第一章检测卷 时间:120分钟 满分:120分 题号 总分 得分 、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是() 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=70°,则∠A的度数是() B B 第2题图 第4题图 第5题图 3.用反证法证明“在同一平面内,若a⊥c,b⊥c,则a∥b”时,应假设( A.a不垂直于cB.a,b都不垂直于c C.a与b相交D.a⊥b 4.如图,已知∠ABC=∠BAD,添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是() A.AC=BDB.∠CAB=∠DBA C.∠C=∠DD.BC=AD 5.如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论不一定成立 的是() A.PA=PBB.PO平分∠APB C.AB垂直平分OPD.∠OBA=∠OAB 6.已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4,则该等腰三角形的周长为() A.8或10B.8C.10D.6或12 7.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,交AC于点E,∠A=∠ABE 若AC=5,BC=3,则BD的长为() A.2.5B.1.5C.2D.1 第7题图 第8题图 8.如图,等边△ABC的三条角平分线相交于点O,过点O作EF∥BC,分别交AB于
第一章检测卷 时间：120 分钟 满分：120 分 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题(每小题 3 分，共 30 分) 1．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ) A. 3， 4， 5 B．1， 2， 3 C．6，7，8 D．2，3，4 2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠B＝70°，则∠A 的度数是( ) A．70° B．55° C．50° D．40° 第 2 题图 第 4 题图 第 5 题图 3．用反证法证明“在同一平面内，若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b”时，应假设( ) A．a 不垂直于 c B．a，b 都不垂直于 c C．a 与 b 相交 D．a⊥b 4．如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD 的是( ) A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD 5．如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B.下列结论不一定成立 的是( ) A．PA＝PB B．PO 平分∠APB C．AB 垂直平分 OP D．∠OBA＝∠OAB 6．已知一个等腰三角形的两边长分别是 2 和 4，则该等腰三角形的周长为( ) A．8 或 10 B．8 C．10 D．6 或 12 7．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE⊥CD，交 AC 于点 E，∠A＝∠ABE. 若 AC＝5，BC＝3，则 BD 的长为( ) A．2.5 B．1.5 C．2 D．1 第 7 题图 第 8 题图 8．如图，等边△ABC 的三条角平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥BC，分别交 AB 于
点E,交AC于点F,则图中的等腰三角形有() A.4个B.5个C.6个D.7个 9.如图,∠A=50°,点O是AB,AC垂直平分线的交点,则∠BCO的度数是() C 第9题图 第10题图 10.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点 两边PE,PF分别交AB,AC于点E,F,连接EF交AP于点G给出以下四个结论:①∠B ∠C=45°:②AE=CF;③△EPF是等腰直角三角形:④四边形AEPF的面积是△ABC面 积的一半.其中正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 填空题(每小题3分,共15分) l1.等腰三角形两腰上的高相等,这个命题的逆命题是 ,这个逆命题是 命题 12.如图,点E在正方形ABCD内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的 面积是 A A C B 第12题图 第13题图 13.如图,在平面直角坐标系中,BC平分∠ABO交y轴正半轴于点C,AB=m,S△ABC =m,则点C的坐标为 14.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD是BC边上的中线,M为AC上 点,且CM=CD,则∠ADM= A B 第14题图 第15题图
点 E，交 AC 于点 F，则图中的等腰三角形有( ) A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．7 个 9．如图，∠A＝50°，点 O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，则∠BCO 的度数是( ) A．40° B．50° C．60° D．70° 第 9 题图 第 10 题图 10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点， 两边 PE，PF 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 EF 交 AP 于点 G.给出以下四个结论：①∠B ＝∠C＝45°；②AE＝CF；③△EPF 是等腰直角三角形；④四边形 AEPF 的面积是△ABC 面 积的一半．其中正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题(每小题 3 分，共 15 分) 11 ． 等 腰 三 角 形 两 腰 上 的 高 相 等 ， 这 个 命 题 的 逆 命 题 是 __________________________________________，这个逆命题是________命题． 12．如图，点 E 在正方形 ABCD 内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的 面积是________． 第 12 题图 第 13 题图 13．如图，在平面直角坐标系中，BC 平分∠ABO 交 y 轴正半轴于点 C，AB＝m，S△ABC ＝m，则点 C 的坐标为________． 14．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD 是 BC 边上的中线，M 为 AC 上 一点，且 CM＝CD，则∠ADM＝________°. 第 14 题图 第 15 题图
15.如图,正方形ABCD的边长是16,点E在边AB上,AE=3,点F是边BC上不与 点B,C重合的一个动点,把△EBF沿EF折叠,点B落在B'处.若△CDB恰为等腰三角形, 则以DB为边的正方形的面积为 三、解答题(本大题共8个小题,满分75分) 16.(8分)如图,在△ABC中,已知AB=AC,∠BAC和∠ACB的平分线相交于点D, ADC=125°,求∠ACB和∠BAC的度数 17.(9分)如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=7,BC=24,三角形内有一点P到各边 的距离相等,PE⊥AB,PF⊥BC,PD⊥AC,垂足分别为E,F,D,求PD的长 18.(9分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC, 垂足分别为E,F (1)求证:△BED≌△CFD; (2)若∠A=60°,BE=1,求△ABC的周长
15．如图，正方形 ABCD 的边长是 16，点 E 在边 AB 上，AE＝3，点 F 是边 BC 上不与 点 B，C 重合的一个动点，把△EBF 沿 EF 折叠，点 B 落在 B′处．若△CDB′恰为等腰三角形， 则以 DB′为边的正方形的面积为________． 三、解答题(本大题共 8 个小题，满分 75 分) 16．(8 分)如图，在△ABC 中，已知 AB＝AC，∠BAC 和∠ACB 的平分线相交于点 D， ∠ADC＝125°，求∠ACB 和∠BAC 的度数． 17．(9 分)如图，在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝7，BC＝24，三角形内有一点 P 到各边 的距离相等，PE⊥AB，PF⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为 E，F，D，求 PD 的长． 18．(9 分)如图，在△ABC 中，AB＝AC，D 为 BC 边的中点，过点 D 作 DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别为 E，F. (1)求证：△BED≌△CFD； (2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC 的周长．
9.(9分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30° (1)尺规作图:作线段AB的垂直平分线l保留作图痕迹,不写作法) (2)在已作的图形中,若l分别交AB,AC,BC的延长线于点D,E,F,连接BE求证: EF=2DE 20.(9分)如图,在△ABC中,∠BAC=106°,MP,NQ分别垂直平分AB,AC (1)当AB=AC时,∠1的度数为 (2)若AB≠AC,请问(1)中的结论还成立吗?请通过计算说明 21.(10分)如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别是AB,BC,CA上的点 (1)若AD=BE=CF,问△DEF是等边三角形吗?试证明你的结论 2)若△DEF是等边三角形,问AD=BE=CF成立吗?试证明你的结论
19．(9 分)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°. (1)尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在已作的图形中，若 l 分别交 AB，AC，BC 的延长线于点 D，E，F，连接 BE.求证： EF＝2DE. 20．(9 分)如图，在△ABC 中，∠BAC＝106°，MP，NQ 分别垂直平分 AB，AC. (1)当 AB＝AC 时，∠1 的度数为________； (2)若 AB≠AC，请问(1)中的结论还成立吗？请通过计算说明． 21．(10 分)如图，△ABC 是等边三角形，点 D，E，F 分别是 AB，BC，CA 上的点． (1)若 AD＝BE＝CF，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； (2)若△DEF 是等边三角形，问 AD＝BE＝CF 成立吗？试证明你的结论．
22.(10分)已知△ABC是等边三角形,D是三角形外一动点,满足∠ADB=60° (1)如图①,当D点在AC的垂直平分线上时,求证:DB=AD+CD (2)如图②,当D点不在AC的垂直平分线上时,(1)中的结论是否仍然成立?请说明理 23.(11分)(1)发现:如图①,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b 填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示); (2)应用:如图②,点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1分别以AB,AC为边作 等边△ABD,等边△ACE,连接CD,BE ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由 ②直接写出线段BE长的最大值 (3)拓展:如图③,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0), 点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,求线段AM长的最大值及此 时点P的坐标 M A B 图① 图② 备用图
22．(10 分)已知△ABC 是等边三角形，D 是三角形外一动点，满足∠ADB＝60°. (1)如图①，当 D 点在 AC 的垂直平分线上时，求证：DB＝AD＋CD； (2)如图②，当 D 点不在 AC 的垂直平分线上时，(1)中的结论是否仍然成立？请说明理 由． 23．(11 分)(1)发现：如图①，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝a，AB＝b. 填空：当点 A 位于____________时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 ________(用含 a，b 的式子表示)； (2)应用：如图②，点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC＝3，AB＝1.分别以 AB，AC 为边作 等边△ABD，等边△ACE，连接 CD，BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； ②直接写出线段 BE 长的最大值； (3)拓展：如图③，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)， 点 P 为线段 AB 外一动点，且 PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段 AM 长的最大值及此 时点 P 的坐标．
参考答案与解析 1.B2.D3C4.A5C6C7D8.D 9.A解析:连接OA,OB.∵∠BAC=50°,∴∠ABC+∠ACB=130°∵O是AB,AC 垂直平分线的交点,∴OA=OB,OA=OC,∴∠OAB=∠OBA,∠OCA=∠OAC,OB=OC, ∠OBA+∠OCA=∠OAB+∠OC=50°,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)-(∠OBA +∠OCA)=130°-50°=80°∵OB=OC,∴∠BCO=∠CBO=40°故选A 10.D解析:∵△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠C=×(180°-909)= 45°,∴①正确;∵AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,∴AP⊥BC, BP=PC,∠BAP=∠CAP=45°=∠B=∠C,∴AP=BP=CP∠APF+∠FPC=90°,∠APF ∠EAP=∠C, +∠APE=90°,∴∠FPC=∠EPA在△APE和△CPF中,AP=CP ∠EPA=∠FPC, △APE≌△CPF(ASA),∴E=CF,∴②正确;由△APE≌△CPF可得PE= PF.∵∠EPF=90°,∴△EPF是等腰直角三角形,∴③正确:∵△APE≌△CPF,∴S△AP S△CpF.BP=CP,∴S S四边形AEPF=S△APE+S△APF=S△CPF+S△APF=S△APC S△ABC,∴④正确;即正确的有4个.故选D 如果一个三角形两边上的高相等,那么这个三角形是等腰三角形真 12.7613.(0,2)14 15.80或256解析:△CDB为等腰三角形分三种情况:(1)当BD=BC时,过点B 作GH⊥CD,分别交AB,CD于G,H,如图①所示.∵BD=BC,∴DH=CH正方形 ABCD中,AB∥CD,∴∠BGE=∠BHC=90°,∴AG=DH=DC=8,∴EG=AG-AE=8 3=5,BE=AB-AE=13由折叠的性质,得BE=BE=13.∵BG=BE2-EG2=169-25 =144,∴BG=12,∴BH=GH-BG=16-12=4.∵DB2=BH2+DH=42+82=80,∴以 DB为边的正方形的面积为80:(2)当DB′=CD时,如图②所示,则DB=16(易知点F在BC 上且不与点C、B重合).∴以DB为边的正方形的面积为256:(3)当CD=CB时,CB=CB 又∵EB=EB,EF=EF,∴△EBC≌△EBC易知△EBC与△EBC关于直线EC轴对称,此 时,点F与点C重合,不符合题意,舍去.综上所述,以DB为边的正方形的面积为80或 256 A H 16.解:∵AB=AC,AE平分∠BAC,∴AE⊥BC等腰三角形三线合一).(2分)∵∠ADC CDE=55°,∴∠DCE=90°-∠CDE=35°∵CD平分∠ACB,∴∠ACB 2∠DCE=70°(5分)又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=70°,∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB) 40°8分) 17.解:连接AP,BP,CP设PE=PF=PD=x.∵在△ABC中,∠ABC=90°,AB=7
参考答案与解析 1．B 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.D 9．A 解析：连接 OA，OB.∵∠BAC＝50°，∴∠ABC＋∠ACB＝130°.∵O 是 AB，AC 垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC， ∴∠OBA＋∠OCA＝∠OAB＋∠OAC＝50°，∴∠OBC＋∠OCB＝(∠ABC＋∠ACB)－(∠OBA ＋∠OCA)＝130°－50°＝80°.∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝40°.故选 A. 10．D 解析：∵△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝ 1 2 ×(180°－90°)＝ 45°，∴①正确；∵AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF 的顶点 P 是 BC 的中点，∴AP⊥BC， BP＝PC，∠BAP＝∠CAP＝45°＝∠B＝∠C，∴AP＝BP＝CP.∵∠APF＋∠FPC＝90°，∠APF ＋∠APE＝90°，∴∠FPC＝∠EPA.在△APE 和△CPF 中， ∠EAP＝∠C， AP＝CP， ∠EPA＝∠FPC， ∴△APE≌△CPF(ASA) ， ∴AE ＝ CF ， ∴②正 确； 由 △APE≌△CPF 可 得 PE ＝ PF.∵∠EPF＝90°，∴△EPF 是等腰直角三角形，∴③正确；∵△APE≌△CPF，∴S△APE＝ S△CPF.∵BP＝CP，∴S△APC＝ 1 2 S△ABC，∴S 四边形 AEPF＝S△APE＋S△APF＝S△CPF＋S△APF＝S△APC＝ 1 2 S△ABC，∴④正确；即正确的有 4 个．故选 D. 11．如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 真 12．76 13.(0，2) 14.15 15．80 或 256 解析：△CDB′为等腰三角形分三种情况：(1)当 B′D＝B′C 时，过点 B′ 作 GH⊥CD，分别交 AB，CD 于 G，H，如图①所示．∵B′D＝B′C，∴DH＝CH.∵正方形 ABCD 中，AB∥CD，∴∠B′GE＝∠B′HC＝90°，∴AG＝DH＝ 1 2 DC＝8，∴EG＝AG－AE＝8 －3＝5，BE＝AB－AE＝13.由折叠的性质，得 B′E＝BE＝13.∵B′G2＝B′E 2－EG2＝169－25 ＝144，∴B′G＝12，∴B′H＝GH－B′G＝16－12＝4.∵DB′ 2＝B′H2＋DH2＝4 2＋8 2＝80，∴以 DB′为边的正方形的面积为 80；(2)当 DB′＝CD 时，如图②所示，则 DB′＝16(易知点 F 在 BC 上且不与点 C、B 重合)．∴以 DB′为边的正方形的面积为 256；(3)当 CD＝CB′时，CB＝CB′. 又∵EB＝EB′，EF＝EF，∴△EBC≌△EB′C.易知△EBC 与△EB′C 关于直线 EC 轴对称，此 时，点 F 与点 C 重合，不符合题意，舍去．综上所述，以 DB′为边的正方形的面积为 80 或 256. 16．解：∵AB＝AC，AE 平分∠BAC，∴AE⊥BC(等腰三角形三线合一)．(2 分)∵∠ADC ＝125°，∴∠CDE＝55°，∴∠DCE＝90°－∠CDE＝35°.∵CD 平分∠ACB，∴∠ACB＝ 2∠DCE＝70°.(5 分)又∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°－(∠B＋∠ACB) ＝40°.(8 分) 17．解：连接 AP，BP，CP.设 PE＝PF＝PD＝x.∵在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝7
BC=24,∴C=V4B2+BC2=25,SABC=4BCB=84(4分)又∵S△ABC=1BPE+5BCPF 4CPD=(AB+BC+AOx=×56x=28x,(7分)∴28x=84,解得x=3故PD=39分) 冬点(8.()证明::AB=AC,∠B=∠C∴:DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠DEB=∠DFC=90:D BC的中点,∴BD=CD(2分)在△BED与△CFD中,∵∠DEB=∠DFC,∠B=∠C,BD =CD,∴△BED≌△CFD(AAS).(4分) (2)解:∵AB=AC,∠A=60°,∴△ABC是等边三角形,∴AB=BC=CA,∠B=60°(6 分)又∵DE⊥AB,∴∠EDB=30°,∴在Rt△BED中,BD=2BE=2,∴BC=2BD=4,(8 分)∴△ABC的周长为AB+BC+CD=3BC=12(9分) 19.(1)解:如图所示,(3分) D F (2)证明:如图,∵∠ACB=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°∵DF垂直平分AB,∴EA EB,∠2=∠A=30°,∴∠1=60°∠2=30°6分)在R△BDE中,∵∠2=30°,∴BE= 2DE∴∠3=90°,∴∠F=90°-∠ABC=30°=∠1,∴EF=BE,∴EF=2DE(9分) 20.解:(1)32°(3 (2)成立.(4分)理由如下:∵∠BAC=106°,∴∠B+∠C=180°-106°=74°:MP,NQ 分别垂直平分AB,AC,∴PB=PA,QC=QA,∴∠PAB=∠B,∠QAC=∠C,(7分)∴∠PAB +∠QAC=∠B+∠C=749,∴∠1=∠BAC-(∠PAB+∠QAO=106°—74°=32°(9分) 21.解:(1)△DEF是等边三角形.(1分)证明如下:∵△ABC是等边三角形,∴∠A= ∠B=∠C,AB=BC=CA又∵AD=BE=CF,∴DB=EC=FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE, (3分)∴DF=ED=FE∴△DEF是等边三角形.(5分) A F E C ()AD=BE=CF成立,(6分)证明如下:如图,∵△DEF是等边三角形,∴DE=EF= D,∠FDE=∠DEF=∠EFD=60°∴∠1+∠2=120°(8分)∵△ABC是等边三角形,∴∠A ∠B=∠C=60,∴∠2+∠3=120,∴∠1=∠3.同理∠3=∠4,易证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS),∴AD=BE=CF(10分) 22.(1)证明:∵D点在AC的垂直平分线上,∴AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∠CDB ∠ADB=60°,∴∠DAC=30°(2分)∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,∴∠BAD= ∠BAC+∠DAC=90°,∴∠ABD=90°—∠ADB=30°,∴BD=2AD=AD+CD4分) (2)解:成立.(5分)理由如下:在DB上截取DE=AD,连接AE∴∠ADB=60°,∴△ADE
BC＝24，∴AC＝ AB2＋BC2＝25，S△ABC＝ 1 2 AB·CB＝84.(4 分)又∵S△ABC＝ 1 2 AB·PE＋ 1 2 BC·PF ＋ 1 2 AC·PD＝ 1 2 (AB＋BC＋AC)·x＝ 1 2 ×56x＝28x，(7 分)∴28x＝84，解得 x＝3.故 PD＝3.(9 分) 18．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D 是 BC 的中点，∴BD＝CD.(2 分)在△BED 与△CFD 中，∵∠DEB＝∠DFC，∠B＝∠C，BD ＝CD，∴△BED≌△CFD(AAS)．(4 分) (2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.(6 分)又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∴在 Rt△BED 中，BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，(8 分)∴△ABC 的周长为 AB＋BC＋CD＝3BC＝12.(9 分) 19．(1)解：如图所示．(3 分) (2)证明：如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°.∵DF 垂直平分 AB，∴EA ＝EB，∠2＝∠A＝30°，∴∠1＝60°－∠2＝30°.(6 分)在 Rt△BDE 中，∵∠2＝30°，∴BE＝ 2DE.∵∠3＝90°，∴∠F＝90°－∠ABC＝30°＝∠1，∴EF＝BE，∴EF＝2DE.(9 分) 20．解：(1)32°(3 分) (2)成立．(4 分)理由如下：∵∠BAC＝106°，∴∠B＋∠C＝180°－106°＝74°.∵MP，NQ 分别垂直平分 AB，AC，∴PB＝PA，QC＝QA，∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，(7 分)∴∠PAB ＋∠QAC＝∠B＋∠C＝74°，∴∠1＝∠BAC－(∠PAB＋∠QAC)＝106°－74°＝32°.(9 分) 21．解：(1)△DEF 是等边三角形．(1 分)证明如下：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A＝ ∠B＝∠C，AB＝BC＝CA.又∵AD＝BE＝CF，∴DB＝EC＝FA.∴△ADF≌△BED≌△CFE， (3 分)∴DF＝ED＝FE.∴△DEF 是等边三角形．(5 分) (2)AD＝BE＝CF 成立．(6 分)证明如下：如图，∵△DEF 是等边三角形，∴DE＝EF＝ FD，∠FDE＝∠DEF＝∠EFD＝60°.∴∠1＋∠2＝120°.(8 分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ 60°， ∴∠2 ＋ ∠3 ＝ 120°， ∴∠1 ＝ ∠3. 同 理 ∠3 ＝ ∠4 ， 易 证 △ADF≌△BED≌△CFE(AAS)，∴AD＝BE＝CF.(10 分) 22．(1)证明：∵D 点在 AC 的垂直平分线上，∴AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，∠CDB ＝∠ADB＝60°，∴∠DAC＝30°.(2 分)∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠BAD＝ ∠BAC＋∠DAC＝90°，∴∠ABD＝90°－∠ADB＝30°，∴BD＝2AD＝AD＋CD.(4 分) (2)解：成立．(5 分)理由如下：在 DB 上截取 DE＝AD，连接 AE.∵∠ADB＝60°，∴△ADE
是等边三角形,∴AE=AD,∠EAD=60°∴∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60 ∴∠BAE=∠CAD(7分)在△BE和△CAD中,1∠BAE=∠CAD,∴△BAE≌△CAD,∴BE =CD,∴BD=DE+BE=AD+CD(10分) 23.解:(1)CB的延长线上a+b(2分) (2)①CD=BE(3分)理由如下:∵∴△ABD与△ACE是等边三角形,∴AD=AB,AC=AE ∠BAD=∠CAE=60°,∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB(4分)在 AD=AB △CAD与△EAB中,{∠CAD=∠EAB, AC=AE, ∴△CAD≌△EAB,∴CD=BE(5分) ②线段BE长的最大值为4.解析:∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值,由(1) 知,当线段CD的长取得最大值时,点D在CB的延长线上,∴线段BE长的最大值为BD +BC=AB+BC=4(6分) (3)如图a,∵∴将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,则△APN是等 腰直角三角形,∴PN=PA=2,BN=AM∴点A的坐标为(2,0),点B的坐标为5,0),∴OA 2,OB=5,∴AB=3,∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值,∴当点N在线段 BA的延长线时,线段BN的长取得最大值,最大值为AB+AN∵AN=√2AP=2E,线段 AM长的最大值为2V2+3(9分)点N在线段BA延长线的图形如图b所示,过P作PE⊥x 轴于E∴△APN是等腰直角三角形,PE=AE=√2,OE=OA-AE=2-V2,∴P2-, 2).(11分) B Bx 图 图b
是等边三角形，∴AE＝AD，∠EAD＝60°.∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAE＝∠CAD.(7 分)在△BAE 和△CAD 中， AB＝AC， ∠BAE＝∠CAD， AE＝AD， ∴△BAE≌△CAD，∴BE ＝CD，∴BD＝DE＋BE＝AD＋CD.(10 分) 23．解：(1)CB 的延长线上 a＋b(2 分) (2)①CD＝BE.(3 分)理由如下：∵△ABD 与△ACE 是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE， ∠BAD＝∠CAE＝60°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.(4 分)在 △CAD 与△EAB 中， AD＝AB， ∠CAD＝∠EAB， AC＝AE， ∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.(5 分) ②线段 BE 长的最大值为 4. 解析：∵线段 BE 长的最大值＝线段 CD 的最大值，由(1) 知，当线段 CD 的长取得最大值时，点 D 在 CB 的延长线上，∴线段 BE 长的最大值为 BD ＋BC＝AB＋BC＝4.(6 分) (3)如图 a，∵将△APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△PBN，连接 AN，则△APN 是等 腰直角三角形，∴PN＝PA＝2，BN＝AM.∵点 A 的坐标为(2，0)，点 B 的坐标为(5，0)，∴OA ＝2，OB＝5，∴AB＝3，∴线段 AM 长的最大值＝线段 BN 长的最大值，∴当点 N 在线段 BA 的延长线时，线段 BN 的长取得最大值，最大值为 AB＋AN.∵AN＝ 2AP＝2 2，∴线段 AM 长的最大值为 2 2＋3.(9 分)点 N 在线段 BA 延长线的图形如图 b 所示，过 P 作 PE⊥x 轴于 E.∵△APN 是等腰直角三角形，∴PE＝AE＝ 2，∴OE＝OA－AE＝2－ 2，∴P(2－ 2， 2)．(11 分)