初中二年级(八年级) 数学 (上) 华东师大版
初中二年级（八年级） 数 学 （上） 华东师大版
第十二章 数的开方
2 第 十二 章 数的开方
12.1平方根与立方根(1) 总第1课时 【教学目标】以实际问题的需要出发,引出平方根的概念,理解平方根的意义, 会求某些数的平方根。 【教学重、难点】:重点:了解平方根的概念,求某些非负数的平方根。 难点:平方根的意义 【教具应用】:老师:三角板、小黑板 学生 【教学过程】 提出问题,创设情境。 问题1、要剪出一块面积为25cm2的正方形纸片,纸片的边长应是多少? 问题2、已知圆的面积是16πcm2,求圆的半径长 要想解决这些问题,就来学习本节内容 、自学提纲: 1、你能解决上面两个问题吗?这两个问题的实质是什么? 2、看第2页,知道什么是一个数的平方根吗? 3、25的平方根只有5吗?为什么? 4、会求100的平方根吗?试一试 5、-4有平方根吗?为什么? 想一想,你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗? 8、什么叫开平方? 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果,老师点拔 ①情境中的两个问题的实质是已知某数的平方,要求这个数。 ②概括:如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根 如52=25,(-5 ∴25的平方根有两个:5和-5 ③根据平方根的意义,可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④任何数的平方都不等于-4,所以-4没有平方根。 ⑤0的平方等于0。所以0只有一个平方根为0。 ⑥概括:一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是 0本身;负数没有平方根 ⑦求一个数a(a≥0)的平方根的运算,叫做开平方。 四、知识应用 1、求下列各数的平方根 ①49②1.69③ ④(-0.2)2 2、将下列各数开平方 ①1②0.09③(-2)2
3 12.1 平方根与立方根（1） 总第 1 课时 【教学目标】：以实际问题的需要出发，引出平方根的概念，理解平方根的意义， 会求某些数的平方根。 【教学重、难点】：重点：了解平方根的概念，求某些非负数的平方根。 难点：平方根的意义 【教具应用】：老师：三角板、小黑板 学生： 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境。 问题 1、要剪出一块面积为 25cm²的正方形纸片，纸片的边长应是多少？ 问题 2、已知圆的面积是 16πcm²，求圆的半径长。 要想解决这些问题，就来学习本节内容 二、 自学提纲： 1、你能解决上面两个问题吗？这两个问题的实质是什么？ 2、看第 2 页，知道什么是一个数的平方根吗？ 3、25 的平方根只有 5 吗？为什么？ 4、会求 100 的平方根吗？试一试 5、－4 有平方根吗？为什么？ 6、想一想，你是用什么运算来检验或寻找一个数的平方根？ 7、根据平方根的定义你能指出正数、0、负数的平方根的特征吗？ 8、什么叫开平方？ 三、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，老师点拔 ① 情境中的两个问题的实质是已知某数的平方，要求这个数。 ② 概括：如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。 如 5²＝25，（－5）²＝25 ∴25 的平方根有两个：5 和－5 ③ 根据平方根的意义，可以利用平方来检验或寻找一个数的平方根。 ④ 任何数的平方都不等于－4，所以－4 没有平方根。 ⑤ 0 的平方等于 0。所以 0 只有一个平方根为 0。 ⑥ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0 有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根。 ⑦ 求一个数 a（a≥0）的平方根的运算，叫做开平方。 四、 知识应用 1、求下列各数的平方根 ① 49 ②1.69 ③ 81 16 ④（－0.2）² 2、将下列各数开平方 ①1 ②0.09 ③（－ 5 3 ）²
五、测评 1、说出下列各数的平方根 ①81②0.25③ 125 2、求未知数x的值 六、小结: 1、什么叫做平方根? 2、一个正数的平方根有几个?零的平根有几个?负数的平方根呢? 3、平方和开平方运算有什么区别和联系? 区别:①平方运算中,已知的是底数和指数,求的是幂。而在开平方运 算中,已知的是指数和幂,求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数,平方的结果是唯一的,在开 平方运算中,开方的数的结果不一定是唯一的。 联系:二者互为逆运算。 、布置作业 1、P,第1题 2、(选做)已知:x是49的平方根,y是1的平方根,求: ①2x+1 ②(x+y)2 【教后反思】 12.1平方根与立方根(2) 【教学目标】:1、引导学生建立清晰的概念系统,在学生正确理解平方根 概念的意义和平方根的表示方法基础上,讨论算术平方根的概念及其表示方 2、会用计算器求一个非负数的算术平方根 教学重、难点】:重点:了解数的算术平方根的概念,会用“√”表示 个数的平方根和算术平方根 难点:对√a的理解。特别是a的取值的理解 【教具应用】:教师:计算器、小黑板 学生:计算器 【教学过程】 提出问题,创设情境 1、在(-5)2,一52,52中,哪个有平方根?平方根是多少?哪个没有
4 五、 测评 1、说出下列各数的平方根 ①81 ②0.25 ③ 125 4 2、求未知数 x 的值 ①（3x）²＝16 ②（2x -1）²=9 六、 小结： 1、什么叫做平方根？ 2、一个正数的平方根有几个？零的平根有几个？负数的平方根呢？ 3、平方和开平方运算有什么区别和联系？ 区别：①平方运算中，已知的是底数和指数，求的是幂。而在开平方运 算中，已知的是指数和幂，求的是底。 ②平方运算中的底数可以是任意数，平方的结果是唯一的，在开 平方运算中，开方的数的结果不一定是唯一的。 联系：二者互为逆运算。 七、 布置作业 1、P 7 第 1 题 2、（选做）已知：x 是 49 的平方根，y 是 1 的平方根，求： ①2x+1 ②(x+y)² 【教后反思】 12.1 平方根与立方根（2） 【教学目标】：1、引导学生建立清晰的概念系统，在学生正确理解平方根 概念的意义和平方根的表示方法基础上，讨论算术平方根的概念及其表示方 法。 2、会用计算器求一个非负数的算术平方根 【教学重、难点】：重点：了解数的算术平方根的概念，会用“ ”表示 一个数的平方根和算术平方根。 难点：对 a 的理解。特别是 a 的取值的理解。 【教具应用】：教师：计算器、小黑板 学生：计算器 【教学过程】： 一、 提出问题，创设情境 1、在（－5）²，－5²，5²中，哪个有平方根？平方根是多少？哪个没有
平方根?为什么? 2、说出平方根的概念和性质 3、0.49的平方根怎样用符号表示呢?又有新的命名吗?带着这些问 题,走进我们今天的课堂。 自学提纲 1、9的平方根是 9的正的平方根是 9=3表示的 意义是什么? 2、什么样的数存在平方根?什么样的平方根是这个数的算术平方根?分 别用什么符号表示? 3、“√a”存在的条件是什么?“a”的结果是正数、0、还是负数? 4、√0=0正确吗? 5、√a2有意义吗?√(-a)2呢?√-a呢? 6、-√169的意义是什么?它等于什么 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果,教师点拔 1、概括:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根,记为√a,读作“a 的算术平方根”。另一个平方根是它的相反数,即一√a。因此正数a的平方根可 以记作±a,a称为被开方数。 注意:①这里的√a不仅表示开平方运算,而且表示正值的平方根。 ②这里“a”中有双“正”字,即被开方数为正,结果的值 为正 2、0的平方根也叫0的算术平方根,因此0的算术平方根是0。即√0 0。从以上可知:当a是正数或0时,√a表示a的算术平方根,其结果为非负数 3、Va2总有意义,、(-)也总有意义,但√-a存在有条件限制,即 a≥0,∴a≤0 四、知识应用 1、求100的算术平方根 2、求下列各数的平方根和算术平方根 ①36②2.89
5 平方根？为什么？ 2、说出平方根的概念和性质。 3、0.49 的平方根怎样用符号表示呢？又有新的命名吗？带着这些问 题，走进我们今天的课堂。 二、 自学提纲 1、9 的平方根是 ，9 的正的平方根是 ， 9 ＝3 表示的 意义是什么？ 2、什么样的数存在平方根？什么样的平方根是这个数的算术平方根？分 别用什么符号表示？ 3、“ a ”存在的条件是什么？ “ a ”的结果是正数、0、还是负数？ 4、 0 ＝0 正确吗？ 5、 2 a 有意义吗？ 2 (−a) 呢？ − a 呢？ 6、－ 169 的意义是什么？它等于什么 三 、 能力、知识、提高 同学们展示自学结果，教师点拔 1、概括：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记为 a ，读作“a 的算术平方根”。另一个平方根是它的相反数，即－ a 。因此正数 a 的平方根可 以记作± a ，a 称为被开方数。 注意：①这里的 a 不仅表示开平方运算，而且表示正值的平方根。 ②这里“ a ”中有双“正”字，即被开方数为正，结果的值 为正。 2、0 的平方根也叫 0 的算术平方根，因此 0 的算术平方根是 0。即 0 ＝ 0。从以上可知：当 a 是正数或 0 时， a 表示 a 的算术平方根，其结果为非负数。 3、 2 a 总有意义， 2 (−a) 也总有意义，但 − a 存在有条件限制，即 －a≥0，∴a≤0 四、知识应用 1、求 100 的算术平方根 2、求下列各数的平方根和算术平方根 ①36 ②2.89 ③ 9 7 1
3、求下列各式的值 ①√625 ②±4-2 4、用计算器求下列各数的算术平方根(看第4页的按键顺序) 1529②1225③44.81 五、测评问题 1、下列各式中叫些有意义?哪些无意义? /02 (0.3) 2、求下列各数的平方根和算术平方根 0.25 3、求下列各式的值,并说明它们各表示的意义 1000 -√144 ±√625 5、用计算器计算 ①√676 ②√278784③√4225(精确到0.01) 六、小结 ①如何表示一个正数的平方根?举例说明 ②什么叫做算术平方根? ③式子√x-1中的x应满足什么条件? 七、布置作业 1、P,3(1)4 2、(选做)若某数的平方根为2a+3和a-15,求这个数 若√x-3 0,求(x-y) 【教后反思】
6 3、求下列各式的值 ① 625 ②± 36 23 4 − 2 4、用计算器求下列各数的算术平方根（看第 4 页的按键顺序） ①529 ②1225 ③44.81 五、测评问题 1、下列各式中叫些有意义？哪些无意义？ - 0.3 − 0.3 2 − (0.3) 2 (−0.3) 2、求下列各数的平方根和算术平方根 121 0.25 400 256 1 3、求下列各式的值，并说明它们各表示的意义 1000 - 144 ± 625 0 5、用计算器计算 ① 676 ② 27.8784 ③ 4.225 （精确到 0.01） 六、小结 ①如何表示一个正数的平方根？举例说明 ②什么叫做算术平方根？ ③式子 x −1 中的 x 应满足什么条件？ 七、布置作业 1、P 7 3（1） 4 2、（选做）若某数的平方根为 2a+3 和 a-15，求这个数。 3、若 x − 3 + y − 4 =0，求（x-y） 2007 【教后反思】
平方根与立方根(3) 【教学目标】:1、了解立方根和开立方的概念 2、会用根号表示一个数的立方根,掌握开立方运算。 培养学生用类比思想求立方根的运算能力 4、会用计算器求一个数的立方根。 【教学重、难点】:重点:立方根的概念和性质 难点:会求一个数的立方根 【教具应用】:教师:计算器、小黑板 学生:计算器 【教学过程】 、提出问题,创设情境导课 问题:现有一只体积为216cm3正方体纸盒,它的每一条棱长是多少? 、自学提纲 1、类比平方根的概念,这个实际问题,能抽象出什么数学概念?在数 学上提出怎样的计算问题? 2、2的立方等于多少?是否有其它的数,它的立方也是8? 3、-3的立方等于多少?是否有其它的数,它的立方也是-27? 4、27的立方根是什么?-27的立方根呢?0的立方根呢? 5、类比平方根的性质,你能总结出立方根的性质吗? 6、什么叫开立方?开立方与是互逆运算。求一个数的立方根可以 通过 运算来求。 7、一个数的平方根和一个数的立方根,有什么相同点和不同点 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果,教师点拔 1、概括:如果一个数的立方根a,那么这个数叫做a的立方根,记 作√a,读作“三次根号a”a称为被开方数,3称根指数 2、立方根的性质:正数有一个立方根,是正数 负数有一个立方根,是负数 0有一个立方根,是0 3、平立根与立方根的区别和联系 联系:①0的平方根、立方根都是0 ②平方根、立方根都是开方的结果 区别:①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同,正数a的平方根为±√a,a的立方根 表示为a
7 12.1 平方根与立方根（3） 【教学目标】：1、了解立方根和开立方的概念。 2、会用根号表示一个数的立方根，掌握开立方运算。 3、培养学生用类比思想求立方根的运算能力。 4、会用计算器求一个数的立方根。 【教学重、难点】：重点：立方根的概念和性质 难点：会求一个数的立方根 【教具应用】：教师：计算器、小黑板 学生：计算器 【教学过程】 一、提出问题，创设情境导课 问题：现有一只体积为 216cm³正方体纸盒，它的每一条棱长是多少？ 二、自学提纲 1、 类比平方根的概念，这个实际问题，能抽象出什么数学概念？在数 学上提出怎样的计算问题？ 2、2 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是 8？ 3、－3 的立方等于多少？是否有其它的数，它的立方也是－27？ 4、27 的立方根是什么？－27 的立方根呢？0 的立方根呢？ 5、类比平方根的性质，你能总结出立方根的性质吗？ 6、什么叫开立方？开立方与 是互逆运算。求一个数的立方根可以 通过 运算来求。 7、一个数的平方根和一个数的立方根，有什么相同点和不同点？ 三、能力、知识、提高 同学们展示自学结果，教师点拔 1、概括：如果一个数的立方根 a，那么这个数叫做 a 的立方根，记 作 3 a ，读作“三次根号 a”a 称为被开方数，3 称根指数。 2、立方根的性质：正数有一个立方根，是正数 负数有一个立方根，是负数 0 有一个立方根，是 0 3、平立根与立方根的区别和联系 联系：①0 的平方根、立方根都是 0 ②平方根、立方根都是开方的结果。 区别：①定义不同 ②个数不同 ③表示方法不同，正数 a 的平方根为± a ，a 的立方根 表示为 3 a
④被开方数的取值范围不同 四、知识应用 1、求下列各数的立方根 125 ③-0.008 2、用计算器求下列各数的立方根(看P。的按键顺序) ①1331 ②-343 ③9.263 3、求下列各式的值 3 五、测评 1、求下列各数的立方根 ①512 ②-0.008 125 2、用计算器计算 ①v6859②17576③√5691(精确到0.01) 3、判断正误 ①-4没有立方根 ②1的立方根是±1 ③-5的立方根是一5④64的算术平方根是8 六、小结:1、立方根的定义、性质 2、完成下表 方根数正数 负数 平方根 立方根 七、布置作业:1、P,23(2) 2、立方根等于本身的数有 平方根等于本身的数有 √64的立方根是 3、x为何值时,√x-3+√3-x有意义? X为何值时,x-3+√3-x有意义? 【教后反思】
8 ④被开方数的取值范围不同 四、知识应用 1、求下列各数的立方根 ① 27 8 ②－125 ③－0.008 2、用计算器求下列各数的立方根（看 P 6 的按键顺序） ①1331 ②－343 ③9.263 3、求下列各式的值 ① 3 − 8 ② 3 0.064 ③（ 3 9 ）³ 五、测评 1、求下列各数的立方根 ①512 ②－0.008 ③－ 125 64 2、用计算器计算 ① 3 6859 ② 3 17.576 ③ 3 5.691 （精确到 0.01） 3、判断正误 ①－4 没有立方根 ②1 的立方根是±1 ③－5 的立方根是－ 3 5 ④64 的算术平方根是 8 六、小结：1、立方根的定义、性质 2、完成下表 七、布置作业：1、P 7 2 3（2） 2、立方根等于本身的数有 平方根等于本身的数有 － 64 的立方根是 3、x 为何值时， x − 3 ＋ 3 − x 有意义？ X 为何值时， 3 x − 3 ＋ 3 3 − x 有意义？ 【教后反思】
课题实数与数轴(1) 教学目标 1.了解无理数、实数的概念和实数的分类。 2.知道实数与数轴上的点一一对应。 教学重点 了解无理数、实数的概念和实数的分类。 教学难点: 正确理解无理数的意义 教具应用: 直尺、计算器。 教学过程: 教学导入 在小学的时候,我们就认识一个非常特殊的数,圆周率π,它约等于3.14, 你还能说出它后面的数字吗?比比看谁记得多。它是一个怎样的数? 1.自学提纲,看书P8-P9完成有理数的分类 2.把下列分数化成小数 你再任意举三个分数化成小数,可以发现任何一个分数写成小数形式,必须是 小数或小数 3.√2、π是分数吗?为什么? 4.什么是无理数?实数? 5.你能完成p9中的“试一试”吗? 6.如果将所有的有理数都标到数轴上,那么数轴能被添满吗? 如果将所有的实数都标到数轴上,那么数轴能被添满吗? 实数与数轴上的点是一一对应吗 展示与指导 通过让学生们回答上面的问题,知道分数都可化为有限小数或无限不循环 小数,而π、√2是无限不循环小数,故不是分数。 在此基础上总结出无理数概念 3.实数概念。 4.实数的分类。 整数 有理数 实数 分数 无理数 5.实数与数轴上的点的关系 四.测试
9 课题 实数与数轴(1) 教学目标： 1．了解无理数、实数的概念和实数的分类。 2．知道实数与数轴上的点一一对应。 教学重点： 了解无理数、实数的概念和实数的分类。 教学难点： 正确理解无理数的意义。 教具应用： 直尺、计算器。 教学过程： 一 教学导入 在小学的时候，我们就认识一个非常特殊的数，圆周率 π，它约等于 3.14， 你还能说出它后面的数字吗？比比看谁记得多。它是一个怎样的数？ 二 1．自学提纲，看书 P8-P9 完成有理数的分类。 2．把下列分数化成小数， 4 1 =___， 3 2 =___， 7 1 =___。 你再任意举三个分数化成小数，可以发现任何一个分数写成小数形式，必须是 ___小数或___小数。 3． 2 、π 是分数吗？为什么？ 4．什么是无理数？实数？ 5．你能完成 p9 中的“试一试”吗？ 6．如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 如果将所有的实数都标到数轴上，那么数轴能被添满吗？ 实数与数轴上的点是一一对应吗？ 三、 展示与指导 1．通过让学生们回答上面的问题，知道分数都可化为有限小数或无限不循环 小数，而 π、 2 是无限不循环小数，故不是分数。 2．在此基础上总结出无理数概念。 3．实数概念。 4．实数的分类。 整数 有理数 实数 分数 无理数 5．实数与数轴上的点的关系。 四．测试
1、把下列各数分别填入相应的数集里。 √7,√-27,0324371,05,-√036 4,√160.8080080008… 实数集 无理数集【 有理数集 分数集 负无理数集 2、下列各说法正确吗?请说明理由 (1)3.14是无理数 (2)无限小数都是无理数 (3)无理数都是无限小数 (4)带根号的数都是无理数 (5)无理数都是开方开不尽的数 (6)不循环小数都是无理数 五.小结 以上由学生回答,教师适时补充的方式,引导学生。 小结: 1.无理数、实数的区别。 2.有理数、实数的区别 3.实数与数轴的点是 对应的关系。 六.作业 (一)判断正误。 1.有理数与数轴上的点是 对应。 2.无理数与数轴上的点是一一对应。 3.有理数包括整数和小数 (二)提高题: (1).在下列数:-05,3,21,√,V,7,√36,0,√-125中 有理数有: 正数有 无理数有: 负数有: (2).在数轴上作出 √2 的对应点,如何作出√3的对应点呢? 教后反思
10 1、把下列各数分别填入相应的数集里。 - 3 1 π ， - 13 22 ， 7 ， 3 − 27 ， 0.324371, 0.5, - 0.36 , 3 9 , 4 9 2 , - 0.4 , 16 ,0.8080080008… 实数集﹛ …﹜ 无理数集﹛ …﹜ 有理数集﹛ …﹜ 分数集﹛ …﹜ 负无理数集﹛ …﹜ 2、下列各说法正确吗？请说明理由。 ⑴3.14 是无理数； ⑵无限小数都是无理数； ⑶无理数都是无限小数； ⑷带根号的数都是无理数； ⑸无理数都是开方开不尽的数； ⑹不循环小数都是无理数。 五．小结 以上由学生回答，教师适时补充的方式，引导学生。 小结： 1．无理数、实数的区别。 2．有理数、实数的区别。 3．实数与数轴的点是一 一 对应的关系。 六．作业 （一）判断正误。 1．有理数与数轴上的点是一 一 对应。 2．无理数与数轴上的点是一 一对应。 3．有理数包括整数和小数。 （二）提高题： （1）．在下列数：－0.5， π 3 − ，21， 5 ， 7 ， 22 7 ， 36 ，0， 3 −125 中 有理数有：_______________；正数有：_______________； 无理数有：_______________；负数有：_______________． （2）．在数轴上作出 − 2 的对应点，如何作出 3 的对应点呢？ 教后反思