河南特色题型专题:三角形中的最值及与尺规作图结合的问 题 ◆类型一与尺规作图结合的问题 1.(2017·濮阳一模)如图,在△ABC中,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P, 使得P+PC=BC,则下列选项正确的是() P A B 2.(2017襄阳中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4,以点C为圆 心,CB长为半径作弧,交AB于点D再分别以点B和点D为圆心,大于BD的长为半径作 弧,两弧相交于点E,作射线CE交AB于点F,则AF的长为() A.5B.6C.7D.8 D F B A E B 第2题图 第3题图 3.(2017河南模拟)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,D是AC的中 点,连接BD,按以下步骤作图:①分别以B,D为圆心,大于BD的长为半径作弧,两弧 相交于点P和点Q;②作直线PQ交AB于点E,交BC于点F,则BF的长为( 4.(2017·郑州校级月考)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意
河南特色题型专题：三角形中的最值及与尺规作图结合的问 题 ◆类型一 与尺规作图结合的问题 1．(2017·濮阳一模)如图，在△ABC 中，AB＜BC，用尺规作图的方法在 BC 上取一点 P， 使得 PA＋PC＝BC，则下列选项正确的是( ) 2．(2017·襄阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以点 C 为圆 心，CB 长为半径作弧，交 AB 于点 D.再分别以点 B 和点 D 为圆心，大于1 2 BD 的长为半径作 弧，两弧相交于点 E，作射线 CE 交 AB 于点 F，则 AF 的长为( ) A．5 B．6 C．7 D．8 第 2 题图 第 3 题图 3．(2017·河南模拟)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D 是 AC 的中 点，连接 BD，按以下步骤作图：①分别以 B，D 为圆心，大于1 2 BD 的长为半径作弧，两弧 相交于点 P 和点 Q；②作直线 PQ 交 AB 于点 E，交 BC 于点 F，则 BF 的长为( ) A.5 6 B．1 C.13 6 D.5 2 4．(2017·郑州校级月考)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，以 A 为圆心，任意
长为半径画弧分别交AB,AC于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径 画弧,两弧交于点P,连接AP并延长交BC于点D,有下列说法:①AD是∠BAC的平分线; ②∠ADC=60°;③点D在AB的垂直平分线上;④S△DAC:S△ABC=1:3.其中正确的个数是 A.1个B.2个C.3个D.4个 第4题图 第5题图 ◆类型二三角形中的最值 5.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,F是AB的中点,点D,E分别在 AC,BC上运动,且保持AD=CE连接DE,DF,EF,在此运动变化的过程中,下列结论: ①△DEF是等腰直角三角形:②DE长度的最小值为4:③四边形CDFE的面积保持不变 ④△CDE面积的最大值为8其中正确的结论是() A.①②③B.①④C.①③④D.③④ 6.如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=4,连接BD,BD⊥CD,∠ADB=∠C 若P是BC边上的动点,则DP长的最小值为 B 第6题图 第7题图 7.如图,在等边△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点,BC=8 在AD上有一动点Q,则QC+QE的最小值为 8.★(2017贵阳中考改编)如图,在长方形纸片ABCD中,AB=2,AD=3,点E是AB 的中点,点F是AD边上的一个动点,将△AEF沿EF所在直线翻折得到△AEF,求AC长 的最小值 A A B
长为半径画弧分别交 AB，AC 于点 M，N，再分别以点 M，N 为圆心，大于1 2 MN 的长为半径 画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，有下列说法：①AD 是∠BAC 的平分线； ②∠ADC＝60°；③点 D 在 AB 的垂直平分线上；④S△DAC∶S△ABC＝1∶3.其中正确的个数是 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 第 4 题图 第 5 题图 ◆类型二 三角形中的最值 5．如图，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，F 是 AB 的中点，点 D，E 分别在 AC，BC 上运动，且保持 AD＝CE.连接 DE，DF，EF，在此运动变化的过程中，下列结论： ①△DEF 是等腰直角三角形；②DE 长度的最小值为 4；③四边形 CDFE 的面积保持不变； ④△CDE 面积的最大值为 8.其中正确的结论是( ) A．①②③ B．①④ C．①③④ D．③④ 6．如图，在四边形 ABCD 中，∠A＝90°，AD＝4，连接 BD，BD⊥CD，∠ADB＝∠C. 若 P 是 BC 边上的动点，则 DP 长的最小值为________． 、 第 6 题图 第 7 题图 7．如图，在等边△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，E 为 AC 的中点，BC＝8. 在 AD 上有一动点 Q，则 QC＋QE 的最小值为________． 8．★(2017·贵阳中考改编)如图，在长方形纸片 ABCD 中，AB＝2，AD＝3，点 E 是 AB 的中点，点 F 是 AD 边上的一个动点，将△AEF 沿 EF 所在直线翻折得到△A′EF，求 A′C 长 的最小值．
参考答案与解析 1.D2.B3.C4.D 5.C解析:连接CF∴△ABC是等腰直角三角形,AC=8,∴∠FCB=∠A=45°,CF AF=FB=4√2.:AD=CE,∴△ADF≌△CEF,∴EF=DF,∠CFE=∠AFD.∵∠AFD+ ∠CFD=90°,∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°,∴△DEF是等腰直角三角形,故①正确 ∴△DEF是等腰直角三角形,∴当DF最小时,DE也最小,即当DF⊥AC时,DE最小, 此时DF=4∴DE=2DF=4E,故②错误:∵△ADF≌△CEF,∴S△DF=S△CEF,∴S四形 CDFE=Sc=×4×42=16,即四边形CDFE的面积保持不变,故③正确;∵;SBC=S 边形CDFE=S△CDE+S△DEF,∴当△CDE的面积最大时,△DEF的面积最小.此时S△DEF= ×4×4=8,∴S△CDE=S△AFC-S△DF=16-8=8,故④正确.综上可知,正确的结论为①③④, 故选C 7.43解析:连接BE,∵△ABC是等边三角形,BC=8,∴AC=8:AD平分∠BAC, ∴AD是BC的垂直平分线,即QB=QC,∴BE的长即为QC+QE的最小值.∵E是AC的 中点,∴BE=VBC一CE=82-4=4,∴QC+QE的最小值是43 8.解:连接CE根据折叠可知AE=AE=AB=1.四边形ABCD是长方形,∴BC= AD=3,∠B=90°在R△BCE中,BE=AB=1,BC=3,∴CE=BE2+BC=10CE 10,AE=1,∴当点A在CE上时,AC取最小值,最小值为CE-AE=√10-1
参考答案与解析 1．D 2.B 3.C 4.D 5．C 解析：连接 CF.∵△ABC 是等腰直角三角形，AC＝8，∴∠FCB＝∠A＝45°，CF ＝AF＝FB＝4 2.∵AD＝CE，∴△ADF≌△CEF，∴EF＝DF，∠CFE＝∠AFD.∵∠AFD＋ ∠CFD＝90°，∴∠CFE＋∠CFD＝∠EFD＝90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确； ∵△DEF 是等腰直角三角形，∴当 DF 最小时，DE 也最小，即当 DF⊥AC 时，DE 最小， 此时 DF＝4.∴DE＝ 2DF＝4 2，故②错误；∵△ADF≌△CEF，∴S△ADF＝S△CEF，∴S 四边形 CDFE＝S△AFC＝ 1 2 ×4 2×4 2＝16，即四边形 CDFE 的面积保持不变，故③正确；∵S△AFC＝S 四边形 CDFE＝S△CDE＋S△DEF，∴当△CDE 的面积最大时，△DEF 的面积最小．此时 S△DEF＝ 1 2 ×4×4＝8，∴S△CDE＝S△AFC－S△DEF＝16－8＝8，故④正确．综上可知，正确的结论为①③④， 故选 C. 6．4 7．4 3 解析：连接 BE，∵△ABC 是等边三角形，BC＝8，∴AC＝8.∵AD 平分∠BAC， ∴AD 是 BC 的垂直平分线，即 QB＝QC，∴BE 的长即为 QC＋QE 的最小值．∵E 是 AC 的 中点，∴BE＝ BC2－CE2＝ 8 2－4 2＝4 3，∴QC＋QE 的最小值是 4 3. 8．解：连接 CE.根据折叠可知 A′E＝AE＝ 1 2 AB＝1.∵四边形 ABCD 是长方形，∴BC＝ AD＝3，∠B＝90°.在 Rt△BCE 中，∵BE＝ 1 2 AB＝1，BC＝3，∴CE＝ BE2＋BC2＝ 10.∵CE ＝ 10，A′E＝1，∴当点 A′在 CE 上时，A′C 取最小值，最小值为 CE－A′E＝ 10－1