河南必考题型专题:三角形中的动态变化问题 1.有一根直尺,短边的长为4cm,长边的长为10cm,还有一块锐角为45°的直角三角 形纸板,它的斜边长16cm如图①,将直尺的短边DE与直角三角形纸板的斜边AB重合, 且点D与点A重合,将直尺沿AB方向平移,如图②、图③设直尺平移的长度为xcm,且 满足0≤x≤12,直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为Sm2当x=0时, 当x=6时,S AD)E BAD E BA DE B 图① 图② 图③ 2.(2017南阳新野县模拟)如图①,P,Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB,BC 上的动点,点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为lcm/s (1)连接AQ,CP交于点M,则在点P,Q运动的过程中,∠CMQ的大小变化吗?若变 化,请说明理由:若不变,求出它的度数: (2)何时△PBQ是直角三角形? (3)如图②,若点P,Q在运动到终点后继续在射线AB,BC上运动,直线AQ,CP的 交点为M,则∠CMO的大小变化吗?若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数 B 图① 3★(2017南阳唐河县四模)已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE
河南必考题型专题：三角形中的动态变化问题 1．有一根直尺，短边的长为 4cm，长边的长为 10cm，还有一块锐角为 45°的直角三角 形纸板，它的斜边长 16cm.如图①，将直尺的短边 DE 与直角三角形纸板的斜边 AB 重合， 且点 D 与点 A 重合，将直尺沿 AB 方向平移，如图②、图③.设直尺平移的长度为 xcm，且 满足 0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为 Scm2 .当 x＝0 时， S＝________；当 x＝4 时，S＝________；当 x＝6 时，S＝________． 2．(2017·南阳新野县模拟)如图①，P，Q 分别是边长为 4cm 的等边△ABC 边 AB，BC 上的动点，点 P 从顶点 A、点 Q 从顶点 B 同时出发，且它们的速度都为 1cm/s. (1)连接 AQ，CP 交于点 M，则在点 P，Q 运动的过程中，∠CMQ 的大小变化吗？若变 化，请说明理由；若不变，求出它的度数； (2)何时△PBQ 是直角三角形？ (3)如图②，若点 P，Q 在运动到终点后继续在射线 AB，BC 上运动，直线 AQ，CP 的 交点为 M，则∠CMQ 的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． 3．★(2017·南阳唐河县四模)已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ADE
90°,F为BE的中点,连接DF,CF[提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 1)如图①,当点D在AB上,点E在AC上,请直接写出此时线段DF,CF的数量关 系和位置关系(不用证明) (2)如图②,在(1)的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45时,请你判断此时(1)中的结 论是否仍然成立,并证明你的判断 (3)如图③,在()条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°,若AD=1,AC=22,求 此时线段CF的长(直接写出结果) B B 图① 图② 图③
＝90°，F 为 BE 的中点，连接 DF，CF.[提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半] (1)如图①，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请直接写出此时线段 DF，CF 的数量关 系和位置关系(不用证明)； (2)如图②，在(1)的条件下将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 45°时，请你判断此时(1)中的结 论是否仍然成立，并证明你的判断； (3)如图③，在(1)的条件下将△ADE 绕点 A 顺时针旋转 90°，若 AD＝1，AC＝2 2，求 此时线段 CF 的长(直接写出结果)．
参考答案与解析 2.解:(1)∠CMQ的大小不变,且∠CMQ=60°∵在等边△ABC中,AB=AC,∠B= ∠CAP=60°又由题意得AP=BQ,∴△ABQ≌△CAP,∴∠BAQ=∠ACP,∵∠CMQ=∠ACP +∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60° (2)设点P,Q运动时间为s,则AP=BQ=1cm,PB=(4-cm应分两种情况进行讨论 ①当∠PQB=90时,∵∠B=60,∠BPQ=30,PB=2BQ,即4-1=2,解得冖 ②当∠BPQ=909时,∵∠B=60,∴∠BQP=30,BQ=2BP,即1=24-0,解得1=3 综上可知,当点P,Q运动时间为3或3时,△PBQ是直角三角形 (3)∠CMQ的大小不变,且∠CMQ=120°:在等边△ABC中,BC=AC,∠ABC=∠ACB 60°,∴∠PBC=∠ACQ=120°又由题意得BP=CQ,∴△PBC≌△QCA,∴∠BPC ∠MQC∴∠PCB=∠MCQ,∴∠CMQ=∠PBC=120° 3.解:(1)DF=CF且DF⊥CF.解析:∵∠ACB=∠ADE=90°,F为BE的中点,∴DF 2BE,CF=2BE,∴DF=CF△ABC是等腰直角三角形,∠4BC=45.BF=DF, ∴∠DBF=∠BDF.∠DFE=∠DBF+∠BDF,∴∠DFE=2∠DBF.同理得∠CFE= 2∠CBF,∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°,即∠DFC=90°, DF⊥CF,∴DF=CF且DF⊥CF. (2)()中的结论仍然成立.证明如下:此时点D落在AC上,延长DF交BC于点G∴∠ADE 90°,则∠CDE=90°=∠ACB,∴DE∥BC,∴∠DEF=∠GBF,∠EDF=∠BGF.∵F为 BE的中点,∴EF=BF,∴△DEF≌△GBF,∴DE=GB,DF=GF∴∵△ADE是等腰直角三 角形,∴AD=DE,∴AD=GB.∵AC=BC,∴AC-AD=BC一GB,即DC=GC.∵∠ACB= 90°,∴△DCG是等腰直角三角形.∵DF=GF,∴DF=CF且DF⊥CF (3)CF 解析:延长DF交BA于点H∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形 ∴AC=BC,AD=DE,∴∠AED=∠ABC=45°由旋转可得∠CAE=∠BAD=90°∵∠ACB =90°,∴AE∥BC,∴∠AEB=∠CBE,∴∠DEF=∠HBF∴F是BE的中点,∴EF BF.∵∠EFD=∠BFH,∴△DEF≌△HBF,∴DE=HB,DF=HF连接CH,CD,∵CB CA,∠CAD=90°-∠BAC=45°=∠CBH,AD=DE=HB,∵△ADC≌△BHC,∴∠ACD =∠BCH∵∠BCH+∠HCA=90°,∴∠ACD+∠HCA=90°,即∠DCH=90°又∵DF=FH, CF=DF在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=4∵AD=1,∴ED=BH=1,∴AH=3在 Rt△HAD中,由勾股定理得DH=√10,∴DF ∴CF
参考答案与解析 1．8cm2 24cm2 28cm2 2．解：(1)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ＝60°.∵在等边△ABC 中，AB＝AC，∠B＝ ∠CAP＝60°.又由题意得AP＝BQ，∴△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ＝∠ACP，∴∠CMQ＝∠ACP ＋∠CAM＝∠BAQ＋∠CAM＝∠BAC＝60°. (2)设点 P，Q 运动时间为 ts，则 AP＝BQ＝tcm，PB＝(4－t)cm.应分两种情况进行讨论： ①当∠PQB＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴PB＝2BQ，即 4－t＝2t，解得 t＝ 4 3 ； ②当∠BPQ＝90°时，∵∠B＝60°，∴∠BQP＝30°，∴BQ＝2BP，即 t＝2(4－t)，解得 t＝ 8 3 . 综上可知，当点 P，Q 运动时间为4 3 s 或 8 3 s 时，△PBQ 是直角三角形． (3)∠CMQ 的大小不变，且∠CMQ＝120°.∵在等边△ABC 中，BC＝AC，∠ABC＝∠ACB ＝60°，∴∠PBC＝∠ACQ＝120°.又由题意得 BP＝CQ，∴△PBC≌△QCA，∴∠BPC＝ ∠MQC.∵∠PCB＝∠MCQ，∴∠CMQ＝∠PBC＝120°. 3．解：(1)DF＝CF 且 DF⊥CF. 解析：∵∠ACB＝∠ADE＝90°，F 为 BE 的中点，∴DF ＝ 1 2 BE，CF＝ 1 2 BE，∴DF＝CF.∵△ABC 是等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.∵BF＝DF， ∴∠DBF ＝ ∠BDF.∵∠DFE ＝ ∠ DBF ＋ ∠BDF ， ∴∠DFE ＝ 2∠DBF. 同 理得 ∠CFE ＝ 2∠CBF ， ∴∠EFD＋ ∠EFC ＝ 2∠DBF ＋ 2∠CBF ＝ 2∠ABC ＝ 90°， 即 ∠DFC＝ 90°， ∴DF⊥CF，∴DF＝CF 且 DF⊥CF. (2)(1)中的结论仍然成立．证明如下：此时点D落在AC上，延长DF 交BC于点G.∵∠ADE ＝90°，则∠CDE＝90°＝∠ACB，∴DE∥BC，∴∠DEF＝∠GBF，∠EDF＝∠BGF.∵F 为 BE 的中点，∴EF＝BF，∴△DEF≌△GBF，∴DE＝GB，DF＝GF.∵△ADE 是等腰直角三 角形，∴AD＝DE，∴AD＝GB.∵AC＝BC，∴AC－AD＝BC－GB，即 DC＝GC.∵∠ACB＝ 90°，∴△DCG 是等腰直角三角形．∵DF＝GF，∴DF＝CF 且 DF⊥CF. (3)CF＝ 10 2 . 解析：延长 DF 交 BA 于点 H.∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形， ∴AC＝BC，AD＝DE，∴∠AED＝∠ABC＝45°.由旋转可得∠CAE＝∠BAD＝90°.∵∠ACB ＝90°，∴AE∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠DEF＝∠HBF.∵F 是 BE 的中点，∴EF＝ BF.∵∠EFD＝∠BFH，∴△DEF≌△HBF，∴DE＝HB，DF＝HF.连接 CH，CD，∵CB＝ CA，∠CAD＝90°－∠BAC＝45°＝∠CBH，AD＝DE＝HB，∴△ADC≌△BHC，∴∠ACD ＝∠BCH.∵∠BCH＋∠HCA＝90°，∴∠ACD＋∠HCA＝90°，即∠DCH＝90°.又∵DF＝FH， ∴CF＝DF.在 Rt△ABC 中，由勾股定理得 AB＝4.∵AD＝1，∴ED＝BH＝1，∴AH＝3.在 Rt△HAD 中，由勾股定理得 DH＝ 10，∴DF＝ 10 2 ，∴CF＝ 10 2