BEI
集中力单独作用下 ( ) EI Pl f c P 48 3 = − 在均布载荷和集中力共同作用下 EI Pl EI ql f c 384 48 5 4 3 = − − 例 2 将车床主轴简化成等截面的外伸梁。轴承 A 和 B 简化为铰支座，P1 为切削力，P2 为齿轮传动力。试求截面 B 的转角和端点 C 的挠度。 解： （1）分解载荷 集中力 P2 ， P1 （2）计算在截面 B 处的剪力和弯矩 Q = P1， M = Pa （3）查表叠加 截面因 M 引起的转角 ( ) EI Pal EI Ml B M 3 3 1 = = P2 单独作用引起的转角 ( ) EI P l B P 16 2 2 2 = − 转角叠加 EI P l EI Pal B 3 16 2 1 2 = − 因转角引起的 C 处的挠度 EI P al EI Pa l vc B a 3 16 . 2 2 2 1 1 = = − P1 引起的 C 点的挠度 EI Pa vc 3 3 1 2 = C 点挠度的叠加 ( ) EI P al EI Pa l a v v v c c c 3 16 2 2 2 1 1 2 − + = + = P ( ) c p f q ( ) c q f A D B C P1 P2 P1 C C2 v B P2 M B C1 v Q
S74简单超静定梁 1.求解步骤 1)判断静不定度 2)建立基本系统 解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构(一个静不定系统解除多余 约束后所得的静定系统) 3)建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统) 4)求解静不定问题 2.求解简单静不定结构 例求超静定梁B处的支反力及中点C的挠度 解: 去掉支座B,代替以约束反力YB。 Yg 物理关系(力与变形的关系)VBy=-3EIA 6E/2 48El 变形协调关系vBy+vp=0 5P Pl 利用叠加法得 P)%64) 7Pl El 768EI
$7.4 简单超静定梁 1．求解步骤 1）判断静不定度 2）建立基本系统 解除静不定结构的内部和外部多余约束后所得到的静定结构(一个静不定系统解除多余 约束后所得的静定系统) 3）建立相当系统(作用有原静不定梁载荷与多余约束反力的基本系统) 4）求解静不定问题 2．求解简单静不定结构 例 求超静定梁 B 处的支反力及中点 C 的挠度。 解： 去掉支座 B，代替以约束反力 YB。 物 理 关 系 （ 力 与 变 形 的 关 系 ） EI Y l v B BY 3 3 = − ， ( ) EI Pl l l l EI P vBP 48 5 2 3 6 2 3 2 − = = 变形协调关系 vBY +vBP = 0 0 48 5 3 3 3 − + = EI Pl EI Y l B 16 5P YB = 利用叠加法得 ( ) ( )( ) ( ) EI Pl l l EI P l EI P l vc 768 7 2 3 6 16 2 5 3 2 3 3 2 = + − − = + A C B P A B P BP v C YB BP v B1 A Pl 16 3 Pl 32 5 A C B YB P