解题技巧专题:等腰三角形中辅助线的作法 -形成精准思维模式,快速解题 ◆类型一利用“三线合一”作辅助线 、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1.如图,在△ABC中,AB=AC,AE⊥BE于点E,且∠ABE=∠ABC若BE=1,则BC 的长为 A 2.如图,在△ABC中,AC=2AB,AD平分∠BAC交BC于点D,E是AD上一点,且 EA=EC,连接EB,求证:EB⊥AB 、构造等腰三角形 3.如图,在△ABC中,BP平分∠BAC,且AP⊥BP于点P,连接CP若△PBC的面积 为2,则△ABC的面积为() B C 4.如图,已知△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D, CE⊥BD,交BD的延长线于点E求证:BD=2CE B ◆类型二巧用等腰直角三角形构造全等
解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 ——形成精准思维模式，快速解题 ◆类型一 利用“三线合一”作辅助线 一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线) 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，AE⊥BE 于点 E，且∠ABE＝∠ABC.若 BE＝1，则 BC 的长为________． 2．如图，在△ABC 中，AC＝2AB，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 是 AD 上一点，且 EA＝EC，连接 EB，求证：EB⊥AB. 二、构造等腰三角形 3．如图，在△ABC 中，BP 平分∠BAC，且 AP⊥BP 于点 P，连接 CP.若△PBC 的面积 为 2，则△ABC 的面积为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A＝90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D， CE⊥BD，交 BD 的延长线于点 E.求证：BD＝2CE. ◆类型二 巧用等腰直角三角形构造全等
5.如图,在△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,DE⊥DF,点E,F分 别在AC,BC上.求证:DE=DF B ◆类型三等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6.(2017·郑州校级月考)如图,过等边△ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于点E,Q 为BC延长线上一点,且PA=CQ,连接PQ交AC于点D若△ABC的边长为6,则DE的长 为【方法8】() E B.3 D.不能确定 7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC交AC于点D求证:BC aB+CD
5．如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，DE⊥DF，点 E，F 分 别在 AC，BC 上．求证：DE＝DF. ◆类型三 等腰(边)三角形中截长补短或作平行线构造全等 6．(2017·郑州校级月考)如图，过等边△ABC 的边 AB 上一点 P，作 PE⊥AC 于点 E，Q 为 BC 延长线上一点，且 PA＝CQ，连接 PQ 交 AC 于点 D.若△ABC 的边长为 6，则 DE 的长 为【方法 8】( ) A．2 B．3 C．4 D．不能确定 7．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝108°，BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.求证：BC ＝AB＋CD
参考答案与解析 2.证明:过点E作EF⊥AC于点F∵EA=EC,∴:AF=FC=14C∵AC=24B,:AF =AB.∵∴AD平分∠BAC,∴∠BAE=∠FAE又∵AE=AE,∴△ABE≌△AFE(SAS),∴∠ABE ∠AFE=90°,∴EB⊥AB 3.B 4.证明:延长BA和CE交于点M∵CE⊥BD,∠BEC=∠BEM=90°∵BD平分∠ABC, ∴∠MBE=∠CBE.又∵BE=BE,∴△MBE≌△CBE,∴EM=EC=MC∴∵△ABC是等腰直 角三角形,∴∠BAC=∠MAC=90°,BA=AC,∴∠ABD+∠BDA=90°.∵∠BEC=90°, ∴∠ACM+∠CDE=90°∵∠BDA=∠EDC,∴∠ABE=∠ACM又∵AB=AC, ∴△ABD≌△ ICM(ASA),∴DB=MC,∴BD=2CE 5.证明:连接CD∵AC=BC,∠C=90°,D是AB的中点,∴CD平分∠ACB,CD⊥AB, ∠CDB=90°,∴∠BCD=∠ACD=45°,∠B=∠C=45°,∴∠ACD=∠B=∠BCD,∴CD =BD.ED⊥DF,∴∠EDF=∠EDC+∠CDF=90°又∵∠CDF+∠BDF=90°,∴∠EDC ∠FDB,∴△ECD≌△FBD,∴DE=DF. 6.B解析:过点P作PF∥BC交AC于点F,∴∠AFP=∠ACB,∠FPD=∠Q,∠PFD ∠QCD.∴△ABC为等边三角形,∴∠A=∠ACB=60,∴∠AFP=60°,∴△APF是等边 三角形.∴PA=PF.又:P=CQ,∴PF=QC,∴△PFD≌△QCD,∴DF=CD∵PE⊥AC, ∴AE=EF,∴DE=EF+DF=AF+CF=AC.又∵AC=6,∴DE=3 7.证明:在线段BC上截取BE=BA,连接DE∴BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠EBD 又∵BD=BD,∴△ABD≌△ EBDSAS),∴∠BED=∠A=108°,∴∠CED=180°-∠BED 72°.又∵AB=AC,∠A=108°,∴∠ACB=∠ABC=×(180°-108°)=36°,∴∠CDE=1809 ∠ACB-∠CED=180°-36°-72°=72°∴∠CDE=∠DEC,∴CD=CE,∴BC=BE+EC AB+CD
参考答案与解析 1．2 2．证明：过点 E 作 EF⊥AC 于点 F.∵EA＝EC，∴AF＝FC＝ 1 2 AC.∵AC＝2AB，∴AF ＝AB.∵AD 平分∠BAC，∴∠BAE＝∠FAE.又∵AE＝AE，∴△ABE≌△AFE(SAS)，∴∠ABE ＝∠AFE＝90°，∴EB⊥AB. 3．B 4．证明：延长 BA 和 CE 交于点M.∵CE⊥BD，∴∠BEC＝∠BEM＝90°.∵BD 平分∠ABC， ∴∠MBE＝∠CBE.又∵BE＝BE，∴△MBE≌△CBE，∴EM＝EC＝ 1 2 MC.∵△ABC 是等腰直 角三角形，∴∠BAC＝∠MAC＝90°，BA＝AC，∴∠ABD＋∠BDA＝90°.∵∠BEC＝90°， ∴∠ACM ＋ ∠CDE ＝ 90°.∵∠BDA ＝ ∠EDC ， ∴∠ABE ＝ ∠ACM. 又 ∵AB ＝ AC ， ∴△ABD≌△ACM(ASA)，∴DB＝MC，∴BD＝2CE. 5．证明：连接 CD.∵AC＝BC，∠C＝90°，D 是 AB 的中点，∴CD 平分∠ACB，CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∠B＝∠C＝45°，∴∠ACD＝∠B＝∠BCD，∴CD ＝BD.∵ED⊥DF，∴∠EDF＝∠EDC＋∠CDF＝90°.又∵∠CDF＋∠BDF＝90°，∴∠EDC ＝∠FDB，∴△ECD≌△FBD，∴DE＝DF. 6．B 解析：过点 P 作 PF∥BC 交 AC 于点 F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD ＝∠QCD.∵△ABC 为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠AFP＝60°，∴△APF 是等边 三角形．∴PA＝PF.又∵PA＝CQ，∴PF＝QC，∴△PFD≌△QCD，∴DF＝CD.∵PE⊥AC， ∴AE＝EF，∴DE＝EF＋DF＝ 1 2 AF＋ 1 2 CF＝ 1 2 AC.又∵AC＝6，∴DE＝3. 7．证明：在线段 BC 上截取 BE＝BA，连接 DE.∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBD. 又∵BD＝BD，∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠BED＝∠A＝108°，∴∠CED＝180°－∠BED ＝72°.又∵AB＝AC，∠A＝108°，∴∠ACB＝∠ABC＝ 1 2 ×(180°－108°)＝36°，∴∠CDE＝180° －∠ACB－∠CED＝180°－36°－72°＝72°.∴∠CDE＝∠DEC，∴CD＝CE，∴BC＝BE＋EC ＝AB＋CD