第一章三角形的证明周周测4 直角三角形 、选择题 1.下列命题中,是真命题的是() 相等的角是对顶角 B.两直线平行,同位角互补 C.等腰三角形的两个底角相等D.直角三角形中两锐角互补 2.若三角形三边长之比为1:√3:2,则这个三角形中的最大角的度数是 A.60° B.90 C.120° D.150° 3.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:1:2,则其各角所对边长之比等 于 A.√3:1:2B.1:2:3C.1:3:2 D.2:1: 4.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三 角形的第三条边所对的角的关系是() A.相等B.互补C.相等或互补D.相等或互余 5.具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是() A.一边和这边上的高对应相等 B.两边和第三边上的高对应相等 C.两边和其中一边的对角对应相等 D.两个直角三角形中的斜边对应相等 二、填空题 6.在等腰三角形中,腰长是a,一腰上的高与另一腰的夹角是30°,则此 等腰三角形的底边上的高是 7.已知△ABC中,边长a,b,c满足a2=b2=c2,那么∠B= 8.如图1-46所示,一艘海轮位于灯塔P的东北方向,距离灯塔海里的A 处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东30°方向上 的B处,则海轮行驶的路程AB为海里(结果保留根号)
第一章 三角形的证明周周测 4 直角三角形 一、选择题 1．下列命题中，是真命题的是 （ ） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同位角互补 C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形中两锐角互补 2．若三角形三边长之比为 1∶ 3 ∶2，则这个三角形中的最大角的度数是 （ ） A．60° B．90° C.1 20° D．150° 3．在△ABC 中，若∠A∶∠B∶∠C＝3∶1∶2，则其各角所对边长之比等 于 （ ） A． 3 ∶1∶2 B．1∶2∶ 3 C．1∶ 3 ∶2 D．2∶1∶ 3 4．如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三 角形的第三条边所对的角的关系是 （ ） A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．相等或互余 5．具备下列条件的两个三角形可以判定它们全等的是 （ ） A．一边和这边上的高对应相等 B．两边和第三边上的高对应相等 C．两边和其中一边的对角对应相等 D．两个直角三角形中的斜边对应相等 二、填空题 6．在等腰三角形中，腰长是 a，一腰上的高与另一腰的夹角是 30°，则此 等腰三角形的底边上的高是 ． 7．已知△ABC 中，边长 a，b，c 满足 a 2＝1 3 b 2＝ 1 4 c 2，那么∠B＝ . 8．如图 1－46 所示，一艘海轮位于灯塔 P 的东北方向，距离灯塔海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 30°方向上 的 B 处，则海轮行驶的路程 AB 为 海里（结果保留根号）．
北 、解答题 9.已知等腰三角形ABC中,AB=AC=10cm,底边BC=16cm,求底边上 的高AD的长 10.如图1-47所示,把矩形ABCD沿对角线BD折叠,点C落在点F处, 若AB=12cm,BC=16cm (1)求AE的长; (2)求重合部分的面积 人 图1-47
三、解答题 9．已知等腰三角形 ABC 中，AB＝AC＝10 3 cm，底边 BC＝16 3 cm，求底边上 的高 AD 的长． 10．如图 1－47 所示，把矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C 落在点 F 处， 若 AB＝12 cm，BC＝16 cm． （1）求 AE 的长； （2）求重合部分的面积．
11.如图1-48所示,把矩形纸片ABCD沿EF折叠,使点B落在边AD上的 点B′处,点A落在点A′处 (1)求证B′E=BF; (2)设AE=a,AB=b,BF=c,试猜想a,b,c之间的一种关系,并 给出证明 图1-48 12.三个牧童A,B,C在一块正方形的牧场上看守一群牛,为保证公平合 理,他们商量将牧场划分为三块分别看守,划分的原则是:①每个人看守的牧场 面积相等:;②在每个区域内,各选定一个看守点,并保证在有情况时,他们所需 走的最大距离(看守点到本区域内最远处的距离)相等.按照这一原则,他们先 设计了一种如图1-49(1)所示的划分方案,把正方形牧场分成三块相等的矩 形,大家分头守在这三个矩形的中心(对角线交点),看守自己的一块牧场.过 了一段时间,牧童B和牧童C又分别提出了新的划分方案.牧童B的划分方案 如图1-49(2)所示,三块矩形的面积相等,牧童的位置在三个小矩形的中心.牧 童C的划分方案如图1-49(3)所示,把正方形的牧场分成三块矩形,牧童的 位置在三个小矩形的中心,并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等
11．如图 1－48 所示，把矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使点 B 落在边 AD 上的 点 B′处，点 A 落在点 A′处． （1）求证 B′E＝BF； （2）设 AE＝a，AB＝b，BF＝c，试猜想 a，b，c 之间的一种关系，并 给出证明． 12．三个牧童 A，B，C 在一块正方形的牧场上看守一群牛，为保证公平合 理，他们商量将牧场划分为三块分别看守，划分的原则是：①每个人看守的牧场 面积相等；②在每个区域内，各选定一个看守点，并保证在有情况时，他们所需 走的最大距离（看守点到本区域内最远处的距离）相等．按照这一原则，他们先 设计了一种如图 1－49（1）所示的划分方案，把正方形牧场分成三块相等的矩 形，大家分头守在这三个矩形的中心（对角线交点），看守自己的一块牧场．过 了一段时间，牧童 B 和牧童 C 又分别提出了新的 划分方案．牧童 B 的划分方案 如图 1－49（2）所示，三块矩形的面积相等，牧童的位置在三个小矩形的中心．牧 童 C 的划分方案如图 1－49（3）所示，把正方形的牧场分成三块矩形，牧童的 位置在三个小矩形的中心，并保证在有情况时三个要所需走的最大距离相等．
(1)牧童B的划分方案中,牧童 (填“A”“B”或“C”)在有情 况时所需走的最大距离较远 (2)牧童C的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?(提示:在 计算 时可取正方形边长为2) 参考答案 C[提示:可以举出例子说明A,B,D为假命题. 2.B[提示:设三边长分别为a,a,2a,则a2+(√3a)2=(2a)2,为直 角三角形 3.D[提示:∠A=90°,∠B=30°,∠C=60° 4.C[提示:如图1-50(1)所示,已知AB=A′B′,BC=B′C′,AD ⊥BC于点D,A′D′上B′C′于D′点,且AD=A′D′,根据HL可判 定Rt△ABD≌R△A′B′D′,从而证得∠B=∠B′.如图1-50(2)所示, 可知此时两角互补.] 5.B[提示:利用HL可证明.]
（1）牧童 B 的划分方案中，牧童 （填“A”“B”或“C”）在有情 况时所需走的最大距离较远． （2）牧童 C 的划分方案是否符合他们商量的划分原则?为什么?（提示：在 计算 时可取正方形边长为 2） [来 源 :学*科*网 Z* X*X*K] [来 源 :学科网] [来 源 :Z§xx§k.Com ] [来 源 :学科网] 参考答案 1．C [提示：可以举出例子说明 A，B，D 为假命题．] 2．B [提示：设三边长分别为 a，a，2a，则 a 2+（ 3 a）2＝（2a）2，为直 角三角形． 3．D [提示：∠A＝90°，∠B＝30°，∠C＝60°．] 4．C [提示：如图 1－50（1）所示，已知 AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD ⊥BC 于点 D，A′D′上 B′C′于 D′点，且 AD＝A′D′，根据 HL 可判 定 Rt△ABD≌Rt△A′B′D′，从而证得∠B＝∠B′．如图 1－50（2）所示， 可知此时两角互补．] 5．B [提示：利用 HL 可证明．]
11-50 6.a或ya提示:由题意可以画出如图1—51所示的两种情况 D 7.60°[提示:b2=3a2,c2=4a2c2=a2+b a,c=∠a 8.40+40√3[提示:在R△ACP中,APC=45°,AP=40√2,AC=PC=40.在 Rt△PCB中,∠PBC=30°,BC=40√3 ∴AB=AC+BC=40+403. 9.解:∵AD为底边上的高∴BD=CD=BC=168 22×3=(cm),在Rt△ABD中 由勾股定理,得AD=√AB2-BD2=()2 9 10.解:(1)∵∠CBD=∠FBD(轴对称图形的性质),又∠CBD=∠ADB(两直线 平行,内错角相等),∴∠FBD=∠ADB等量代换).∴EB=ED(等角对等边).设 AE=xcm,则DE=(16-xm,即EB=(16-xcm,在Rt△BE中,AB2=BE AE2即12=(16-x)2一x2,解得x=3.5.即AE的长为3.5cm.(2BA⊥AD ∴S△BDE=DE·BA=×(16-3.5)×12=75(cm2) 11.(1)证明:由题意得B′F=BF,∠B′FE=∠BFE.在矩形 ABCD中,AD∥BC, ∠B′EF=∠BFE,∴∠B′FE=∠B′EF,∴B′F=B′E.∴ B′E=BF.(2)解:a,brf三者关系有两种情况.①a,b,c图1-52 三者存在的关系是a2十b2=c2证明如下:连接BE,则BE=B′E.由(1)
6． 1 2 a 或 3 2 a[提示：由题意可以画出如图 1—51 所示的两种情况．] 7．60°[提示：b 2=3a 2，c 2=4a 2 c 2=a 2+b 2，b= 3 a，c=2a． 8．40+40 3 [提示：在 Rt△ACP 中，APC=45°，AP=40 2 ,∴AC=PC=40．在 Rt△PCB 中，∠PBC=30°，BC=40 3 , ∴AB=AC+BC=40+40 3 . ] 9．解：∵AD 为底边上的高∴BD=CD= 1 2 BC= 1 2 × 16 3 = 8 3 (cm)．在 Rt△ABD 中 由勾股定理，得 AD= 2 2 2 2 10 8 ( ) ( ) 3 3 AB BD − = + = 36 9 =2cm 10．解：(1) ∵∠CBD= ∠ FBD(轴对称图形的性质)，又∠CBD=∠ADB(两直线 平行，内错角相等)，∴∠FBD=∠ADB(等 量代换)．∴EB=ED(等角对等边)．设 AE=xcm，则 DE=(16 一 x)cm，即 EB=(16 一 x)cm，在 Rt△ABE 中，AB2=BE 2 一 AE 2 即 l22=(16 一 x) 2 一 x 2，解得 x=3．5．即 AE 的长为 3．5 cm． (2)BA⊥AD， ∴S△BDE= 1 2 DE•BA= 1 2 ×(1 6—3.5)×12=75(cm2 )． 11．(1)证明：由题意得 B′F=BF，∠B′FE=∠BFE．在矩形 ABCD 中，AD∥BC， ∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′F=B′E．∴ B′E=BF． (2)解：a，b ,f 三者关系有两种情况．①a，b,c 三者存在的关系是 a 2 十 b 2=c 2 .证明如下：连接 BE，则 BE= B′E．由(1)
知B′E=BF=c∴BE=C.在△ABE中,∠A=90°∴AE+AB=BE2∵AE=aAB=b, ∴a2+b2=c2.②a.b,c三者存在的关系是a+b>c证明如下:连接BE,则BE=B E.由(1)知B′E=BF=C,BE=f.在△ABE中,AE+AB>BE∴a+b>c 12.解:(1)C[提示:认真观察,用圆规或直尺进行比较,此方法 适用于标准作图.](2牧童C的划分方案不符合他们商量的 划分原则.理山如下:如图1-52所示,在正方形DEFG中,四边 形HENM,MNFP,DHRG都是矩形,且HN=NPHG,则EN=NF, HENM-=S矩形MNFP,取正方形边长为2.设HD=x, 则HE=2-x,在Rt△HEN和Rt△DHG中,由HN=HG,得 EH2+EN2=DH2+DG2,即(2一x)2+12=x2+2,解得x=,∴HE=2-x 7 S矩形HENM=S矩形MNFP=1×=,∴S矩形DHPG≠S矩形HEMN ∴牧童C的划分方案不符合他们商量的原则
知 B′E=BF=c∴BE=c．在△ABE 中，∠A=90°∴AE 2+AB2=BE 2∵AE=a AB=b， ∴a 2+b 2=c 2．②a．b，c 三者存在的关系是 a+b>c 证明如下：连接 BE，则 BE=B′ E．由(1)知 B′E=BF=c，BE=f．在△ABE 中，AE+AB>BE∴a+b>c. 12．解：(1)C [提示：认真观察，用圆规或直尺进行比较，此方法 适用于标准作图．] (2)牧童 C 的划分方案不符合他们商量的． 划分原则．理山如下：如图 1－52 所示，在正方形 DEFG 中，四边 形 HENM，MNFP，DHPG 都是矩形，且 HN=NP=HG，则 EN=NF， S 矩形 HENM=S 矩形 MNFP，取正方形边长为 2．设 HD=x， 则 HE=2 一 x,在 Rt△HEN 和 Rt△DHG 中，由 HN=HG，得 EH2+EN2=DH2+DG2，即(2 一 x) 2+l2=x 2+22，解得 x = 1 4 ,∴HE=2－ x = 7 4 , ∴S 矩形 HENM=S 矩形 MNFP=1× 7 4 = 7 4 ,∴S 矩形 DHPG≠S 矩形 HEMN ∴牧童 C 的划分方案不符合他们商量的原则． [来源:Z.x x .k.Co m]