第九章组合变形
第九章 组合变形
§9-1概念 1 定义 在复杂外载作用下,构件的变形会包含几种简单变形,当几种 变形所对应的应力属同一量级时,不能忽略之,这类构件的变 形称为组合变形。 2.组合变形形式 两个平面弯曲的组合 拉伸或压缩与弯曲的组合
1．定义 在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种 变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略之，这类构件的变 形称为组合变形。 2．组合变形形式 §9–1概念 z o P y 。 x C 两个平面弯曲的组合 拉伸或压缩与弯曲的组合
3.组合变形的研究方法 A 叠加原理 对于线弹性状态的构件,将其组合 变形分解为基本变形,考虑在每 种基本变形下的应力和变形, 然后在叠加 4.解题步骤 扭转与弯曲 外力分析:外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 内力分析:求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确 定危险面。 应力分析:画危险面应力分布图,叠加,建立危险点的强 度条件
外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解 内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。 应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强 度条件。 对于线弹性状态的构件，将其组合 变形分解为基本变形，考虑在每一 种基本变形下的应力和变形， 然后在叠加。 3．组合变形的研究方法 —— 叠加原理 扭转与弯曲 m B A E C a P Pt b l 4．解题步骤
§9-2拉(压)弯组合 例起重机的最大吊重P=12kN A [σ]=100kMm试为横梁AB选 择适用的工字钢。 解:(1)受力分析 R T 由∑MA=0得 2 T=24T=18kN 5 (2)作AB的弯矩图和剪力图,确定 12kN. m C左侧截面为危险截面 DX (3)确定工字钢型号 24N 按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数
§9–2拉(压)弯组合 A HA P RA Tx Ty T C B M x 12kN .m N x 24kN 例 起重机的最大吊重P=12kN， [σ]=100kN/m 2试为横梁AB选 择适用的工字钢。 M A = 0 解：（1）受力分析 由 得 T T k N Ty = 18kN x y 24 1.5 2 = = （2）作AB的弯矩图和剪力图，确定 C左侧截面为危险截面。 （3）确定工字钢型号 按弯曲强度确定工字钢的抗弯截面系数
W≥ M12×10 ]100×10°120cm3 查表取W=141cm A 的16号工字钢,其横截面积为 26.1cm3 在C左侧的下边缘压应力最大,H,R 需要进行校核 A 目 12kN. m max 24×10 12×10 AW264×10-4141×10-6 94.3MPa < 100MPa 24kM 固所选工字钢为合适
+ = 3 6 3 120 100 10 12 10 cm M W = = 查表取W=141cm3 的16号工字钢，其横截面积为 26.1cm3 。 在C左侧的下边缘压应力最大， 需要进行校核。 固所选工字钢为合适。 A HA P RA Tx Ty T C B M x 12kN .m MPa MPa W M A N 94.3 100 141 10 12 10 26.4 10 24 10 6 3 4 3 max max = + = + = − − N 24kN x
§9-3斜弯曲 1.斜弯曲概念 梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合,这时杄件 将在形心主惯性平面内发生弯曲,变形后的轴线与外力不在同 纵向平面内 2.解题方法 1)分解:将外载沿横截面的两个形心主轴分解,于是得到两个正 交的平面弯曲。 2)叠加:对两个平面弯曲进行研究; 然后将计算结果叠加起来。 例矩形截面悬臂梁,求根部的最大 应力和梁端部的位移 解:(1)将外载荷沿横截面的形心主轴分解
§9–3斜弯曲 2）叠加：对两个平面弯曲进行研究； 然后将计算结果叠加起来。 梁的横向力不与横截面对称轴或形心主惯性轴重合，这时杆件 将在形心主惯性平面内发生弯曲，变形后的轴线与外力不在同 一纵向平面内， 2．解题方法 1）分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正 交的平面弯曲。 z o P y 。 x C 例 矩形截面悬臂梁，求根部的最大 应力和梁端部的位移。 解：（1）将外载荷沿横截面的形心主轴分解 1．斜弯曲概念
P=Pcos P=Psin (2)外载荷在固定端两平面内的弯矩 d=-Pul=-PI cos P /=-Plsin (3)应力 由弯矩M引起任意点C处应力 M Pl cos f2 由弯矩M,引起任意点C处应力 y Plain g
z o P y x C P z f y f f x Py = Pcos P z = Psin （2）外载荷在固定端两平面内的弯矩 M z = −Py l = −Pl cos M y = −Pz l = −Plsin （3）应力 M z 引起任意点C处应力 y I Pl I M y z z z = = − • ' cos 由弯矩 M y 引起任意点C处应力 z I Pl I M y y y y = = − • '' sin 由弯矩
(4)最大正应力一在C处的应力叠加为 o=0+o s Plcos o Plain ●y (5)变形计算 由P,引起的垂直位移f Pl cOS P BEl BEl 由P引起的垂直位移 P/ Pl sin o f BEI BEI 将∫、∫,几何叠加得 f=S+2=EVI COS sin pp tan l tan 上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合
= + = − • + • z I Pl y I Pl z y ' '' cos sin （4）最大正应力—在C处的应力叠加为 （5）变形计算 Py 引起的垂直位移 z z y y EI Pl EI P l f 3 cos 3 3 3 = = 由 Pz 引起的垂直位移 y y z z EI Pl EI P l f 3 sin 3 3 3 = = 由 将 z f 、 y f 几何叠加得 2 2 3 2 2 2 1 cos sin 3 + = + = z y E I I Pl f f f tan tan y z y z I I f f = = 上式说明挠度所在平面与外力所在的平面并不重合
§9-4弯曲与扭转的组合m(4早(E 1.外力向杆件截面形心简化 P向轴心简化得一等值力和扭矩 PD PD 2 Pab x2平面内的弯矩M,m xy平面内的弯矩M:mPab PD 1b M +M P2+P2 y. max max X 2.画内力图确定危险截面 在危险截面上,与扭矩T对应的边缘 上的切应力极值为 Pab
§9–4弯曲与扭转的组合 P向轴心简化得一等值力和扭矩 2 PD T = m = xz m P A B E C x y z 2 PD Pt 平面内的弯矩 l Pab M t y,max = xy 平面内的弯矩 l Pab M z,max = 2 2 2 ,max 2 ,max P P l ab M = M y + M z = t + m A B E C P Pt a b l x 2 T PD x M y l P ab 在危险截面上，与扭矩T对应的边缘 上的切应力极值为 Wt T = 1．外力向杆件截面形心简化 2．画内力图确定危险截面
与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为 AB到 W D点的主应力为a322a2+4r2 PD O=0 3.确定危险点并建立强度条件 按第三强度理论,强度条件是 Ⅲx O1-O2≤ Pab 2+4x2 Pab 对于圆轴W,=2W,其强度条件为
W M = 与合成弯矩对应的弯曲正应力的极值为 D点的主应力为 0 2 4 1 2 2 2 2 3 1 = + = 按第三强度理论，强度条件是 − 1 3 + 2 2 4 m A B E C P Pt a b l m P A B E C x y z 2 PD P t x 2 PD T x M y l Pab x l Pab M z 对于圆轴 Wt = 2W ，其强度条件为 3．确定危险点并建立强度条件