《材料力学》第八章 应力状态分析和强度理论

第八章应力状态 分析和强度理论

第八章 应力状态 分析和强度理论

$8应力状态概述单向拉伸时斜截面上的应力 1.应力状态 过一点有无数的截面,这一点的各个截面上应力情况的集合, 称为这点的应力状态 2.单向拉伸时斜截面上的应力 横截面上的正应力_N k 斜截面上的应力 P P P P 三 O COSO k cos a 斜截面上的正应力和切应力为 2 a- pa cosc =o cos a ta=po sin a=sin 2a 可以得出=0时Cmx=Oa=时 max 2

$8.1应力状态概述 单向拉伸时斜截面上的应力 过一点有无数的截面，这一点的各个截面上应力情况的集合， 称为这点的应力状态。   P P P P pa  a a  k k k k k k pa n 2．单向拉伸时斜截面上的应力 A N  =    cos cos = = = A P A P p a a     斜截面上的应力 斜截面上的正应力和切应力为     2 = cos = cos a pa     sin 2 2 a = pa sin = 可以得出  = 0 时 max =  4   = 时 2 max   = 横截面上的正应力 1．应力状态

过A点取一个单元体,如果单元体的某个面上只有正应力, 而无剪应力,则此平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力 主单元体若单元体三个相互垂直的面皆为主平面,则这样的单 元体称为主单元体。 三个主应力中有一个不为零,称为单向应力状态 三个主应力中有两个不为零,称为二向应力状态。人 三个主应力中都不为零,称为三向应力状态。 主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列, G1≥O2≥σ3

主单元体三个主平面上的主应力按代数值的大小排列，  1   2   3 过A点取一个单元体，如果单元体的某个面上只有正应力， 而无剪应力，则此平面称为主平面。 主平面上的正应力称为主应力。 主单元体 若单元体三个相互垂直的面皆为主平面，则这样的单 元体称为主单元体。 三个主应力中有一个不为零，称为单向应力状态 三个主应力中有两个不为零，称为二向应力状态。 三个主应力中都不为零，称为三向应力状态。    

$82二向应力状态下斜截面上的应力 任意斜截面上的应力 在外法线n和切线t列平衡方程 o, dA+(t da cos asin a-o, dA cos a) cosa +(T dAsin acosa-(o, dAsin asin a=0 O a X I,dA-(I dAcos a)cosa-(o dA cos asin a +(o, dasin a)cosa+(t dasin asin a=0 根据剪应力互等定理,x=x并考虑到下列三角关系 1 +cos 2a 1-sin 2a cOS SIn a= 2 sin acos=sin 2a 2

$8.2二向应力状态下斜截面上的应力 xy  yx   y  x n  t 1．任意斜截面上的应力 在外法线n和切线t上列平衡方程  a dA + ( xydAcos)sin  − ( x dAcos) cos + ( yxdAsin ) cos − ( y dAsin )sin  = 0  a dA − ( xydAcos) cos − ( x dAcos)sin  + ( y dAsin ) cos + ( yxdAsin )sin  = 0 根据剪应力互等定理， xy yx  =  并考虑到下列三角关系 2 1 sin 2 ,sin 2 1 cos 2 cos 2 2     − = + = 2sincos = sin 2  a  a  x  y  xy x y n 

简化两个平衡方程,得 0 +o n-6ycosu txy sin 2a asrO sin 2a+t. cos 2a 2 2.极值应力 将正应力公式对a取导数,得如1=2°sm2x+1082z 若a=ao时,能使导数如=0,则 Oxsin 2ao +I cos 2%o=0 2 2T g 上式有两个解:即 和a。±90 在它们所确定的两个互相垂直的平面上,正应力取得极值。 可以证明:一个平面是最大正应力所在的平面,另一个是 最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为

简化两个平衡方程，得          cos 2 sin 2 2 2 xy x y x y − − + + =        sin 2 cos 2 2 xy x y + − = 2．极值应力 将正应力公式对  取导数，得       + − = −         sin 2 cos 2 2 2 xy x y d d 若  =  0 时，能使导数 = 0    d d ，则 sin 2 cos 2 0 2 0 + 0 = −      xy x y x y xy tg     − = − 2 2 0 上式有两个解：即  0 和   0  90 在它们所确定的两个互相垂直的平面上，正应力取得极值。 可以证明：一个平面是最大正应力所在的平面，另一个是 最小正应力所在的平面。求得最大或最小正应力为

o +o max T 2 2 min a0代入剪力公式,za0为零 这就是说,正应力为最大或最小所在的平面,就是主平面 所以,主应力就是最大或最小的正应力。 主应力及主平面的方位 +o 2T max x x 土 tga= +T min (o -o,cos 2a-2Tn sin 2a=0 得tg201=-2 求得剪应力的最大值和最小值是:tm/+Q-a max

2 2 min max ) 2 ( 2 xy x y x y        + −  + =     0 代入剪力公式，  0  为零。 这就是说，正应力为最大或最小所在的平面，就是主平面。 所以，主应力就是最大或最小的正应力。 主应力及主平面的方位 2 2 min max ) 2 ( 2 xy x y x y        + −  + =    x y xy tg     − = − 2 2 0 令 = ( − )cos 2 − 2 sin 2 = 0    x y xy d d 得 xy x y tg     2 2 1 − = 求得剪应力的最大值和最小值是： 2 2 min max ) 2 ( xy x y      + − =    

与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似,剪应力 的极值与所在两个平面方位的对应关系是: 若y>0,则绝对值较小的a1对应最大剪应力所在的平面 3.主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系 a与a1之间的关系为 tga g tga, 2c1=2c+ a = a 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45度

与正应力的极值和所在两个平面方位的对应关系相似，剪应力 的极值与所在两个平面方位的对应关系是：  xy  0 ，则绝对值较小的 1 对应最大剪应力所在的平面。 3．主应力所在的平面与剪应力极值所在的平面之间的关系  与 1 之间的关系为 1 0 2 1 2   tg tg = − 4 , 2 2 1 2 0 1 0      =  + = + 这表明最大和最小剪应力所在的平面与主平面的夹角为45度 若

$83二向应力状态的应力圆 1. 应力圆方程 O.+0.O.-0 将公式|oa ro 2coS 2a-T sin 2a 中的a sin 2a+t. cos 2a 2 R +o 削掉,得 2 T 2 由上式确定的以τ。Oa°为变量的圆,这个圆称作应力圆。 圆心的横坐标为(n+o,),纵坐标为0,圆的半径为 T

$8.3二向应力状态的应力圆 1．应力圆方程        + − = − − + + =                 sin 2 cos 2 2 cos 2 sin 2 2 2 xy x y xy x y x y 中的  2 2 2 2 2 2 xy x y x y          +         − + =         + − 将公式 削掉，得 由上式确定的以     为变量的圆，这个圆称作应力圆。 圆心的横坐标为 ( )  x + y 2 1 ，纵坐标为0，圆的半径为 2 2 2 xy x y    +         +

2.应力圆的画法 建立σ-τ应力坐标系(注意选好比例尺)在坐标系内画出点 D(a,xn)和D(,xn)D与轴的交点C便是圆心 以C为圆心,以AD为半径画圆—应力圆。 3.单元体与应力圆的对应关系 1)圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2)圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹 角的两倍 3)对应夹角转向相同 4.在应力圆上标出极值应力 O.+ max Oy +txy 2 max 士R=± ax min 2 2 min

 − 2．应力圆的画法 建立 应力坐标系（注意选好比例尺）在坐标系内画出点 ( ) D x xy  , 和 ( ) D y yx  , ' ' DD 与轴的交点C便是圆心 以C为圆心，以AD为半径画圆——应力圆。  xy  yx  y  x n  t  1  2   O C 1）圆上一点坐标等于微体一个截面应力值 2）圆上两点所夹圆心角等于两截面法线夹 角的两倍 3）对应夹角转向相同 4．在应力圆上标出极值应力 2 2 min max 2 2 xy x y x y        +         −  + =    2 2 max min min max 2 2 xy x y R        +         −  − =  =     3．单元体与应力圆的对应关系

三个主应力 S84三向应力状态 1O2)O3 2三向应力圆的画法 由G,2作应力圆,决定了平行于σ3平面上的应力 由σ31作应力圆,决定了平行于a面上的应力 由σ23作应力圆,决定了平行于σ1平面上的应力 3.单元体正应力的极值为 ax 最大的剪应力极值为 max max 2

   1  2  3 max  o $8.4三向应力状态 1．三个主应力  1  2  3   2.三向应力圆的画法 1 2  , 作应力圆，决定了平行于  3 平面上的应力 3 1  , 作应力圆，决定了平行于  2  2 , 3 作应力圆，决定了平行于  1 平面上的应力 平面上的应力 由 由 由  max =  1 ，  min =  3 最大的剪应力极值为 2 1 3 max    − = 3．单元体正应力的极值为