第一章检测卷 时间:120分钟 满分:120分 题号 总分 得分 、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.每小题只有一个正确选项 在△ABC中,AB=2,BC=√3,AC=√,则△ABC的形状是( 锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形D.等腰直角三角形 2.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成 立的是() A.PA=PBB.PO平分∠APB C.AB垂直平分OPD.∠OBA=∠OAB B 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图,∥m,等边△ABC的顶点B在直线m上,边BC与直线m所夹锐角为 则 a的度数为() A.60°B.45°C.40°D.30° 4.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A= ∠ABE若AC=5,BC=3,则BD的长为D A.2.5B.1.5C.2D.1 5.如图,∠A=50°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数是() A.40°B.50°C.60°D.70 F B 第5题图 第6题图 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点, 两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G给出以下四个结论:①∠B ∠C=45°:②AE=CF;③△EPF是等腰直角三角形;④四边形AEPF的面积是△ABC面 积的一半,其中正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
第一章检测卷 时间：120 分钟 满分：120 分 题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、选择题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．每小题只有一个正确选项) 1．在△ABC 中，AB＝2，BC＝ 3，AC＝ 7，则△ABC 的形状是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B.下列结论中不一定成 立的是( ) A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．AB 垂直平分 OP D．∠OBA＝∠OAB 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 3．如图，l∥m，等边△ABC 的顶点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20°，则 ∠α的度数为( ) A．60° B．45° C．40° D．30° 4．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为 D，交 AC 于点 E，∠A＝ ∠ABE.若 AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为 D A．2.5 B．1.5 C．2 D．1 5．如图，∠A＝50°，点 O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，则∠BCO 的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 第 5 题图 第 6 题图 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点， 两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下四个结论：①∠B ＝∠C＝45°；②AE＝CF；③△EPF 是等腰直角三角形；④四边形 AEPF 的面积是△ABC 面 积的一半．其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分)
7.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是 这个逆命题是真命题. 8.如图,△ABC中,AC=BC,CD∥AB,若∠ECD=36°,则∠B= A E D 第8题图 第9题图 9.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的 面积是 10.如图,AB=AC,AD=AE,AF⊥BC于F,则图中全等的直角三角形有 A B 第10题图 第11题图 11.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10,AD是△ABC的一条角平分线.若CD= 3,则△ABD的面积为 12.在等腰三角形ABC中,AD⊥BC交直线BC于点D若AD=BC,则△ABC的顶角 的度数为 三、(本大题共5小题,每小题6分,共30分) 13.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,BD是∠ABC的平分线,求∠BDC的度 14.如图,在长方形ABCD中,点E在边AB上,点F在边BC上,且BE=CF,EF⊥DF, 求证:BF=CD A
7 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是 ____________________________________________，这个逆命题是真命题． 8．如图，△ABC 中，AC＝BC，CD∥AB，若∠ECD＝36°，则∠B＝________. 第 8 题图 第 9 题图 9．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的 面积是________. 10．如图，AB＝AC，AD＝AE，AF⊥BC 于 F，则图中全等的直角三角形有________对． 第 10 题图 第 11 题图 11．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AD 是△ABC 的一条角平分线．若 CD＝ 3，则△ABD 的面积为________． 12．在等腰三角形 ABC 中，AD⊥BC 交直线 BC 于点 D.若 AD＝ 1 2 BC，则△ABC 的顶角 的度数为______________． 三、(本大题共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分) 13．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，BD 是∠ABC 的平分线，求∠BDC 的度 数． 14．如图，在长方形 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，且 BE＝CF，EF⊥DF， 求证：BF＝CD
15.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E求证:直线AD 是线段CE的垂直平分线 B D C 16.如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为点D,DE∥AC求证:△BDE是等腰三 角形 C 17.如图,在△ABC中,AB=AC,直线l过点A,且直线∥BC,E,F是直线l上的 两点,AE=AF,请用无刻度的直尺作出BC边上的高AD E A F
15．如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于点 E.求证：直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线． 16．如图，AD 平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点 D，DE∥AC.求证：△BDE 是等腰三 角形． 17．如图，在△ABC 中，AB＝AC，直线 l 过点 A，且直线 l∥BC，E，F 是直线 l 上的 两点，AE＝AF，请用无刻度的直尺作出 BC 边上的高 AD
四、(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 18.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,三角形内有一点P到各边的距离 相等,PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,求PD的长 A EB C 19.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC 垂足分别为E,F (1)求证:△BED≌△CFD (2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长 20.如图,AD是△ABC的边BC上的高,∠B=60°,∠C=45°,AC=6 (1)求AD的长 (2)求△ABC的面积
四、(本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分) 18．如图，△ABC 中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点 P 到各边的距离 相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为 E，F，D，求 PD 的长． 19．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F. (1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC 的周长． 20．如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∠B＝60°，∠C＝45°，AC＝6. (1)求 AD 的长； (2)求△ABC 的面积．
五、(本大题共2小题,每小题9分,共18分) 21.如图,在△ABC中,∠BAC=106°,MP,MQ分别垂直平分AB,AC (1)当AB=AC时,∠1的度数为 (2)若AB≠AC,请问(1)中的结论还成立吗?请通过计算说明 N P 22.如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点 (1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论; (2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论 B
五、(本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分) 21．如图，在△ABC 中，∠BAC＝106°，MP，NQ 分别垂直平分 AB，AC. (1)当 AB＝AC 时，∠1 的度数为________； (2)若 AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明． 22．如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上的点． (1)若 AD＝BE＝CF，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； (2)若△DEF 是等边三角形，问 AD＝BE＝CF 成立吗？试证明你的结论．
六、(本大题共12分) 23.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴上 一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ (1)求点B的坐标 (2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小;如改 变,请说明理由 (3)连接OQ,当OQ∥AB时,求P点的坐标 B O 备用图
六、(本大题共 12 分) 23．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，2)，△AOB 为等边三角形，P 是 x 轴上 一个动点(不与原点 O 重合)，以线段 AP 为一边在其右侧作等边三角形△APQ. (1)求点 B 的坐标； (2)在点 P 的运动过程中，∠ABQ 的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改 变，请说明理由； (3)连接 OQ，当 OQ∥AB 时，求 P 点的坐标．
参考答案与解析 B 2C 3.C 4D 5.A解析:连接OA,OB.∴∠BAC=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°∵O是AB,AC 垂直平分线的交点,∴OA=OB,OA=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,OB=OC ∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OC=50°,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠OBA +∠OCA)=130°-50°=80°∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO=40°故选A A E B 6.D解析:∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=×(180°-90°)=45°, ∴①正确:∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,∴AP⊥BC,AP BC=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠C.∠APF+∠FPC=90°,∠APF+∠APE=90°, ∠EAP=∠C, ∴∠FPC=∠EPA在△APE和△CPF中,AP=CP ∴△APE≌△CPF(ASA) ∠EPA=∠FPC, CF,∴②正确;由△APE≌△CPF可得PE=PF∵∠EPF=90°,∴△EPF是等腰直角三 角形,∴③正确;∵△APE≌△CPF,∴S△APE=S△CPF:∵BP=CP,∴S△APC=S△ABC,∴S四 形AEPF=SpE+S△=SacF+S△P=S△PC=2SBC,④正确:即正确的有4个·故选 7.如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形真 8.36°97610.211.15 12.30°或150°或90°解析:若BC为腰,∵AD⊥BC于点D,AD 30°如图①,AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°,如图②,AD在△ABC外部时,顶角∠ACB 180°—30°=150°;若BC为底,如图∵AD⊥BC于点D,AD=BC,∴:AD=BD=CD, ∴∠B=∠BAD,∠C=∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°,∴顶角∠BAC=90°综 上所述,等腰三角形ABC的顶角度数为30°或150°或90°故答案为30°或150°或90° C B 图① 图② 图③
参考答案与解析 1．B 2.C 3.C 4.D 5．A 解析：连接 OA，OB.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠OBA ＋∠OCA)＝130°－50°＝80°.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝40°.故选 A. 6．D 解析：∵△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝ 1 2 ×(180°－90°)＝45°， ∴①正确；∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，∴AP⊥BC，AP ＝ 1 2 BC＝PC，∠BAP＝∠CAP＝45°＝∠C.∵∠APF＋∠FPC＝90°，∠APF＋∠APE＝90°， ∴∠FPC＝∠EPA.在△APE 和△CPF 中， ∠EAP＝∠C， AP＝CP， ∠EPA＝∠FPC， ∴△APE≌△CPF(ASA)，∴AE ＝CF，∴②正确；由△APE≌△CPF 可得 PE＝PF.∵∠EPF＝90°，∴△EPF 是等腰直角三 角形，∴③正确；∵△APE≌△CPF，∴S△APE＝S△CPF.∵BP＝CP，∴S△APC＝ 1 2 S△ABC，∴S 四 边形 AEPF＝S△APE＋S△APF＝S△CPF＋S△APF＝S△APC＝ 1 2 S△ABC，∴④正确；即正确的有 4 个．故选 D. 7．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 8．36° 9.76 10.2 11.15 12．30°或 150°或 90° 解析：若 BC 为腰，∵AD⊥BC 于点 D，AD＝ 1 2 BC，∴∠ACD＝ 30°.如图①，AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°，如图②，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°；若 BC 为底，如图③.∵AD⊥BC 于点 D，AD＝ 1 2 BC，∴AD＝BD＝CD， ∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝ 1 2 ×180°＝90°，∴顶角∠BAC＝90°.综 上所述，等腰三角形 ABC 的顶角度数为 30°或 150°或 90°.故答案为 30°或 150°或 90°
13.解:∵AB=AC,∠A=40°,∴∠ABC=∠C 70°(2分)∵BD是∠ABC 的平分线,∴∠DBC=∠ABC=35°,(4分)∴∠BDC=180°-∠DBC-∠C=75°(6分) 14.证明:∵四边形ABCD是长方形,∴∠B=∠C=90°(1分)∵EF⊥DF,∴∠EFD 90°,∴∠EFB+∠CFD=90°.又∵∠EFB+∠BEF=90°,∴∠BEF=∠CFD(3分)在△BEF ∠BEF=∠CFD, 和△CFD中,{BE=CF, △BEF≌△CFD(ASA),(5分)…∴BF=CD(6分) ∠B=∠C 15.证明:∵DE⊥AB,∴∠DEA=∠ACB=90°∴AD平分∠BAC,∴DE=CD(2分) 又∵AD=AD,∴Rt△AED≌Rt△ACD,∴AE=AC(4分)∵点A,D都在直线AD上,且它 们到点C,E的距离相等,∴直线AD是线段CE的垂直平分线,(6分) 16.证明:∵DE∥AC,∴∠1=∠3(1分)∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3(3 分)∵AD⊥BD 2+∠B=90°,∠3+∠BDE=90°,∴∠B=∠BDE,∴△BDE是等腰 三角形.(6分) A C 17.解:如图所示,AD即为所求.(6分) D 18.解:连接AP,BP,CP.设PE=PF=PD=x∵在△ABC中,∠ABC=90°, C=2,:C=+BC=3,(4分1m=1B(B=8465分)又:Sm=BPE ACPD+BCPF=B+BC+AOx=×56x=28x,∴28x=84,解得x=3.故PD的长为 3(8分) 19.(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∴DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90°∵D 是BC的中点,∴BD=CD(3分)在△BED与△CFD中,∠DEB=∠DFC,∠B=∠C,BD =CD,∴△BED≌△CFD(AAS).(4分) (2)解:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠B=60°(5 分)又∵DE⊥AB,∴∠EDB=30°在R△BED中,BD=2BE=2,∴BC=2BD=4,(7
13．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠C＝ 180－∠A 2 ＝70°.(2 分)∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC＝ 1 2 ∠ABC＝35°，(4 分)∴∠BDC＝180°－∠DBC－∠C＝75°.(6 分) 14．证明：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠B＝∠C＝90°.(1 分)∵EF⊥DF，∴∠EFD ＝90°，∴∠EFB＋∠CFD＝90°.又∵∠EFB＋∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD.(3 分)在△BEF 和△CFD 中， ∠BEF＝∠CFD， BE＝CF， ∠B＝∠C， ∴△BEF≌△CFD(ASA)，(5 分)∴BF＝CD.(6 分) 15．证明：∵DE⊥AB，∴∠DEA＝∠ACB＝90°.∵AD 平分∠BAC，∴DE＝CD.(2 分) 又∵AD＝AD，∴Rt△AED≌Rt△ACD，∴AE＝AC.(4 分)∵点 A，D 都在直线 AD 上，且它 们到点 C，E 的距离相等，∴直线 AD 是线段 CE 的垂直平分线．(6 分) 16．证明：∵DE∥AC，∴∠1＝∠3.(1 分)∵AD 平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.(3 分)∵AD⊥BD，∴∠2＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴△BDE 是等腰 三角形．(6 分) 17．解：如图所示，AD 即为所求．(6 分) 18．解：连接 AP，BP，CP.设 PE＝PF＝PD＝x.∵在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝7， BC＝24，∴AC＝ AB2＋BC2＝25，(4 分)S△ABC＝ 1 2 AB·CB＝84.(5 分)又∵S△ABC＝ 1 2 AB·PE＋ 1 2 AC·PD＋ 1 2 BC·PF＝ 1 2 (AB＋BC＋AC)·x＝ 1 2 ×56x＝28x，∴28x＝84，解得 x＝3.故 PD 的长为 3.(8 分) 19．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.(3 分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD ＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(4 分) (2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(5 分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°.在 Rt△BED 中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(7
分)∴△ABC的周长为AB+BC+CD=3BC=12(8分) 20.解:(1)∵∠C=45°,AD是△ABC的边BC上的高,∴∠DAC=45°,∴AD=CD(2 分)∵AC=AD2+CD,∴62=2ADP,∴AD=32(4分) (2)在R△ADB中,∵∠B=60°,∴∠BAD=30°,∴AB=2BD(5分)∵AB2=BD2+AD, 2=BD+AD,.∴BD=6分):△ABC的面积为2CAD=2BD+DCAD= (V6+32)×32=9+33(8分) 21.解:(1)32°(4分) (2)成立.(5分理由如下:∵∠BAC=106°,∴∠ABP+∠ACQ=180°-106°=74°∵MP NQ分别垂直平分AB和AC,∴PB=PA,QC=QA,∴∠PAB=∠ABP,∠QAC=∠ACQ, (7分)∴∠PAB+∠QAC=∠ABP+∠ACO=74°,∴∠1=∠BAC-(∠PAB+∠Q4C)=106° 74°=32°(9分) 22.解:(1)△DEF是等边三角形.(1分)证明如下:∵△ABC是等边三角形 ∠B=∠C,AB=BC=CA.又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA,∴△ADF≌△BED≌△CFE, DF=ED=FE,(3分)∴△DEF是等边三角形.(4分) (2)AD=BE=CF成立,(5分)证明如下:如图,∵△DEF是等边三角形,DE=EF FD,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°,∴∠1+∠2=120°(7分)∵△ABC是等边三角形,∴∠A ∠B=∠C=60°,∴∠2+∠3=120°,∴∠1=∠3.同理∠3=∠4,易证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS),∴AD=BE=CF(9分) 23解:(1)如图①,过点B作BC⊥x轴于点C∴△AOB为等边三角形,且OA=2,∴∠AOB 60°,OB=OA=2,∴∠BOC=30°(2分)又∵∠OCB=90°,:BC=OB=1,OC=√, ∴点B的坐标为(√3,1).(4分) B B C 图① 图② (2)∠ABQ=90°,始终不变.(5分)理由如下:∵△APQ,△AOB均为等边三角形,∴AP AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB PAO=∠Q4B、6分)在△APO与△AQB中, AP=AQ ∠PAO=∠QAB,∴△APO≌△AQB(SAS),∴∠ABQ=∠AOP=90°(8分) A0=AB
分)∴△ABC 的周长为 AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(8 分) 20．解：(1)∵∠C＝45°，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，∴∠DAC＝45°，∴AD＝CD.(2 分)∵AC2＝AD2＋CD2，∴6 2＝2AD2，∴AD＝3 2.(4 分) (2)在 Rt△ADB 中，∵∠B＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD.(5 分)∵AB2＝BD2＋AD2， ∴(2BD) 2＝BD2＋AD2，∴BD＝ 6.(6 分)∴△ABC 的面积为1 2 BC·AD＝ 1 2 (BD＋DC)·AD＝ 1 2 ×( 6＋3 2)×3 2＝9＋3 3.(8 分) 21．解：(1)32°(4 分) (2)成立．(5 分)理由如下：∵∠BAC＝106°，∴∠ABP＋∠ACQ＝180°－106°＝74°.∵MP， NQ 分别垂直平分 AB 和 AC，∴PB＝PA，QC＝QA，∴∠PAB＝∠ABP，∠QAC＝∠ACQ， (7 分)∴∠PAB＋∠QAC＝∠ABP＋∠ACQ＝74°，∴∠1＝∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)＝106° －74°＝32°.(9 分) 22．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1 分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝ ∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA，∴△ADF≌△BED≌△CFE， ∴DF＝ED＝FE，(3 分)∴△DEF 是等边三角形．(4 分) (2)AD＝BE＝CF 成立．(5 分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝EF＝ FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°，∴∠1＋∠2＝120°.(7 分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60°， ∴ ∠ 2 ＋ ∠3 ＝ 120°， ∴∠1 ＝ ∠3. 同 理 ∠3 ＝ ∠4 ，易证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(9 分) 23．解：(1)如图①，过点B 作BC⊥x轴于点C.∵△AOB 为等边三角形，且OA＝2，∴∠AOB ＝60°，OB＝OA＝2，∴∠BOC＝30°.(2 分)又∵∠OCB＝90°，∴BC＝ 1 2 OB＝1，OC＝ 3， ∴点 B 的坐标为( 3，1)．(4 分) (2)∠ABQ＝90°，始终不变．(5 分)理由如下：∵△APQ，△AOB 均为等边三角形，∴AP ＝AQ，AO＝AB ，∠PAQ＝∠OAB ，∴∠PAO＝∠QAB.(6 分) 在△APO 与△AQB 中， AP＝AQ， ∠PAO＝∠QAB， AO＝AB， ∴△APO≌△AQB(SAS)，∴∠ABQ＝∠AOP＝90°.(8 分)
(3)当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,如图②∴AB∥OQ,∠ABQ=90°, ∴∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=609又∵OB=OA=2,∴BQ=V3,(10分)由(2)可知, △APO≌△AQB,∴OP=BQ=√3,∴此时点P的坐标为(一√3,0).(12分)
(3)当点 P 在 x 轴负半轴上时，点 Q 在点 B 的下方，如图②.∵AB∥OQ，∠ABQ＝90°， ∴∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°.又∵OB＝OA＝2，∴BQ＝ 3，(10 分)由(2)可知， △APO≌△AQB，∴OP＝BQ＝ 3，∴此时点 P 的坐标为(－ 3，0)．(12 分)