解题技巧专题:等腰三角形中辅助线的作法 -形成精准思维模式,快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1.如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BE于点E,且∠ABE=∠ABC若BE=2,则BC E 2.如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E、F分别是AB、AC上的点,且 AE=AF求证:DE=DF. 构造等腰三角形 3.如图,在△ABC中,BP平分∠BAC,且AP⊥BP于点P,连接CP若△PBC的面积 为2,则△ABC的面积为( C 4.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点 CE⊥BD,交BD的延长线于点E求证:BD=2CE A D E ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE⊥BE 于点 E，且∠ABE＝∠ABC.若 BE＝2，则 BC ＝________. 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 是 BC 的中点，E、F 分别是 AB、AC 上的点，且 AE＝AF.求证：DE＝DF. 二、构造等腰三角形 3．如图，在△ABC 中，BP 平分∠BAC，且 AP⊥BP 于点 P，连接 CP.若△PBC 的面积 为 2，则△ABC 的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， CE⊥BD，交 BD 的延长线于点 E.求证：BD＝2CE. ◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
5.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分 别在AC,BC上.求证:DE=DF B ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于点D求证:BC AB+cD 7.如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q为BC延长线上一点, 且PA=CQ,连接PQ交AC于点D (1)求证:PD=DQ; (2)若△ABC的边长为1,求DE的长.【方法8】 A
5．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DF，点 E，F 分 别在 AC，BC 上．求证：DE＝DF. ◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.求证：BC ＝AB＋CD. 7．如图，过等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点， 且 PA＝CQ，连接 PQ 交 AC 于点 D. (1)求证：PD＝DQ； (2)若△ABC 的边长为 1，求 DE 的长．【方法 8】
参考答案与解析 2.证明:连接AD∵AB=AC,D是BC的中点,∴∠EAD=∠FAD在△AED和△AFD AE=AF, 中,{∠EAD=∠EAD,∴△AED≌△AFD,∴DE=DF AD=AD 3.B 4.证明:如图,延长BA和CE交于点M∵CE⊥BD,∴∠BEC=∠BEM=90°∵BD 平分∠ABC,∴∠MBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴△MBE≌△CBE,∴EM=EC=1 MC∴△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠MAC=90°,BA=AC,∴∠ABD+∠BDA= 90°∵∠BEC=90°,∴∠ACM+∠CDE=90°∵∠BDA=∠EDC,∴∠ABE=∠ACM又∵AB AC,∴△ABD≌△ ACM(ASA),∴DB=MC,∴BD=2CE B A 5.证明:连接CDAC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,∴CD平分∠ACB,CD⊥AB, CDB=90°,∴∠BCD=∠ACD=45°,∠B=∠C=45°,∴∠ACD=∠B=∠BCD,∴CD BD∴ED⊥DF,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°又∵∴∠CDF+∠BDF=90°,∴∠EDC ∠FDB,∴△ECD≌△FBD,∴DE=DF D E 6.证明:如图,在线段BC上截取BE=BA,连接DE∴∵BD平分∠ABC,∴∠ABD= ∠EBD又∵BD=BD,∴△ABD≌△ EBD(SAS),∴∠BED=∠A=108°,∴∠CED=180 ∠BED=72.又:AB=AC,∠A=10,∴,∠ACB=∠ABC=1×(180-108)=36°,∴∠CDE =180°—∠ACB-∠CED=180°-36°-729=72°∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,∴BC BE+EC=AB+CD (1)证明:过点P作PF∥BC交AC于点F,∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD ∠QCD∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=60°,∴∠AFP=60°,∴△APF是等边 三角形,∴PF=PA=CQ,∴△PFD≌△QCD,∴PD=DQ (2)解:由(1)知△APF是等边三角形,∵PE⊥AC,∴AE=EF由(1)知△PFD≌△QCD, DF=CD,∴DE=EF+DF=AF+CF=AC.又∵AC=1,∴DE
参考答案与解析 1．4 2．证明：连接 AD.∵AB＝AC，D 是 BC 的中点，∴∠EAD＝∠FAD.在△AED 和△AFD 中， AE＝AF， ∠EAD＝∠FAD， AD＝AD， ∴△AED≌△AFD，∴DE＝DF. 3．B 4．证明：如图，延长 BA 和 CE 交于点 M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平 分 ∠ABC， ∴∠MBE ＝ ∠CBE. 又 ∵BE ＝BE ， ∴△MBE≌△ CBE ， ∴EM ＝ EC＝ 1 2 MC.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝ 90°.∵∠BEC＝90°，∴∠ACM＋∠CDE＝90°.∵∠BDA＝∠EDC，∴∠ABE＝∠ACM.又∵AB ＝AC，∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE. 5．证明：连接 CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF. 6．证明：如图，在线段 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝ ∠EBD.又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－ ∠BED＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝ 1 2 ×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE ＝180°－∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝ BE＋EC＝AB＋CD. 7．(1)证明：过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC 为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF 是等边 三角形，∴PF＝PA＝CQ，∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ. (2)解：由(1)知△APF 是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF.由(1)知△PFD≌△QCD， ∴DF＝CD，∴DE＝EF＋DF＝ 1 2 AF＋ 1 2 CF＝ 1 2 AC.又∵AC＝1，∴DE＝ 1 2
