解题技巧专题:共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式,快速解题 ◆类型一共顶点的等腰直角三角形 1.如图,已知△ABC和△DBE均为等腰直角三角形 (1)求证:AD=CE; (2)猜想:AD和CE是否垂直?若垂直,请说明理由:若不垂直,则只要写出结论,不 用写理由 D C 2.如图,在△ABC和△BCD中,∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,延长CA 至点E,使AE=AC,延长CB至点F,使BF=BC连接BD,AD,AF,DF,EF延长DB 交EF于点N求证 (1)4F=AD; (2)EF=BD ◆类型二共顶点的等边三角形
解题技巧专题：共顶点的等腰三角形 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 共顶点的等腰直角三角形 1．如图，已知△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形． (1)求证：AD＝CE； (2)猜想：AD 和 CE 是否垂直？若垂直，请说明理由；若不垂直，则只要写出结论，不 用写理由． 2．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD，延长 CA 至点 E，使 AE＝AC，延长 CB 至点 F，使 BF＝BC.连接 BD，AD，AF，DF，EF.延长 DB 交 EF 于点 N.求证： (1)AF＝AD； (2)EF＝BD. ◆类型二 共顶点的等边三角形
3.如图,△APB与△CDP是两个全等的等边三角形,且PA⊥PD,有下列四个结论 ①∠PBC=15°;②AD∥BC;③直线PC与AB垂直.其中正确的有() A.0个B.1个C.2个D.3个 E C A 第3题图 第4题图 4.如图,在△ABC中,分别以AC,BC为边作等边三角形ACD和等边三角形BCE, 连接AE,BD,交于点O,则∠AOB的度数为 5.如图①,等边△ABC中,D是AB边上的动点,以CD为一边,向上作等边△EDC, 连接AE (1)△DBC和△EAC全等吗?请说明理由: (2)试说明AE∥BC的理由 (3)如图②,将(1)中动点D运动到边BA的延长线上,其他条件不变,请问是否仍有 AE∥BC?证明你的猜想 E 图①
3．如图，△APB 与△CDP 是两个全等的等边三角形，且 PA⊥PD，有下列四个结论： ①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线 PC 与 AB 垂直．其中正确的有( ) A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，在△ABC 中，分别以 AC，BC 为边作等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE， 连接 AE，BD，交于点 O，则∠AOB 的度数为________． 5．如图①，等边△ABC 中，D 是 AB 边上的动点，以 CD 为一边，向上作等边△EDC， 连接 AE. (1)△DBC 和△EAC 全等吗？请说明理由； (2)试说明 AE∥BC 的理由； (3)如图②，将(1)中动点 D 运动到边 BA 的延长线上，其他条件不变，请问是否仍有 AE∥BC？证明你的猜想．
参考答案与解析 1.(1)证明:∵△ABC和△DBE均为等腰直角三角形,∴AB=BC,BD=BE,∠ABC ∠DBE=90°,∴∠ABC一∠DBC=∠DBE一∠DBC,即∠ABD=∠CBE, ∴△ABD≌△CBE,∵AD=CE (2)解:垂直.理由如下:延长AD分别交BC和CE于G和F:由(1)知△ABD≌△CBE, ∴∠BAD=∠BCE.∴∠BAD+∠ABC+∠BGA=∠BCE+∠AFC+∠CGF=180°,∠BGA ∠CGF,∴∠AFC=∠ABC=90°,∴AD⊥CE. 2.证明:(1)∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠ABC=∠ACB=45°,∴∠ABF=180°-∠ABC 135°,∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°,∴∠ABF=∠ACD.∵CB=CD,CB=BF,∴BF =CD,∴△ABF≌△ACD(SAS),∴AF=AD (2)由(1)知△ABF≌△ACD,AF=AD,∴∠FAB=∠DAC∴∠BAC=∠BAD+∠DAC= 90°,∠EAB=∠EAF+∠EAB=90,∴∠EAF=∠BAD.∵AE=AC,AB=AC,∴AE=AB ∴△AEF≌△ ABD(SAS),∴EF=BD 4.120°解析:设AC与BD交于点H△ACD,△BCE都是等边三角形,∴CD=CA CB=CE,∠ACD=∠BCE=60°,∴∠ACD+∠ACB=∠BCE+∠ACB,即∠DCB=∠ACE ∴△DCB≌△ACE,∠CDB=∠CAE.∵∠DCH+∠CHD+∠BDC=180°,∠AOH+∠AHO ∠CAE=180°,∠DHC=∠OHA,∴∠AOH=∠DCH=60°,∴∠AOB=180°—∠AOH= 120 5.解:(1)△DBC和△EAC全等.理由如下:∵△ABC和△EDC都是等边三角形,∴AC BC,DC=EC,∠ACB=60°,∠DCE=60°,∴∠BCD=60°-∠ACD,∠ACE=60°-∠ACD, ∠BCD=∠ACE在△DBC和△EAC中,∵∠BCD=∠ACE ∴△DBC≌△ EAC(SAS) (2)由(1)知△DBC≌△EAC,∴∠EAC=∠B=60°.又∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB, ∵.AE∥BC (3)仍有AE∥BC证明如下:∵△ABC,△EDC为等边三角形,∴BC=AC,DC=CE, ∠BCA=∠DCE=60°,∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD,即∠BCD=∠ACE在△DBC 和△EAC中,∵{∠BCD=∠ACE,∴△DBC≌△EAC(SAS),∴∠EAC=∠B=60.又 CD=CE ∵∠ACB=60°,∴∠EAC=∠ACB,∴AE∥BC
参考答案与解析 1．(1)证明：∵△ABC 和△DBE 均为等腰直角三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC ＝ ∠DBE ＝ 90°， ∴∠ABC － ∠DBC ＝ ∠DBE － ∠DBC ， 即 ∠ABD ＝ ∠CBE ， ∴△ABD≌△CBE，∴AD＝CE. (2)解：垂直．理由如下：延长 AD 分别交 BC 和 CE 于 G 和 F.由(1)知△ABD≌△CBE， ∴∠BAD＝∠BCE.∵∠BAD＋∠ABC＋∠BGA＝∠BCE＋∠AFC＋∠CGF＝180°，∠BGA＝ ∠CGF，∴∠AFC＝∠ABC＝90°，∴AD⊥CE. 2．证明：(1)∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABF＝180°－∠ABC ＝135°，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF＝∠ACD.∵CB＝CD，CB＝BF，∴BF ＝CD，∴△ABF≌△ACD(SAS)，∴AF＝AD. (2)由(1)知△ABF≌△ACD，AF＝AD，∴∠FAB＝∠DAC.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝ 90°，∠EAB＝∠EAF＋∠FAB＝90°，∴∠EAF＝∠BAD.∵AE＝AC，AB＝AC，∴AE＝AB， ∴△AEF≌△ABD(SAS)，∴EF＝BD. 3．D 4．120° 解析：设 AC 与 BD 交于点 H.∵△ACD，△BCE 都是等边三角形，∴CD＝CA， CB＝CE，∠ACD＝∠BCE＝60°，∴∠ACD＋∠ACB＝∠BCE＋∠ACB，即∠DCB＝∠ACE， ∴△DCB≌△ACE，∴∠CDB＝∠CAE.∵∠DCH＋∠CHD＋∠BDC＝180°，∠AOH＋∠AHO ＋∠CAE＝180°，∠DHC＝∠OHA，∴∠AOH＝∠DCH＝60°，∴∠AOB＝180°－∠AOH＝ 120°. 5．解：(1)△DBC 和△EAC 全等．理由如下：∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，∴AC ＝BC，DC＝EC，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD， ∴∠BCD＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，∵ BC＝AC， ∠BCD＝∠ACE， DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC(SAS)． (2)由(1)知△DBC≌△EAC，∴∠EAC＝∠B＝60°.又∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB， ∴AE∥BC. (3)仍有 AE∥BC.证明如下：∵△ABC，△EDC 为等边三角形，∴BC＝AC，DC＝CE， ∠BCA＝∠DCE＝60°，∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠BCD＝∠ACE.在△DBC 和△EAC 中，∵ BC＝AC， ∠BCD＝∠ACE， CD＝CE， ∴△DBC≌△EAC(SAS) ，∴∠EAC＝∠B ＝60°. 又 ∵∠ACB＝60°，∴∠EAC＝∠ACB，∴AE∥BC