第五章弯曲内力 授课学时:6学时 主要内容:弯曲内力:Q、M与q之间的微分关系:QM方向的确定;突变位置,方向 大小数值。 S51概述 1.平面弯曲 受力特点是:所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是:杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线 轴线 截面对称轴 E 纵向对称面 2.支承简化 可动铰 固定铰支 固定端 3.静定梁的分类 剪支梁 外伸梁 悬臂梁 4.载荷的简化 集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例求悬臂梁的约束反力。 解 (1)分析受力 受集中力P,分布力q,力偶m,固定端简化为m4、XA、Y4 (2)列平衡方程
1 第五章弯曲内力 授课学时：6 学时 主要内容：弯曲内力；Q、M 与 q 之间的微分关系；Q,M 方向的确定；突变位置,方向, 大小数值。 $5.1 概述 1．平面弯曲 受力特点是：所有外力都作用在杆件的纵向平面上且与杆轴线垂直。 变形特点是：杆的轴线由原来的直线弯曲成与外力在同一平面上的曲线。 截面对称轴 轴线 纵向对称面 2．支承简化 3．静定梁的分类 4．载荷的简化 集中载荷、载荷、集中力偶、分布力偶 例 求悬臂梁的约束反力。 解： （1）分析受力 受集中力 P，分布力 q，力偶 m，固定端简化为 mA 、 X A 、YA。 （2）列平衡方程 可动铰 支座 固定铰支 座 固定端 剪支梁 外伸梁 悬臂梁
∑X=0,XA=0 Y=0,y4-P ∑m 解得 S52梁横截面的内力—剪力和弯矩 1.剪力和弯矩 根据梁的平衡条件,列以下方程 ∑MA(F)=0,∑MB(F)= 得出静定梁在载荷作用下的支反力R4 RB:并将其作为已知量。 作载面m-m,考虑左侧平衡,列平衡方 ) ∑Y=0,R4-P RA-P >M(x)=0,M+R(-a)Rx=0, M=RAX-PO 从上式可以看出,截面上的剪力Q在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁 轴的垂线(y轴)上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有 外力对于该截面形心的力矩的代数和。 2.剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段dx,其错动趋势为“左上右下”时,对于剪力Q规定为正号:反之,为 负号。对于弯矩,在图所示的变形情况下,小段的弯曲变形向下凹进,截面的弯矩M规定 为正号:反之,为负号
2 0 4 3 . 2 0, 0 2 0, 0, 0 = − − + + = = − − = = = A A A A l m m l m Pl q ql Y Y P X X 解得 2 8 7 , 2 3 X 0,Y ql m ql A = A = A = $5.2 梁横截面的内力——剪力和弯矩 1．剪力和弯矩 根据梁的平衡条件，列以下方程 MA (F) = 0， MB (F) = 0 得出静定梁在载荷作用下的支反力 RA ， RB ；并将其作为已知量。 作载面 m−m ，考虑左侧平衡，列平衡方 程。 M x M P (x a) R x M R x P (x a) Y R P Q O Q R P o A A A A = + − − = = − − = − − = = − 1 1 1 1 ( ) 0 , 0, 0 , , 从上式可以看出，截面上的剪力 Q 在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有外力在梁 轴的垂线（ y 轴）上投影的代数和。截面上的弯矩在数值上等于此截面左侧或右侧梁上所有 外力对于该截面形心的力矩的代数和。 2．剪力和弯矩方向的确定 取梁内一小段 dx，其错动趋势为“左上右下” 时，对于剪力 Q 规定为正号；反之，为 负号。对于弯矩，在图所示的变形情况下，小段的弯曲变形向下凹进，截面的弯矩 M 规定 为正号；反之，为负号。 B / 2 2 m = ql YA X A q P = ql A C mA B A P1 P2 P1 P2 Q Q RB RA x x y y m m x M M
M>0 例已知q=125×10N/m,求跨度截面中点截面E上的弯矩和截面C上的剪力 B (1)求支座反力 RA=RB=5×10N (2)列平衡方程,求剪力和弯矩 Q=R4=5×10N 0.4 M=RA×0.83-q×0.4×=3.15×10°Nm 3.剪力方程弯矩方程剪力图和弯矩图 )剪力方程和弯矩方程 一般情况下,剪力和弯矩随截面位置变化,则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x的函 0=g(x) M=MIx 2)剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。 例画出梁的剪力图和弯矩图 解 (1)列平衡方程,求支反力 ∑MB=0.,Pb-R/=0 Rn/-Pa=0
3 P1 P2 P3 YA YB 例 已知 q 12.5 10 N / m 6 = ，求跨度截面中点截面 E 上的弯矩和截面 C 上的剪力。 解： （1）求支座反力 RA RB N 6 = = 510 （2）列平衡方程，求剪力和弯矩 Q RA N 6 = = 510 M RA q 3.15 10 N.m 2 0.4 0.83 0.4 6 = − = 3．剪力方程弯矩方程 剪力图和弯矩图 1）剪力方程和弯矩方程 一般情况下，剪力和弯矩随截面位置变化，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为 x 的函 数。 ( ) M M (x) Q Q x = = 2）剪力图和弯矩图 以平行于梁轴的横坐标 x 表示横截面的位置，以纵坐标相应截面上的剪力和弯矩。 例 画出梁的剪力图和弯矩图 解： （1）列平衡方程，求支反力 = 0, MB Pb − RA l = 0 = 0, MA RB l − Pa = 0 Q>0 Q0 M<0
解得 R Pa RB (2)求剪力和弯矩 O(x)=Pb a) M(x)=x(0≤x≤a),这是在AC Pb/ 段内的剪力方程弯矩方程 Pb (aY=0, ()-lo()+dQ()+ax o=0 ∑M=0 M()+M/(x)+aM()-(xx-9(xk4=0 dx 省略去上面第二式中的二阶微量q(x)dx:,整理后可得 do(x) 上式中就是载荷集度q(x),和剪力Q(x)及弯矩M(x)间的微分关系。可以得出剪力图
4 解得 l Pb RA = l Pa RB = （2）求剪力和弯矩 ( ) l Pb Q x = (0 x a) ( ) x l Pb M x = (0 x a)，这是在 AC 段内的剪力方程弯矩方程 ( ) l Pa P l Pb Q x = − = − (a x l) ( ) ( ) (l x) l Pb x P x a l Pb M x = − − = − (a x l)，这是在 BC 段内的剪力方程弯矩方程 （3）画剪力图弯矩图 $5.3 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 1．弯曲内力与分布载荷 q 之间的微分关系（右手坐标系） 用坐标为 x 和 x + dx 的两相邻截面从梁中截取出长为 dx 的微段，其中 c 为 x + dx 的截面的 形心。在坐标为 x 的截面上，剪力和弯矩分别为 Q(x) 和 M (x) ；在坐标为 x + dx 的截面上， 剪力和弯矩则分别为 Q(x) + dQ(x)， M (x) + dM (x) 。 列出 dx 微段的平衡方程 Y = 0， Q(x)−Q(x)+ dQ(x)+ q(x)dx = 0 Mc = 0 ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 − + + − − . = dx M x M x dM x Q x dx q x dx 省略去上面第二式中的二阶微量 2 ( ) dx q x dx ，整理后可得 ( ) ( ) q x dx dQ x = ( ) Q(x) dx dM x = 上式中就是载荷集度 q(x) ，和剪力 Q(x) 及弯矩 M (x) 间的微分关系。可以得出剪力图 Q M x x Pb /l Pa / l Pab /l x dx dx M（x） Q(x ) Q(x)+dQ( x) M(x)+d M(x) q(x) C
上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪 力的大小。 弯矩与荷载集度的关系是:“M()=纵)=) 2.Q、M图与外力间的关系 1)梁在某一段内无载荷作用,剪力图为一水平直线,弯矩图为一斜直线。 2)梁在某一段内作用均匀载荷,剪力图为一斜直线,弯矩图为一抛物线 3)在梁的某一截面,4M()-(x)=0,剪力等于零,弯矩有一最大值或最小值 4)由集中力作用截面的左侧和右侧,剪力Q有一突然变化,弯矩图的斜率也发生突然 变化形成一个转折点。 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。 例外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论,直接作剪力图和弯矩图 解: (1)求支反力 R,=3.5kN, Ra=14.5kN 3kN/m VVVV D 3.5kN 8.5kN 6.04kN,m (2)分析剪力和弯矩 A点右侧:O=3.5kN,M=0 C点左:Q=3.5,M=7KNm
5 上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪 力的大小。 弯矩与荷载集度的关系是： ( ) ( ) q(x) dx dQ x dx d M x = = 2 2 2．Q、M 图与外力间的关系 1）梁在某一段内无载荷作用，剪力图为一水平直线，弯矩图为一斜直线。 2）梁在某一段内作用均匀载荷，剪力图为一斜直线，弯矩图为一抛物线。 3）在梁的某一截面。 ( ) = Q(x) = 0 dx dM x ，剪力等于零，弯矩有一最大值或最小值。 4）由集中力作用截面的左侧和右侧，剪力 Q 有一突然变化，弯矩图的斜率也发生突然 变化形成一个转折点。 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图。 例 外伸梁的载荷如图。试利用上面得到的结论，直接作剪力图和弯矩图。 解： (1)求支反力 RA = 3.5kN ， RB =14.5kN。 A C B D RA 3kN.m RB 3kN/m 2m 4m 2m m 6 1 3 3.5kN 6kN 8.5kN Q x M x 7kN.m 6.04kN.m 4kN.m 6kN.m (2)分析剪力和弯矩 A 点右侧：Q = 3.5kN ， M = 0。 C 点左： Q = 3.5， M = 7kN.m
C点右:Q=3.5N,M=4kNm B点左:O=85kN,M=6kNm B点右:Q=6kN,M=6Nn D点左:O=0,M=0
6 C 点右： Q = 3.5kN ， M = 4kN.m。 B 点左： Q = 8.5kN ， M = 6kN.m B 点右：Q = 6kN ， M = 6kN.m。 D 点左：Q = 0 ， M = 0