河南特色题型专题:分类讨论思想在三角形中的运用 1.(2017河南中考)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=√2+1,点M, N分别是边BC,AB上的动点,沿MN所在的直线折叠∠B,使点B的对应点B始终落在边 AC上.若△MBC为直角三角形,则BM的长为 D E B 第1题图 第2题图 第3题图 2.★(2017河南模拟)如图,在等腰Rt△ABC中,AB=AC=1,F是边BC上不与B,C 两点重合的动点,直线l垂直平分BF,垂足为点D当△AFC是等腰三角形时,BD的长为 3.★(2017开封一模)如图,在长方形ABCD中,AD=8,AB=6,点E为射线DC上 一个动点,把△ADE沿AE折叠,使点D落在点F处.若△CEF为直角三角形,则DE的 长为 4.如图,在长方形ABCD中,AB=6,AD=2√3,E是AB边上一点,AE=2,F是直 线CD上一动点,将△AEF沿直线EF折叠,点A的对应点为点A当E,A,C三点在一条 直线上时,求DF的长 A A E B
河南特色题型专题：分类讨论思想在三角形中的运用 1．(2017·河南中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝ 2＋1，点 M， N 分别是边 BC，AB 上的动点，沿 MN 所在的直线折叠∠B，使点 B 的对应点 B′始终落在边 AC 上．若△MB′C 为直角三角形，则 BM 的长为__________． 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2．★(2017·河南模拟)如图，在等腰 Rt△ABC 中，AB＝AC＝1，F 是边 BC 上不与 B，C 两点重合的动点，直线 l 垂直平分 BF，垂足为点 D.当△AFC 是等腰三角形时，BD 的长为 ________． 3．★(2017·开封一模)如图，在长方形 ABCD 中，AD＝8，AB＝6，点 E 为射线 DC 上 一个动点，把△ADE 沿 AE 折叠，使点 D 落在点 F 处．若△CEF 为直角三角形，则 DE 的 长为________． 4．如图，在长方形 ABCD 中，AB＝6，AD＝2 3，E 是 AB 边上一点，AE＝2，F 是直 线 CD 上一动点，将△AEF 沿直线 EF 折叠，点 A 的对应点为点 A′.当 E，A′，C 三点在一条 直线上时，求 DF 的长．
5.(2017河南模拟)如图,在R△ABC中,BC=AC=4,D是斜边AB上的一个动点, 把△ACD沿直线CD折叠,点A落在同一平面内的点A处.当AD垂直于Rt△ABC的直角 边时,求AD的长 A B 6.★如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=4,P为AD上一动点,连接BP,把△ABP 沿BP折叠,使A落在A处.当△ADC为等腰三角形时,求AP的长 A
5．(2017·河南模拟)如图，在 Rt△ABC 中，BC＝AC＝4，D 是斜边 AB 上的一个动点， 把△ACD 沿直线 CD 折叠，点 A 落在同一平面内的点 A′处．当 A′D 垂直于 Rt△ABC 的直角 边时，求 AD 的长． 6．★如图，在长方形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，P 为 AD 上一动点，连接 BP，把△ABP 沿 BP 折叠，使 A 落在 A′处．当△A′DC 为等腰三角形时，求 AP 的长．
参考答案与解析 √2+1 或1解析:应分两种情况进行讨论:(1)如图①,当∠BMC=90°时,点B与 点A重合,此时M是BC的中点,BM=BC=y3 22(2)如图②,当∠MBC=90°时,∵∠A 0°,AB=AC,∴∠C=45°,∴△CMB是等腰直角三角形,∴CM=EMB由折叠可知 BM=BM,:CM=EBM∵BC=√2+1,∴CM+BM=√EBM+BM=E+1,∴BM=1综 上所述,当△MBC为直角三角形时,BM的长为 A(B') N B′ M 图① √2 解析:∵等腰Rt△ABC中,AB=AC=1,∴∠B=∠C=45°,BC AB2+AC=√2分两种情况进行讨论:①当AF=CF时,∠FAC=∠C=45°,∴∠AFC= 90°,∴AF⊥BC,∴BF=CF==BC ∴直线l垂直平分BF,∴BD=BF=;②当CF C=1时,BF=BC-CF=V-1:直线垂直平分BF,:BD=5BF=2综上所述, BD的长为2或 3.或8或 7 解析:∵四边形ABCD是长方形,∴∠D=∠B=90°,CD=AB=6, ∴AC=VAD2+CD2=182+62=10.当△CEF为直角三角形时,有三种情况:(1)当点F落在 AC上时,∠CFE=90°,如图①所示.由折叠的性质得EF=DE,AF=AD=8,∴CF=AC AF=2设DE=x,则EF=x,CE=6-x在R△CEF中,由勾股定理得EF2+CF2=CE2, 即x2+2=(6-x),解得x=,即DE=5:(2)当点F落在AB边上,∠CEF=9时,如图 ②所示.由折叠可知∠DAE=∠EAE.∴∠D=∠DAF=90°,∴∠DAE=45°,∴△DAE为等 腰直角三角形,∴DE=AD=8(3)当点F落在BC边上时,∠C=90°,如图③所示,由折叠 可知AF=AD=8在Rt△ABF中,BF=AFP-AB2=2设DE=EF=x,则CE=6-x,CF =BC-BF=8-27在Rt△EFC中,EF=EC+CF,即x2=(6-x)2+(8-2万),∴x 3,即DE=32-8V5 综上所述,当△CEF为直角三角形时,DE的长为或8或 D D B B 图① 图② 图③
参考答案与解析 1. 2＋1 2 或 1 解析：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当∠B′MC＝90°时，点 B′与 点 A 重合，此时 M 是 BC 的中点，∴BM＝ 1 2 BC＝ 2＋1 2 ；(2)如图②，当∠MB′C＝90°时，∵∠A ＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝ 2MB′.由折叠可知 BM＝B′M，∴CM＝ 2BM.∵BC＝ 2＋1，∴CM＋BM＝ 2BM＋BM＝ 2＋1，∴BM＝1.综 上所述，当△MB′C 为直角三角形时，BM 的长为 2＋1 2 或 1. 2. 2 4 或 2－1 2 解析：∵等腰 Rt△ABC 中，AB＝AC＝1，∴∠B＝∠C＝45°，BC＝ AB2＋AC2＝ 2.分两种情况进行讨论：①当 AF＝CF 时，∠FAC＝∠C＝45°，∴∠AFC＝ 90°，∴AF⊥BC，∴BF＝CF＝ 1 2 BC＝ 2 2 .∵直线 l 垂直平分 BF，∴BD＝ 1 2 BF＝ 2 4 ；②当 CF ＝CA＝1 时，BF＝BC－CF＝ 2－1.∵直线 l 垂直平分 BF，∴BD＝ 1 2 BF＝ 2－1 2 .综上所述， BD 的长为 2 4 或 2－1 2 . 3.8 3 或 8 或 32－8 7 3 解析：∵四边形 ABCD 是长方形，∴∠D＝∠B＝90°，CD＝AB＝6， ∴AC＝ AD2＋CD2＝ 8 2＋6 2＝10.当△CEF 为直角三角形时，有三种情况：(1)当点 F 落在 AC 上时，∠CFE＝90°，如图①所示．由折叠的性质得 EF＝DE，AF＝AD＝8，∴CF＝AC －AF＝2.设 DE＝x，则 EF＝x，CE＝6－x.在 Rt△CEF 中，由勾股定理得 EF2＋CF2＝CE2， 即 x 2＋2 2＝(6－x) 2，解得 x＝ 8 3 ，即 DE＝ 8 3 ；(2)当点 F 落在 AB 边上，∠CEF＝90°时，如图 ②所示．由折叠可知∠DAE＝∠FAE.∵∠D＝∠DAF＝90°，∴∠DAE＝45°，∴△DAE 为等 腰直角三角形，∴DE＝AD＝8.(3)当点 F 落在 BC 边上时，∠C＝90°，如图③所示．由折叠 可知 AF＝AD＝8.在 Rt△ABF 中，BF＝ AF2－AB2＝2 7.设 DE＝EF＝x，则 CE＝6－x，CF ＝BC－BF＝8－2 7.在 Rt△EFC 中，∵EF2＝EC2＋CF2，即 x 2＝(6－x) 2＋(8－2 7) 2，∴x＝ 32－8 7 3 ，即DE＝ 32－8 7 3 .综上所述，当△CEF 为直角三角形时，DE 的长为8 3 或8或 32－8 7 3
4.解:应分两种情况进行讨论:(1)如图①,当F是线段CD上的点时,由折叠可知∠FEA =∠FEA.CD∥AB,∴∠CFE=∠AEF,∴∠CFE=∠CEF,∴CE=CF在R△BCE中 由勾股定理得CE=BC+EB=(23)2+4=2,∴CF=CE=2:CD=AB=6 ∴DF=CD-CF=6-2万:(2)如图②,当F是DC延长线上的点时,同理可得CF=CE V∵CD=AB=6,∴DF=CD+CF=6+27综上所述,DF的长为6+2√或6-2V DF E 图① (2 5.解:∵在Rt△ABC中,BC=AC=4,∴AB=4互,∠A=∠B=45°分两种情况讨论 (1)如图①,当AD⊥AC时,∵AC⊥BC,∴AD∥BC,∴∠A=∠ACB设AD=x,由折叠 可知∠A'=∠A=45°,AD=AD=x,∴∠ACB=45°又∵∠B=45°,∴AC⊥AB设AC交 AB于点H,由勾股定理易得BH=2BC DH=-A D==x'AD+DH+HB=AB ∴AB=A(+BC=4,x+2x+2V=4,解得x=4V-4,∴AD=42-4:(2)如 图②,当AD⊥BC时,易知AD∥AC,∴∠ACD=∠ADC由折叠可知AD=AD,AC=AC, ∠ACD=∠ACD,∴∠ADC=∠ACD,∴AD=AC,∴AD=AC=4综上所述,AD的长为 图 6.解:应分三种情况进行讨论:(1)如图①,当AD=AC时,过点A作EF⊥CD交DC 于点E,交AB于点F,则EF垂直平分CD,EF垂直平分AB,∴AA=AB.由折叠得AB=AB ∠ABP=∠ABP,∴△ABA是等边三角形,∴∠ABP=30°.AB=2,∴由勾股定理得AP= 2 E B C 图① (2)如图②,当AD=DC时,AD=2由折叠得AB=AB=2,∴AB+AD=2+2=4连接 BD,在R△ABD中,由勾股定理得BD=AB2+AD=2+42=25,∴AB+AD<BD不
4．解：应分两种情况进行讨论：(1)如图①，当 F 是线段 CD 上的点时，由折叠可知∠FEA ＝∠FEA′.∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF.在 Rt△BCE 中， 由勾股定理得 CE＝ BC2＋EB2＝ （2 3）2＋4 2＝2 7，∴CF＝CE＝2 7.∵CD＝AB＝6， ∴DF＝CD－CF＝6－2 7；(2)如图②，当 F 是 DC 延长线上的点时，同理可得 CF＝CE＝ 2 7.∵CD＝AB＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋2 7.综上所述，DF 的长为 6＋2 7或 6－2 7. 5．解：∵在 Rt△ABC 中，BC＝AC＝4，∴AB＝4 2，∠A＝∠B＝45°.分两种情况讨论： (1)如图①，当 A′D⊥AC 时，∵AC⊥BC，∴A′D∥BC，∴∠A′＝∠A′CB.设 AD＝x，由折叠 可知∠A′＝∠A＝45°，A′D＝AD＝x，∴∠A′CB＝45°.又∵∠B＝45°，∴A′C⊥AB.设 A′C 交 AB 于点 H，由勾股定理易得 BH＝ 2 2 BC＝2 2，DH＝ 2 2 A′D＝ 2 2 x.∵AD＋DH＋HB＝AB， ∴AB＝ AC2＋BC2＝4 2，x＋ 2 2 x＋2 2＝4 2，解得 x＝4 2－4，∴AD＝4 2－4；(2)如 图②，当 A′D⊥BC 时，易知 A′D∥AC，∴∠ACD＝∠A′DC.由折叠可知 AD＝A′D，AC＝A′C， ∠ACD＝∠A′CD，∴∠A′DC＝∠A′CD，∴A′D＝A′C，∴AD＝AC＝4.综上所述，AD 的长为 4 2－4 或 4. 6．解：应分三种情况进行讨论：(1)如图①，当 A′D＝A′C 时，过点 A′作 EF⊥CD 交 DC 于点 E，交 AB 于点 F，则 EF 垂直平分 CD，EF 垂直平分 AB，∴A′A＝A′B.由折叠得 AB＝A′B， ∠ABP＝∠A′BP，∴△ABA′是等边三角形，∴∠ABP＝30°.∵AB＝2，∴由勾股定理得 AP＝ 2 3 3； (2)如图②，当 A′D＝DC 时，A′D＝2.由折叠得 A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′D＝2＋2＝4.连接 BD，在 Rt△ABD 中，由勾股定理得 BD＝ AB2＋AD2＝ 2 2＋4 2＝2 5，∴A′B＋A′D＜BD(不
合题意),故这种情况不存在; 图( (3)如图③,当CD=CA时,CA=2由折叠得AB=AB=2,∴A'B+AC=2+2=4 ∴点A落在BC的中点处.此时∠ABP=∠ABA=45°,∴AP=AB=2 综上所述,当△ADC为等腰三角形时,AP=2或2 A 图③
合题意)，故这种情况不存在； (3) 如图③，当 CD＝CA′时，CA′＝2.由折叠得 A′B＝AB＝2，∴A′B＋A′C＝2＋2＝4， ∴点 A′落在 BC 的中点处．此时∠ABP＝ 1 2 ∠ABA′＝45°，∴AP＝AB＝2. 综上所述，当△A′DC 为等腰三角形时，AP＝ 2 3 3或 2