东南大学远程教育：《材料力学》教学资源（PPT课件）第四章 应力与应变分析

第四章应力与应力分析 第一节应力状态的概念 第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 第三节平面应力状态下的应 力研究·主应力与主平面 第四节空间应力状态的研究 第五节平面应力状态下的应变研究 第六节应力与应变的关系 第七节空间应力状态下的比能

第四章 应力与应力分析 第一节 应力状态的概念 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆 第三节 平面应力状态下的应 力研究·主应力与主平面 第四节 空间应力状态的研究 第五节 平面应力状态下的应变研究 第六节 应力与应变的关系 第七节 空间应力状态下的比能

第一节应力状态的概念 1) 般来说,受力构件内各点处的应力是不同的 并且同一点不同方位截面上应力也不相同。 2)受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合, 称为一点处的应力状态 3)研究一点的应力状态,通常围绕该点截取一个微小 的正六面体(即单元体)来考虑。单元体各面上的应力 假设是均匀分布的,并且每对互相平行截面上的应力, 其大小和性质完全相同,三对平面上的应力代表通过 该点互相垂直的三个截面上的应力

第一节 应力状态的概念 2）受力构件内一点处不同方位的截面上应力的集合， 称为一点处的应力状态 1） 一般来说，受力构件内各点处的应力是不同的。 并且同一点不同方位截面上应力也不相同。 3）研究一点的应力状态，通常围绕该点截取一个微小 的正六面体（即单元体）来考虑。单元体各面上的应力 假设是均匀分布的，并且每对互相平行截面上的应力， 其大小和性质完全相同，三对平面上的应力代表通过 该点互相垂直的三个截面上的应力

第一节应力状态的概念 4)单元体上剪切等于零的截面称为主平面。过受力构件内 任一点,一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单 来表示。按代数值大小顺序排列,即σ1≥220 元体,称为主单元体。它的三个主应力通常用G1、O2 5)一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示,根据 三个主应力的情况可分为三类: (A)只有一个主应力不等于零,称为单向应力状态 (B)有两个主应力不等于零,称为二向应力状态或平面 应力状态 (C)三个主应力都不等于零,称为三向应力状态 其中二向和三向应力状态也称为复杂应力状态,单向应力 状态称为简单应力状态

第一节 应力状态的概念 5） 一点的应力状态常用该点的三个主应力来表示，根据 三个主应力的情况可分为三类： （A） 只有一个主应力不等于零，称为单向应力状态 （B） 有两个主应力不等于零，称为二向应力状态或平面 应力状态 （C） 三个主应力都不等于零，称为三向应力状态 其中二向和三向应力状态也称为复杂应力状态，单向应力 状态称为简单应力状态。 4）单元体上剪切等于零的截面称为主平面。过受力构件内 任一点，一定可以找到一个由三个相互垂直主平面组成的单 元体，称为主单元体。它的三个主应力通常用 、 、 来表示。按代数值大小顺序排列，即 。  1  2  3 1  2   3

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 单元体上有一对平面上的应力等于零, 则称为平面应力状态 X

第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆 单元体上有一对平面上的应力等于零， 则称为平面应力状态 y  y y   x x  x z  y y  x x    y y   x x  y x x   x y   y  

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 τ…斜截面的外法线与Ⅹ轴之间的夹角O 规定从X轴逆时针转到截面外法线n方向时为正 斜截面上的应力: 0.+0.0.-0 cos 2d -t sin 2a sin 2a+t cos 2a

 x x   y y       n                 sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − + + = 斜截面的外法线与X轴之间的夹角 规定从X轴逆时针转到截面外法线n方向时为正。 斜截面上的应力： 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆   X

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 应力圆 由 cos 2a- sin 2a sin 2a+t cosa 可得: O.+ Oy 0-0 2

应力圆                 sin 2 cos2 2 cos2 sin 2 2 2 x x y x x y x y + − = − − + + = 由 可得： 2 2 2 2 2 2 x x y x y          +         − + =         + − 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 O.+0 应力圆 为圆心,以 z为半径 反映应力变化的圆 C X 2 0 O O

应力圆 以 为圆心，以 为半径 反映应力变化的圆。         + ,0 2  x  y 2 2 2 x x y    +         − y   x x  y x x   x y   y    y  y  x  1  2 x  o   0 2 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 O.+0 应力圆 为圆心,以 z为半径 反映应力变化的圆 C X 2 0 O O

应力圆 以 为圆心，以 为半径 反映应力变化的圆。         + ,0 2  x  y 2 2 2 x x y    +         − y   x x  y x x   x y   y    y  y  x  1  2 x  o   0 2 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 用图解法分析平面应力状态 举例: 按下列步骤作出应力圆 (1)在O,T坐标系内, K 按选定的比例尺量取OA=0x 20x AD=rx,得到D点,D点对应 B 于X截面 0τ CAO (2)量取OB=,BD= 得到D点,D点对应于y截 面

第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆 用图解法分析平面应力状态 举例： 按下列步骤作出应力圆 （1）在 坐标系内， 按选定的比例尺量取 得到D点，D点对应 于X截面。 （2）量取 得到 点， 点对应于y截 面。 , , oA = x , AD x = oB , =  y D 1 D 1  y  x  2 x  o  2 BD , 1 y =  A  B D 1 D C y  K

第二节平面应力状态下的 应力研究应力圆 (3)连接D,D两点,交O 轴于C点。以C点为圆心, CD为半径作圆,即得所求 应力圆 K (4)若要确定C截面上 20x 的应力,可以从D点开始, B 按照单元体上C角的转向 0τ CAO 沿着圆周转过2圆心角得 到K点,K点的横坐标和纵 坐标分别就是α截面上的 正应力O和切应力τ

（3）连接D， 两点，交 轴于C点。以C点为圆心， CD为半径作圆，即得所求 应力圆。 （4）若要确定 截面上 的应力，可以从D点开始， 按照单元体上 角的转向， 沿着圆周转过 圆心角得 到K点，K点的横坐标和纵 坐标分别就是 截面上的 正应力 和切应力 D 1   2        y  x  2 x  o  2 A  B D 1 D C y  K 第二节 平面应力状态下的 应力研究·应力圆