第一章三角形的证明周周测5 线段的垂直平分线 、选择题 1.已知MN是线段AB的垂直平分线,C,D是MN上任意两点,则∠CAD 和∠CBD之间的大小关系是 A.∠CAD∠CBDD无法判断 2.如图,在△ABC中,AD垂直平分扫BC,AC=EC,点B,D,C,E在 同一条直线上,则AB+DB与DE之间的数量关系是 A.AB+DB> DE BAB+DB<DEC.AB+DB=DED.无法判断 D C 第2题图 第4题图 3.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交线段AC于D,若△ABC 和△DBC的周长分别是60cm和38cm,则△ABC的腰长和底边BC的长分别 是() A.24cm和12cm B.16cm和22cm C.20cm和16cm D.22cm和16cm 4.如图,A,B是直线l外两点,在l上求作一点P,使PA+PB最小,其 作法是 A.连接BA并延长与l的交点为P B连接AB,并作线段A月的垂直平分线与l的交点为P C过点B作l的垂线,垂线与l的交点为P D过点A作l的垂线段AO,O是垂足,延长AO到A′,使A′O=AO, 再连接A′B,则A′B与L的交点为P 5.若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,则这个三角形是 A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.不能确定 、填空题
第一章 三角形的证明周周测 5 线段的垂直平分线 一、选择题 1．已知 MN 是线段 AB 的垂直平分线，C，D 是 MN 上任意两点，则∠CAD 和∠CBD 之间的大小关系是 （ ） A.∠CAD∠CBD D.无法判断 2．如图，在△ABC 中，AD垂直平分扫 BC，AC＝EC，点 B，D，C，E 在 同一条直线上，则 AB＋DB 与 DE 之间的数量关系是（ ） A. AB＋DB>DE B.AB＋DB<DE C. AB＋DB＝DE D. 无法判断 第 2 题图 第 4 题图 3．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交线段 AC 于 D，若△ABC 和△DBC 的周长分别是 60 cm 和 38 cm，则△ABC 的腰长和底边 BC 的长分别 是 （ ） A．24 cm 和 12 cm B.16 cm 和 22 cm C．20 cm 和 16 cm D．22 cm 和 16 cm 4．如图，A，B 是直线 l 外两点，在 l 上求作一点 P，使 PA＋PB 最小，其 作法是 （ ） A.连接 BA 并延长与 l 的交点为 P B.连接 AB，并作线段 A 月的垂直平分线与 l 的交点为 P C.过点 B 作 l 的垂线，垂线与 l 的交点为 P D.过点 A 作 l 的垂线段 AO，O 是垂足，延长 AO 到 A′，使 A′O＝AO， 再连接 A′B，则 A′B 与 L 的交点为 P 5．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是 （ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定 二、填空题
6.到线段AB两个端点距离相等的点,在 7.直角三角形ABC中,∠C=90°,AC的垂直平分线交AB于D,若AD =2cm,则BD= 三、解答题 8.如图,在△ABC中,∠BAC=110°,PM,QN分别垂直平分AB,AC, 求∠PAQ的度数 B P Q C 9.如图,在△ABC中,∠A=90°,AC=8cm,AB=6cm,BC边的垂直 平分线DE交BC于E,交AC于D,求△ABD的周长 10.如图,已知AB=AC=20cm,DE垂直平分AB,垂足为E,DE交AC 于点D,若△DBC的周长为35cm,求BC的长 A 11.如图,△ABC中,AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,已知 △ADE的周长为12cm,求BC的长
6．到线段 AB 两个端点距离相等的点，在 . 7．直角三角形 ABC 中，∠C＝90°，AC 的垂直平分线交 AB 于 D，若 AD ＝2 cm，则 BD＝ cm．[来源:学*科*网 Z*X *X* K] 三、解答题[来 8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝110°，PM，QN 分别垂直平分 AB，AC， 求∠PAQ 的度数． 9．如图，在△ABC 中，∠A＝90°，AC＝8 cm，AB＝6 cm，BC 边的垂直 平分线 DE 交 BC 于 E，交 AC 于 D，求△ABD 的周长． 10．如图，已知 AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，DE 交 AC 于点 D，若△DBC 的周长为 35 cm，求 BC 的长． 11．如图，△ABC 中，AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E，已知 △ADE 的周长为 12 cm，求 BC 的长．
12.如图1-81所示,A,B是公路l(l为东西走向)两旁的两个村庄,A 村到公路l的距离AC=1km,B村到公路l的距离BD=2km,B村在A村的南 偏东45°方向上 (1)求A,B两村之间的距离; (2)为方便村民出行,计划在公路边新建一个公共汽车站P,要求该站到 两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P的位置.(保留清晰的作图痕迹, 并简要写明作法) 东 13.如图,∠BAC=∠ABD,AC=BD,点O是AD,BC的交点,点E是 AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明 D 参考答案 B[提示:△CAD≌△CBD]
12．如图 1－81 所示，A，B 是公路 l（l 为东西走向）两旁的两个村庄，A 村到公路 l 的距离 AC＝1 km，B 村到公路 l 的距离 BD＝2 km，B 村在 A 村的南 偏东 45°方向上． （1）求 A，B 两村之间的距离； （2）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 P，要求该站到 两村的距离相等，请用尺规在图中作出点 P 的位置．（保 留清晰的作图痕迹， 并简要写明作法） 13．如图，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点 O 是 AD，BC 的交点，点 E 是 AB 的中点．试判断 OE 和 AB 的位置关系，并给出证明． [来源:学*科*网Z*X* X* K] [来源:学&科&网] 参考答案 1．B[提示：△CAD≌△CBD]
2.C提示:因为AB=AC,BD=CD,所以AB+DB=AC+DC=EC+DC 3.D提示:AB的垂直平分线与边AC交于D,则BD=AD,故BD+DC =AC,所以AB=60-38=22(cm),AC=22cm,BC=38-22=16(cm).] 4.D提示:由D中作法知,直线l垂直平分AA′,则PA+PB=PA′ PB=A′B,两点之间线段最短.] 5.C提示:直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处 6.线段AB的垂直平分线上 7.2[提示:AD=CD=BD. 解:∵∠BAC=110° B+∠C;180°-110°=70° PM, QN 分别垂直平分AB,AC,∴△BPM≌△APM,△CQN≌△AQN.∴∠B=∠BAP, ∠C=∠CAQ.∴∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C=70 ∠PAQ=∠BAC-∠ BAP-∠CAQ=110°-70°=40 9解:∵DF垂直平分BC,∴BD=DC,∴AC=AD+DC=AD+BD=8cm.又 ∵AB=6cm,∴AB+AD+DB=14cm,即△ABD的周长为14cm 10.解:因为D正垂直平分AB,垂足为正,D正交AC于点D,所以DA DB,所以BD+DC=AD+DC=20cm.又因为△DBC的周长为35cm,即 BD+DC+BC=35cm,所以BC=15cm 11.解:因为AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,所以DA=DB, EA=EC,所以BC=BD+DE+EC=DA十DF+AE,即为△ADE的周长.又因 为△ADE的周长为12cm,所以BC=12cm 12.解:如图.(1)方法1:设AB与CD的交点为O 根据题意可得∠A=∠OBD=45°,∴△ACO和△BDO都是等 腰直角三角形,∴AO=√2,BO=2√2,∴A,B两村的距离 为AB=AO+BO=√2+2√2=3√2(km).方法2:过点B 作直线l的平行线交AC的延长线于E,易证四边形CDBE是矩形,∴CE=BD 2.在R△AEB中,由∠A=45°,可得EF=CA=3,∴AB=√3+3=3√2
2．C[提示：因为 AB＝AC，BD＝CD，所以 AB＋DB＝AC＋DC＝EC＋DC ＝DE] 3．D[提示：AB 的垂直平分线与边 AC 交于 D，则 BD＝AD，故 BD＋DC ＝AC，所以 AB＝60－38＝22（cm），AC＝22 cm，BC＝38－22＝16（cm）．] [来源:学科网 ZXXK] 4．D[提示：由 D 中作法知，直线 l 垂直平分 AA′，则 PA＋PB＝PA′＋ PB＝A′B，两点之间线段最短．] 5．C[提示：直角三角形的三边垂直平分线交于斜边的中点处．] 6．线段 AB 的垂直平分线上 7．2[提示：AD＝CD＝BD．] 8．解：∵∠BAC=110°，∴∠B＋∠C；180°－110°=70°．∵PM，QN 分别垂直平分 AB，AC，∴△BPM≌△APM，△CQN≌△AQN．∴∠B＝∠BAP， ∠C＝∠CAQ． ∴∠BAP＋∠CAQ＝∠B＋∠C＝70°．∴∠PAQ=∠BAC－∠ BAP－∠CAQ＝110°－ 70°＝40°． 9．解：∵DF 垂直平分 BC，∴BD＝DC，∴AC=AD＋DC=AD＋BD＝8 cm．又 ∵AB＝6 cm，∴AB＋AD＋DB＝14 cm，即△ABD 的周长为 14 cm． 10．解：因为 D 正垂直平分AB，垂足为正，D 正交 AC 于点 D，所以 DA ＝DB，所以 BD＋DC＝AD＋DC＝20 cm．又因为△DBC 的周长为 35 cm，即 BD＋DC＋BC＝35 cm，所以 BC=15 cm． 11．解：因为 AB，AC 的垂直平分线分别交 BC 于点 D，E，所以 DA＝DB， EA=EC，所以 BC＝BD＋DE＋EC＝DA 十 DF＋AE，即为△ADE 的周长．又因 为△ADE 的周长为 12 cm，所以 BC＝12 cm． 12．解：如图．（1）方法 1：设 AB 与 CD 的交点为 O， 根据题意可得∠A=∠OBD=45°，∴△ACO 和△BDO 都是等 腰直角三角形，∴AO＝ 2 ，BO＝2 2 ，∴A，B 两村的距离 为 AB=AO＋BO＝ 2 ＋2 2 ＝3 2 （km）．方法 2：过点 B 作直线 l 的平行线交 AC 的延长线于 E，易证四边形 CDBE 是矩形，∴CE＝BD ＝2．在 Rt△AEB 中，由∠A=45°，可得 EF＝CA＝3，∴AB＝ 3 3 3 2 2 2 + =
(km) (2)作法:①分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径作弧,两 弧交于两点M,N,作直线MN;②直线MN交l于点P,点P即为所求 13.解:OE⊥AB证明如下:在△BAC和△ABD中,AC=BD,∠BAC=∠ ABD AB=BA,∴△BAC≌△ABD,∴∠OBA=∠OAB,∴OA= OB.又AE=BE,∴OE⊥AB
（km）． （2）作法：①分别以点 A，B 为圆心，以大于 1 2 AB 的长为半径作弧，两 弧交于两点 M，N，作直线 MN；②直线 MN 交 l 于点 P，点 P 即为所求． 13．解：OE⊥AB 证明如下：在△BAC 和△ABD 中，AC=BD，∠BAC=∠ ABD， AB＝BA，∴△BAC≌△ABD，∴∠O BA＝∠OAB，∴OA＝ OB．又 AE＝BE，∴OE⊥AB．