综合滚动练习:特殊的三角形 时间:45分钟分数:100分得分 、选择题(每小题4分,共32分) 1.已知一个等腰三角形底角的度数为80°,则这个等腰三角形顶角的度数为() A.20°B.70°C.80°D.100° 2.已知等腰三角形的一边长为6,一个内角为60°,则它的周长是() A.12B.15C.18D.20 3.如图,△ABC是等边三角形,P为BC上一点,在AC上取一点D,使AD=AP,且 ∠APD=70°,则∠PAB的度数是() 15°C.20°D.25° 第3题图 第4题图 4.如图,AD⊥BC,D是BC的中点,那么下列结论错误的是() A.△ABD≌△ACDB.∠B=∠C C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等边三角形 5.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=30°,E为BC延长线上一点,∠ABC与∠ACE 的平分线相交于点D,则∠D的度数为() A.15°B.17.5°C.20°D.22.5° A 第5题图 第6题图 第7题图 6.(2017滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD BA,则∠B的大小为【方法1②】() A.40°B.36°C.30°D.25° 7.(2017·平顶山校级月考)如图,把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠,点C 与点C重合,BC交AD于点O给出下列结论:①BC平分∠ABD;②△ABO≌△CDO; ③∠AOC=120°;④△BOD是等腰三角形.其中正确的结论有() A.①③B.②④C.①②D.③④ 8.★如图,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2若点M,N分别在OA,OB 且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有() A.1个 B.2个 A B P
综合滚动练习：特殊的三角形 时间：45 分钟 分数：100 分 得分：________ 一、选择题(每小题 4 分，共 32 分) 1．已知一个等腰三角形底角的度数为 80°，则这个等腰三角形顶角的度数为( ) A．20° B．70° C．80° D．100° 2．已知等腰三角形的一边长为 6，一个内角为 60°，则它的周长是( ) A．12 B．15 C．18 D．20 3．如图，△ABC 是等边三角形，P 为 BC 上一点，在 AC 上取一点 D，使 AD＝AP，且 ∠APD＝70°，则∠PAB 的度数是( ) A．10° B．15° C．20° D．25° 第 3 题图 第 4 题图 4．如图，AD⊥BC，D 是 BC 的中点，那么下列结论错误的是( ) A．△ABD≌△ACD B．∠B＝∠C C．△ABC 是等腰三角形 D．△ABC 是等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝30°，E 为 BC 延长线上一点，∠ABC 与∠ACE 的平分线相交于点 D，则∠D 的度数为( ) A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° 第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 6．(2017·滨州中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 上一点，且 DA＝DC，BD ＝BA，则∠B 的大小为【方法 1②】( ) A．40° B．36° C．30° D．25° 7．(2017·平顶山校级月考)如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 与点 C′重合，BC′交 AD 于点 O.给出下列结论：①BC′平分∠ABD；②△ABO≌△C′DO； ③∠AOC′＝120°；④△BOD 是等腰三角形．其中正确的结论有( ) A．①③ B．②④ C．①② D．③④ 8．★如图，∠AOB＝120°，OP 平分∠AOB，且 OP＝2.若点 M，N 分别在 OA，OB 上， 且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( ) A．1 个 B．2 个
C.3个 D.3个以上 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.若△ABC的三边a,b,c满足条件:a-3+√b-4+-5=0,则△ABC是 三角形 10.(2017河南模拟)如图,已知∠B=∠C,从①BE=CE,②AB=DC,③∠BAE=∠CDE 这三个等式中选出一个作为条件,可以推出△AED是等腰三角形的有 (填序号) D B 第10题图 第11题图 11.(2017濮阳市校级月考)如图,等边△ABC的周长为12cm,DC∥AB,AD⊥CD于 点D,则CD= 12.如图,已知∠AOB=60°,点P在OA上,OP=8,点M、N在边OB上,PM=PN 若MN=2,则OM= F O Mn B 第12题图 第14题图 13.我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”.如 果等腰三角形的“内角正度值”为45°,那么该等腰三角形的顶角度数为 14.(2017·淄博中考)如图,在边长为4的等边三角形ABC中,D为BC边上的任意 点,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则DE+DF= 三、解答题(共44分) 15.(8分)如图,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,F为AB延长线上一点,点E 在BC上,且AE=CF请判断AE与CF的位置关系,并说明理由
C．3 个 D．3 个以上 二、填空题(每小题 4 分，共 24 分) 9．若△ABC 的三边 a，b，c 满足条件： a－3＋ b－4＋ c－5＝0，则△ABC 是________ 三角形． 10．(2017·河南模拟)如图，已知∠B＝∠C，从①BE＝CE，②AB＝DC，③∠BAE＝∠CDE 这三个等式中选出一个作为条件，可以推出△AED 是等腰三角形的有________(填序号)． 第 10 题图 第 11 题图 11．(2017·濮阳市校级月考)如图，等边△ABC 的周长为 12cm，DC∥AB，AD⊥CD 于 点 D，则 CD＝________cm. 12．如图，已知∠AOB＝60°，点 P 在 OA 上，OP＝8，点 M、N 在边 OB 上，PM＝PN. 若 MN＝2，则 OM＝________． 第 12 题图 第 14 题图 13．我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值”．如 果等腰三角形的“内角正度值”为 45°，那么该等腰三角形的顶角度数为________． 14．(2017·淄博中考)如图，在边长为 4 的等边三角形 ABC 中，D 为 BC 边上的任意一 点，过点 D 分别作 DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，则 DE＋DF＝________． 三、解答题(共 44 分) 15．(8 分)如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.请判断 AE 与 CF 的位置关系，并说明理由．
6.(10分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC上一点(不与A,C重合), (1)用直尺和圆规作DE⊥BC于点E,延长ED交BA的延长线于点F保留作图痕迹,不 写画法) (2)判断△ADF的形状并加以证明 D 17.(12分)(2016濮阳期末)如图,在R△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AB=12cm 若点P从点B出发以2cms的速度向点A运动,点Q从点A出发以lcm/s的速度向点C运 动.设点P,Q分别从点B,A同时出发,运动的时间为s (1)用含t的式子表示线段AP,AQ的长 (2)当t为何值时,△APQ是以PQ为底边的等腰三角形? 3)当t为何值时,PQ∥BC? Q 18.★(14分)如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=110°,∠BOC=a以OC为一 边作等边△OCD,连接AD (1)当a=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由 (2探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形? 109
16．(10 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 AC 上一点(不与 A，C 重合)， (1)用直尺和圆规作 DE⊥BC 于点 E，延长 ED 交 BA 的延长线于点 F(保留作图痕迹，不 写画法)； (2)判断△ADF 的形状并加以证明． 17．(12 分)(2016·濮阳期末)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm. 若点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运 动．设点 P，Q 分别从点 B，A 同时出发，运动的时间为 ts. (1)用含 t 的式子表示线段 AP，AQ 的长； (2)当 t 为何值时，△APQ 是以 PQ 为底边的等腰三角形？ (3)当 t 为何值时，PQ∥BC? 18．★(14 分)如图，点 O 是等边△ABC 内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α.以 OC 为一 边作等边△OCD，连接 AD. (1)当 α＝150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (2)探究：当 α 为多少度时，△AOD 是等腰三角形？
参考答案与解析 1.A2C3.C4.D5A6.B7.B 8.D解析:如图,在OA,OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB, ∴∠EOP=∠POF=60OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP, ∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN在△PEM和△PON中 ∠PEM=∠PON, PE=PO ∴△PEM≌△PON,∴PM=PN∵∠MPN=60°,∴△PNM是等边三角 ∠EPM=∠OPN, 形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形,故这样的三角形有无数个,故选D M 9.直角10①②11.212.3 13.30°或90°解析:设最小角的度数为x,则最大角的度数为x+45°当最小角是顶 角时,则x+x+45°+x+45°=180°,解得x=30°,此时三角形顶角的度数为30°当最大角 为顶角时,则x+x+45°+x=180°,解得x=45°,此时三角形顶角的度数为90°综上所述 等腰三角形的顶角为30°或90° 14.2√3解析:作AG⊥BC于G,连接AD∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°, 由勾股定理得AG=2SAmn+S△cm2=S△MB,∴4BDE+cDF=5BCAG∵AB=AC BC=4,∴DE+DF=AG=23 15解:AE⊥CF(1分理由如下:延长AE交FC于点G∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE 90°(3分)在R△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB,∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL), ∴∠EAB=∠FCB(6分)∵∠FCB+∠CFB=90°,∴∠EAB+∠AFC=90°,∴∠AGF=90°, ∴AE⊥CF(8分) 16.解:(1)所求作图形如图所示.(4分) B (2)△ADF是等腰三角形(5分)证明如下:∵AB=AC,∴∠B=∠C∴FE⊥BC,∴∠FEC ∠FEB=90°,∴∠AFD+∠B=90°,∠EDC+∠C=90°,∴∠AFD=∠EDC(8分)∵∠ADF ∠EDC,∴∠AFD=∠ADF,∴AF=AD,∴△ADF是等腰三角形.(10分) 17.解:(1)由题意可知AB=12cm,AQ=cm,BP=2cm,∴AP=AB-BP=(12-2cm(3 分) (2)∵△APQ是以PQ为底边的等腰三角形,∴AP=AQ,即12-2t=1,解得t=4(6分)
参考答案与解析 1．A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.B 7.B 8．D 解析：如图，在 OA，OB 上截取 OE＝OF＝OP，作∠MPN＝60°.∵OP 平分∠AOB， ∴∠EOP＝∠POF＝60°.∵OP＝OE＝OF，∴△OPE，△OPF 是等边三角形，∴EP＝OP， ∠EPO＝∠OEP＝∠PON＝∠MPN＝60°，∴∠EPM＝∠OPN.在△PEM 和△PON 中， ∠PEM＝∠PON， PE＝PO， ∠EPM＝∠OPN， ∴△PEM≌△PON，∴PM＝PN.∵∠MPN＝60°，∴△PNM 是等边三角 形，∴只要∠MPN＝60°，△PMN 就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选 D. 9．直角 10.①② 11.2 12.3 13．30°或 90° 解析：设最小角的度数为 x，则最大角的度数为 x＋45°.当最小角是顶 角时，则 x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得 x＝30°，此时三角形顶角的度数为 30°.当最大角 为顶角时，则 x＋x＋45°＋x＝180°，解得 x＝45°，此时三角形顶角的度数为 90°.综上所述， 等腰三角形的顶角为 30°或 90°. 14．2 3 解析：作 AG⊥BC 于 G，连接 AD.∵△ABC 是等边三角形，∴∠B＝60°，∴ 由勾股定理得 AG＝2 3.∵S△ABD＋S△ACD＝S△ABC，∴ 1 2 AB·DE＋ 1 2 AC·DF＝ 1 2 BC·AG.∵AB＝AC ＝BC＝4，∴DE＋DF＝AG＝2 3. 15．解：AE⊥CF.(1 分)理由如下：延长 AE 交 FC 于点 G.∵∠ABC＝90°，∴∠CBF＝∠ABE ＝90°.(3 分)在 Rt△ABE 和 Rt△CBF 中，∵AE＝CF，AB＝CB，∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL)， ∴∠EAB＝∠FCB.(6 分)∵∠FCB＋∠CFB＝90°，∴∠EAB＋∠AFC＝90°，∴∠AGF＝90°， ∴AE⊥CF.(8 分) 16．解：(1)所求作图形如图所示．(4 分) (2)△ADF 是等腰三角形．(5 分)证明如下：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵FE⊥BC，∴∠FEC ＝∠FEB＝90°，∴∠AFD＋∠B＝90°，∠EDC＋∠C＝90°，∴∠AFD＝∠EDC.(8 分)∵∠ADF ＝∠EDC，∴∠AFD＝∠ADF，∴AF＝AD，∴△ADF 是等腰三角形．(10 分) 17．解：(1)由题意可知 AB＝12cm，AQ＝tcm，BP＝2tcm，∴AP＝AB－BP＝(12－2t)cm.(3 分) (2)∵△APQ 是以 PQ 为底边的等腰三角形，∴AP＝AQ，即 12－2t＝t，解得 t＝4.(6 分)∴
当t=4时,△APQ是以PQ为底边的等腰三角形.(7分) (3)∵∠C=90°,∴当∠PQA=90°时,PQ∥BC.∴∠PQA=90°,∠A=60°,∴∠QP= 30°,∴AQ=AP,即1=3(10-21),解得=3,∴当=3时,PQ∥BC(12分) 8.解:(1)△AOD是直角三角形.(1分)理由如下:∵△ABC,△OCD是等边三角形, ∴BC=AC,OC=CD,∠ACB=∠OCD=60°,∴∠BCO=∠ACD在△BOC与△ADC中 OC=DC, ∠BCO=∠ACD,∴△BOC≌△ADC,(4分)∴∠ADC=∠BOC=a=150°,∴∠ADO BC=AC, ∠ADC-∠ODC=150-60°=90°,∴△AOD是直角三角形.(6分) (2)由(1)知△BOC≌△ADC,∴∠CBO=∠CAD设∠CBO=∠CAD=a,∠ABO=b ∠BAO=c,∠CAO=d,则a+b=60°,b+c=180°-110°=70°,c+d=60°,∴∠DAO +d=(a+b)+(c+d)-(b+c)=509由(1)可知∠ADC=∠BOC=a,∴∠ADO=∠ADC ∠CDO=a-60°(8分)△AOD为等腰三角形有以下三种情况:①4O=AD,则∠AOD 180°-50° ∠ADO, 2 a-60°,∴a=125°:(10分)②OA=OD,则∠OAD=∠ADO,∴a 60°=50°,∴a=110°;(12分)③OD=AD,则∠OAD=∠AOD 1809-(a-60°) ∴a=140°综上所述,当a为125°或110°或140°时,△AOD是等腰三角形.(14分)
当 t＝4 时，△APQ 是以 PQ 为底边的等腰三角形．(7 分) (3)∵∠C＝90°，∴当∠PQA＝90°时，PQ∥BC.∵∠PQA＝90°，∠A＝60°，∴∠QPA＝ 30°，∴AQ＝ 1 2 AP，即 t＝ 1 2 (10－2t)，解得 t＝3，∴当 t＝3 时，PQ∥BC.(12 分) 18．解：(1)△AOD 是直角三角形．(1 分)理由如下：∵△ABC，△OCD 是等边三角形， ∴BC＝AC，OC＝CD，∠ACB＝∠OCD＝60°，∴∠BCO＝∠ACD.在△BOC 与△ADC 中， OC＝DC， ∠BCO＝∠ACD， BC＝AC， ∴△BOC≌△ADC，(4 分)∴∠ADC＝∠BOC＝α＝150°，∴∠ADO＝ ∠ADC－∠ODC＝150°－60°＝90°，∴△AOD 是直角三角形．(6 分) (2)由(1)知△BOC≌△ADC，∴∠CBO＝∠CAD.设∠CBO＝∠CAD＝a，∠ABO＝b， ∠BAO＝c，∠CAO＝d，则 a＋b＝60°，b＋c＝180°－110°＝70°，c＋d＝60°，∴∠DAO＝a ＋d＝(a＋b)＋(c＋d)－(b＋c)＝50°.由(1)可知∠ADC＝∠BOC＝α，∴∠ADO＝∠ADC－ ∠CDO＝α－60°.(8 分)△AOD 为等腰三角形有以下三种情况：①AO＝AD，则∠AOD＝ ∠ADO，∴ 180°－50° 2 ＝α－60°，∴α＝125°；(10 分)②OA＝OD，则∠OAD＝∠ADO，∴α －60°＝50°，∴α＝110°；(12 分)③OD＝AD，则∠OAD＝∠AOD，∴ 180°－（α－60°） 2 ＝50°， ∴α＝140°.综上所述，当 α 为 125°或 110°或 140°时，△AOD 是等腰三角形．(14 分)