东南大学远程教育：《材料力学》教学资源（PPT课件）习题第四章应力与应变分析

典型题精解(4-1) 4-1图4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求:1)主应力及主 平面;2)最大切应力及其作用平面。 解(一)解析法 由单元体可知σx=-20MPa;oy=30MPax=-20MPa 30MPa t 20MPa E 20MPa B 图4-1 D 1)极值正应力

4-1 图4-1(a)所示一单元处于平面应力状态。试求：1）主应力及主 平面；2）最大切应力及其作用平面。 解（一）解析法 由单元体可知 30MPa 20MPa 20MPa 1 3 (a) K B1 D E D1 A1  O  (b) 图4－1 1）极值正应力 20MPa; 30MPa; 20MPa. x = − y = x = − 典型题精解（4－1）

典型题精解(4-1) .+6 2 20+30 20-30 +(-20 27 MPa 2 2 所以,主应力1=37MPa;o3=-27MPa(o2=0) 主平面 2 2×(-20) 0.8 20-30 所以, 19330,主应力单元体如图4-1(a)所示

( 20) MPa 2 20 30 2 20 30 2 2 3 7 2 7 2 2 2 x 2 max x y x y min −    + − =      − −  − + = +           −   +  = 所以，主应力 主平面 37MPa; 27MPa( 0). 1 = 3 = − 2 = 所以， ，主应力单元体如图4－1（a）所示 0.8 20 30 2 2 ( 20) 2 0 = − − −  − = − − = − x y x t g     o 0 = −19.33 典型题精解（4－1）

典型题精解(4-1) 2)最大切应力 X y 20-30 2 max +(-20)2=32MPa 最大切应力作用平面 O-0 20-30 2 g 1.25 2rx2×(-20) 所以1=256711567),由的作用平面也可判定最大切应力 (二)图解法 按照作应力圆的方法在σ2τ坐标系内,按选定的比例尺,由 20MPa;τx=-20MPa得到D点,D点对应于X截面。由

2）最大切应力 ( 20) 32MPa 2 20 30 2 2 2 2 x 2 x y max  + − =      − − +  =          −  = 最大切应力作用平面 1.25 2 ( 20) 20 30 2 2 1 =  − − − = − = x x y t g     25.67 (115.67 ) o o 所以 1 = ，由 的作用平面也可判定最大切应力 作用平面是 。 （二）图解法 按照作应力圆的方法在 坐标系内，按选定的比例尺，由 得到D点，D点对应于x截面。由 1 o 0 =115.67 ,  20MPa; 20MPa. x = − x = − 典型题精解（4－1）

东南大学远程教育 材料力学 第八讲 主讲教师:马军

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典型题精解(4-2) o.=30MPa:t=20MPa 得到1点D1点对应于y截面。再由D点和D两点绘出相应的应力圆, 如图4-1(b)所示。 应力圆和G轴相交于A1,B31两点,即为两个主应力值,由图中量得 F,=523MPa,O3=-27MPa 应力圆的最高点E相应于最大切应力,由图中量得 τm=32MPa,1=11567°

得到 点， 点对应于y截面。再由 点和 两点绘出相应的应力圆， 如图4－1（b）所示。 应力圆和 轴相交于 两点，即为两个主应力值，由图中量得 应力圆的最高点 相应于最大切应力，由图中量得 D1 D1 D  1 B1 A , 52.3MPa, 27MPa 1 = 3 = − E o  max = 32MPa,1 =115.67 典型题精解（4－2） 30MPa; 20MPa.  y =  y = D1

典型题精解(4-2) 42已知如图4-2所示过一点两个平面上的应力。试求:1)该点 的主应力及主平面;2)两平面的夹角。 解:1)设平面1的法线方向为y方向,平面1就是y平面,其上的应力 为 o,=52.3MPa; t=-186MPa 与y平面正交的x平面上的切应力为 MPa 2OMPa T=18.6MPa. X平面上的正应力x未知。 平面2上的应力在x平面和y平面所确定 的应力圆上,平面2的法线和X方向的夹 18.6MPa 角a=90°-0,则 52.3MPa oa= 20MPaW OMPa 由应力圆的方程知 图4-2 0.+

4-2 已知如图4－2所示过一点两个平面上的应力。试求：1）该点 的主应力及主平面；2）两平面的夹角。 解：1）设平面1的法线方向为y方向，平面1就是y平面，其上的应力 为 与y平面正交的x平面上的切应力为 X平面上的正应力 未知。 平面2上的应力在x平面和y平面所确定 的应力圆上，平面2的法线和x方向的夹 角 ，则 52.3MPa; 18.6MPa. y = y = − 18.6MPa.  x =  = 20MPa,  = −10MPa    = −  o 90 x 由应力圆的方程知 2 2 x 2 2 ) 2 ) ( 2 ( x x y y          + − + = + −  10MPa 20MPa 18.6MPa 52.3MPa x y  图4－2 1 2 典型题精解（4－2）

典型题精解(4-2) 代入已知数据得 (20-x+52 52.3 +10=( )2+1862 2 解方程得x平面上的正应力o、=27.6MPa 主应力 2 土 2 276+52.3 276-52.3 + +1862=623MPa 主平面方位 2τ 2×18.6 g∠co 1.506 27.6-52.3

代入已知数据得 2 2 x 2 2 ) 18.6 2 52.3 ) 10 ( 2 52.3 (20 + − + = + −  x  解方程得x平面上的正应力 主应力 27.6MPa x = 18.6 MPa 2 27.6 52.3 2 27.6 52.3 2 2 6 2.3 1 7.6 2 2 2 x 2 x y x y 1 2  + =      −  + = +           −    +  =   主平面方位 1.506 27.6 52.3 2 2 18.6 tg2 x y x 0 = −  = −  −   = − 典型题精解（4－2）

典型题精解(4-2) 所以,C0=28.2 2)由平面应力状态任意截面的应力公式 0.6-0 cos2a-τ.sin2o 2 sn2a+τ.cos2 2 代入平面2及x平面和y平面上的应力,得 276+52.3276-52.3 20 Cos[2×(900-6)]-186sin2×(90°-0) 276-52.3 10 sn[2×(900-0)+186c0s[2(900-0) 解得θ=48.5°

所以， o 0 = 28.2 2）由平面应力状态任意截面的应力公式  +    −  =  −    − +  +   =   sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 x x y x x y x y 代入平面2及x平面和y平面上的应力，得 sin[ 2 (90 )] 18.6cos[2(90 )] 2 27.6 52.3 10 cos[2 (90 )] 18.6sin[ 2 (90 )] 2 27.6 52.3 2 27.6 52.3 20 o o o o  −  + −  − − =  −  −  −  − + + = 解得 o  = 48.5 典型题精解（4－2）

典型题精解(4-3) 43一单元体应力状态如图4-3所示。已知材料的E=20Mpa,u=03 试求:1)单元体的主应力及最大切应力;2)单元体的主应变和体积应变; 3)单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能 解:1)由单元体图可以看出Z截面的切应力为零, 60MPa 因而z截面的正应力2=-40MPa,即是一个 主应力 40MPa 两个主应力分别为 30MPa O ,=xy± O 40MPa 30+60 30-60 +(-40) 图4-3 877 MP

4-3 一单元体应力状态如图4－3所示。已知材料的E=20Mpa,u=0.3 试求：1）单元体的主应力及最大切应力；2)单元体的主应变和体积应变； 3）单元体的弹性比能、体积改变比能和形状改变比能。 解：1）由单元体图可以看出z截面的切应力为零， 因而z截面的正应力 ，即是一个 主应力。 两个主应力分别为 40MPa z = − MPa x x y x y 8 7.7 2.3 2 2 2 2 ( 40) 2 30 60 2 30 60 2 2 =  + −      −  + = +         −  + =          图4－3 40MPa 40MPa 60MPa 30MPa x y z 典型题精解（4－3）

典型题精解(4-3) 所以三个主应力为 G,=877MPa:,=2.3MPa:,=-40MPa 最大切应力为 1-σ387.7-(-40) =63.85MPa 2 由广义虎克定律求得主应变 o1-(o2+o3 E 200×103877-03×(23-40)=0.495×10-3 E2=[2-以(3+1=,3[23-03×(-40+877)=-006×103 o 3-μ(σ1+o [-40-0.3×(877+2.3)=-0.335×10 E 200×10

所以三个主应力为 87.7MPa; 2.3MPa; 40MPa. 1 = 2 = 3 = − 最大切应力为 63.85MPa 2 87.7 ( 40) 2 1 3 max = − − =  −   = 由广义虎克定律求得主应变 3 3 3 1 2 3 3 2 2 3 1 3 3 1 1 2 3 3 [ 40 0.3 (87.7 2.3)] 0.335 10 200 10 1 [ ( )] E 1 [2.3 0.3 ( 40 87.7)] 0.06 10 200 10 1 [ ( )] E 1 [87.7 0.3 (2.3 40)] 0.495 10 200 10 1 [ ( )] E 1 − − − − −  + = −    =  −  +  = −  − + = −    =  −  +  = −  − =    =  −  +  = 典型题精解（4－3）