第十章压杆稳定 学时分配:共4学时 主要内容:两端铰支细长压杆的临界压力,杆端约束的影响,压杆的长度系数,临 界应力欧拉公式的适用范围;临界应力总图、直线型经验公式可n=a-b,使用安全系数 法进行压杆稳定校核 s101压杆稳定的概念 1.压杆稳定 若处于平衡的构件,当受到一微小的干扰力后,构件偏离原平衡位置,而干扰力解除以 ,又能恢复到原平衡状态时,这种平衡称为稳 P P<P P=P 定平衡。 2.临界压力 当轴向压力大于一定数值时,杆件有一微小干扰力 弯曲,一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小 挠力去除后,杆件不能恢复到原直线平衡位置 则称原平衡位置是不稳定的,此压力的极限值为 临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力的临 界值称为临界压力(或临界力),用b表示。 3.曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动,转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳 S102细长压杆临界压力的欧拉公式 1.两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系xOy。距原点为x的任意截面的挠度为V。于是有 M=-Py 2.挠曲线近似微分方程: 将其代入弹性挠曲线近似微分方程,则得 El=M(x)=-Py 令 则有 y"+k2y=0 该微分方程的通解为 Asin kx+bcos k
第十章 压杆稳定 学时分配：共 4 学时 主要内容：两端铰支细长压杆的临界压力，杆端约束的影响，压杆的长度系数 ，临 界应力欧拉公式的适用范围；临界应力总图、直线型经验公式 cr = a − b ，使用安全系数 法进行压杆稳定校核。 $10.1 压杆稳定的概念 1．压杆稳定 若处于平衡的构件，当受到一微小的干扰力后，构件偏离原平衡位置，而干扰力解除以 后，又能恢复到原平衡状态时，这种平衡称为稳 定平衡。 2．临界压力 当轴向压力大于一定数值时，杆件有一微小 弯曲，一侧加一微小干扰且有一变形。任一微小 挠力去除后，杆件不能恢复到原直线平衡位置， 则称原平衡位置是不稳定的，此压力的极限值为 临界压力。 由稳定平衡过渡到不稳定平衡的压力 的临 界值称为临界压力（或临界力），用 Pc 表示。 3．曲屈 受压杆在某一平衡位置受任意微小挠动，转变到其它平衡位置的过程叫屈曲或失稳。 $10.2 细长压杆临界压力的欧拉公式 1．两端铰支压杆的临界力 选取如图所示坐标系 xOy 。距原点为 x 的任意截面的挠度为 v 。于是有 M = −Pv 2．挠曲线近似微分方程： 将其代入弹性挠曲线近似微分方程，则得 EIv = M(x) = −Pv '' 令 EI P k = 2 则有 0 '' 2 ' v + k v = 该微分方程的通解为 v = Asin kx+ Bcoskx P P P P P<Pc r P=Pc r 干扰力 x l
式中A、B——积分常数,可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 x=0和x=/时 将其代入通解式,可解得 B=0 Asin kl=o 上式中,若A=0,则V=0;即压杆各处挠度均为零,杆仍然保持直线状态,这与压杆 处于微小弯曲的前提相矛盾。因此,只有 kl=0 满足条件的值为 kl=n(n=0,2,…) 则有 n7 k 于是,压力P为 nreL n=1得到杆件保持微小弯曲压力临界压力于是可得临界压力为 2EL P 此式是由瑞士科学家欧拉( L. Euler)于1744年提出的,故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式 此公式的应用条件:理想压杆;线弹性范围内:两端为球铰支座 S103其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 丌EI 式中“称为长度系数,它表示杆端约束对临界压力影响,随杆端约束而异。表示把 压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度,称为相当长度。 两端铰支,H=1:一端固定另一端自由H=2:两端固定,H=%:一端固定令 端铰支,A=0.7
式中 A、B——积分常数，可由边界条件确定 压杆为球铰支座提供的边界条件为 x = 0 和 x = l 时， v = 0 将其代入通解式，可解得 B = 0， Asin kl = 0 上式中，若 A=0，则 v = 0 ；即压杆各处挠度均为零，杆仍然保持直线状态，这与压杆 处于微小弯曲的前提相矛盾。因此，只有 sin kl = 0 满足条件的 kl 值为 kl = n (n = 0,1,2, ) 则有 l n k = 于是，压力 P 为 2 2 2 2 l n EI P k EI = = n =1 得到杆件保持微小弯曲压力-临界压力 Pc 于是可得临界压力为 2 2 l EI Pc = 此式是由瑞士科学家欧拉（L. Euler）于 1744 年提出的，故也称为两端铰支细长压杆的 欧拉公式。 此公式的应用条件：理想压杆；线弹性范围内；两端为球铰支座。 $10.3 其他条件下压杆的临界压力 欧拉公式的普遍形式为 2 2 ( l) EI Pcr = 式中 称为长度系数，它表示杆端约束对临界压力影响，随杆端约束而异。 l 表示把 压杆折算成相当于两端铰支压杆时的长度，称为相当长度。 两端铰支， = 1 ；一端固定另一端自由 = 2 ；两端固定， 2 = 1 ；一端固定令一 端铰支， = 0.7
例:试由一端固定,一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程,导出临界压力。 解: 由挠曲线的微分方程可得 d v M P R(1-x) x2 EI 方程的通解为 v=C cos kx+C sin kx+ R Ek>(-x 固定支座的边界条件是 x=0时,v=C x=/时,v=0,如 0. 0 边界条件带入上面各式得 R ERI=0.C, coskI+C, in k/=O,KC2 Ek20 解 tan kl=kl 作出正切曲线,与从坐标画出的45°斜直线相交,交点的横坐标为 P=(4493)E/2 弯矩为零的C点的横坐标x1352 ≈0.31 s104压杆的稳定校核 1.压杆的许用压力 P []为许可压力:n为工作安全系数 2.压杆的稳定条件 < 例平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径D=65mm,油压p=12MPa。活塞杆 长度=1250mm,材料为35钢,产220MPa,E=210GPa,nx=6。试确定活塞 杆的直径
例：试由一端固定，一端简支的细长压杆的挠曲线的微分方程，导出临界压力。 解： 由挠曲线的微分方程可得 EI R l x v EI P EI M dx d v ( ) 2 2 − = = − + 方程的通解为 (l x) EIk R v = C k x + C k x + − 1 2 2 cos sin 固定支座的边界条件是 x = 0 时， v = 0， = 0 dx dv x = l 时， v = 0， = 0 dx dv 边界条件带入上面各式得 0, cos sin 0, 0 1 2 1 2 2 2 + = + = − = EIk R l C k l C k l k C EIk R C 解得 tan kl = kl 作出正切曲线，与从坐标画出的 45º 斜直线相交，交点的横坐标为 ( ) 2 2 P 4.493 EI /l cr = 弯矩为零的 C 点的横坐标 l k xc 0.3 1.352 = $10.4 压杆的稳定校核 1．压杆的许用压力 st cr n P P = P 为许可压力； st n 为工作安全系数。 2．压杆的稳定条件 P P 例 平面磨床液压传动装置示意图。活塞直径 D = 65mm ，油压 p = 1.2MPa 。活塞杆 长度 l =1250mm ，材料为 35 钢， P = 220MPa ， E = 210GPa，ns = 6 。试确定活塞 杆的直径。 解： P R B y A x v x l 0.3l C
(1)轴向压力 P=2D3p=(65×10-)×12×x105=3980N (2)临界压力 P=n2P=6×3980=23900N 围AHE (3)确定活塞杆直径 活塞杆 由Pa=) =23900N得出d≈0.025m (4)计算活塞杆柔度 11×1.25 200 i0025 E/x2×210×10 对35号钢,A1 220×10° 因为A),满足欧拉公式的条件
（1）轴向压力 P D p (65 10 ) 1.2 10 3980N 4 4 6 2 2 3 = = = − （2）临界压力 Pcr = nstP = 63980 = 23900N （3）确定活塞杆直径 由 ( ) N l EI Pcr 23900 2 2 = = 得出 d 0.025m （4）计算活塞杆柔度 200 4 0.025 1 1.25 = = = i l 对 35 号钢， 97 220 10 210 10 6 2 2 9 1 = = = P E 因为 1 ，满足欧拉公式的条件。 活塞杆 p