第一章三角形的证明周周测6 角平分线的性质和判定 选择题 1.如图所示,把一个长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别在DC的位置,若∠EFB=65°, 则∠AED等于() A.70°B.65°C.50 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图所示.在ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于 点E.若AB=6cm,则DEB的周长为() A. 12 cm b. 8 cm C. 6cm D. 4 3.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC.BC上的点,若△ADB≌△EDB≌△EDC,则 ∠C的度数为() B.20°C.25°D.30° 4.如图所示,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B,下列结论不一定成 立的是() A.PA=PBB.PO平分∠APB C.OA=OBD.AB垂直平分OP 第4题图 第5题图 第6题图 5.如图,已知点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂足分别为 A,C.下列结论错误的是() A. AD=CP B.△ABP≌△CBP C.△ABD≌△CBDD.∠ADB=∠CDB 6.如图所示,AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,若PA=PB, 则∠1与∠2的大小是() ∠1>∠2 C.∠1<∠2 D.无法确定 二、填空题 1.已知AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,且DE=5cm,则点D到AC的距离是 2.如图,△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,在以下 结论中:①△ADE≌△ADF;②△BDE≌△CDF;③△ABD≌△ACD;④AE=AF;⑤BE=CF
第一章 三角形的证明周周测 6 角平分线的性质和判定 一、选择题 1．如图所示，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别在 D′,C′的位置，若 ∠ EFB=65°， 则∠AED′等于 （ ） A．70° B．65° C．50° D．25° 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2．如图所示．在 ABC 中，AC=BC，∠C=90°，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于 点 E．若 AB=6 cm，则 DEB 的周长为 （ ） A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm 3．如图所示，D，E 分别是△ABC 的边 AC．BC 上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则 ∠C 的度数为 （ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 4．如图所示，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B，下列结论不一定成 立的是 （ ） A．PA=PB B．PO 平分∠APB C．OA=OB D．AB 垂直平分 OP 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5. 如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为 A，C．下列结论错误的是（ ）． A．AD=CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB=∠CDB． 6. 如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为 D、C，AD 与 BC 相交于点 P，若 PA＝PB， 则∠1 与∠2 的大小是（ ） A.∠1＝∠2 B.∠1＞∠2 C.∠1＜∠2 D.无法确定 二、填空题 1. 已知 AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E,且 DE=5cm,则点 D 到 AC 的距离是_____. 2. 如图，△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，在以下 结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；
⑥BD=CD.其中正确结论的个数是 A E M 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,DE⊥AB,垂足为E,BC=6,CD=3, AE=4,则 AD= ,△ABC的周长是 4.如图,△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D,DE是AB的垂直平分线 DE=-BD,且DE=1.5cm,则AC等于 5.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,已知BC=8cm,BD=5cm,则点D到AB的距离 为 6.如图所示,∠AOB=40°,OM平分∠AOB,MA⊥OA于A,MB⊥OB于B,则∠MAB 的度数为 三、证明题 1.如图,已知D为△ABC的BC边的中点,DE、DF分别平分∠ADB和∠ADC, 求证:BE+CF>EF 2.如图,已知CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,CD交BE于点O (1)若OC=OB,求证:点O在∠BAC的平分线上 (2)若点O在∠BAC的平分线上,求证:OC=OB 3.如图,四边形ABCD中,AB=AD,AB⊥BC,AD⊥CD,P是对角线AC上一点 求证:PB=PD
⑥BD=CD．其中正确结论的个数是_______. 第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图 第 5 题图 3. 如图，Rt△ABC 中，∠C=90º，BD 是角平分线，DE⊥AB，垂足为 E，BC=6，CD=3， AE=4，则 DE=_______，AD=_______，△ABC 的周长是_______． 4. 如图，△ABC 中，∠C=90º，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，DE 是 AB 的垂直平分线， DE= 1 2 BD，且 DE=1.5cm，则 AC 等于________. 5. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC，已知 BC=8cm，BD=5cm，则点 D 到 AB 的距离 为_______． 6．如图所示，∠AOB=40°，OM 平分∠AOB，MA⊥OA 于 A，MB⊥OB 于 B，则∠MAB 的度数为________． 三、证明题 1.如图，已知 D 为△ABC 的 BC 边的中点，DE、DF 分别平分∠ADB 和∠ADC， 求证：BE＋CF>EF. 2．如图，已知 CD⊥AB 于 D，BE⊥AC 于 E，CD 交 BE 于点 O． ⑴若 OC=OB，求证：点 O 在∠BAC 的平分线上． ⑵若点 O 在∠BAC 的平分线上，求证：OC=OB． 3.如图，四边形 ABCD 中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P 是对角线 AC 上一点， 求证：PB=PD
D 参考答案 选择题 1.答案:C 解析:【解答】∵折痕EF恰为∠DED的角平分线,∴∠DEF=∠DEF 又∵AD∥BC,∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED=65°×2=130°∴∠AED=180°一∠DED=50° 【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质可知答案 2.答案:C 解析:【解答】∵∠C=90°,AD平分∠CAB交BC于点D,DE⊥AB于点E ∴DE=DC ∴AE=AC=BC . BE +DE+BD=BD+DC+BE=BC +BE=AC+BE=AE+BE=AB=6 cm 【分析】利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可知答案 3.答案:D 解析:【解答】∵△ADB≌△EDB≌△EDC,∴∠C=∠DBE=∠DBA ∠DEC=∠DEB=∠A=90°,∴∠C=30 【分析】根据△ADB≌△EDB≌△EDC,可证∠C=∠DBE=∠DBA ∠DEC=∠DEB=∠A=90°,可知答案 4.答案:D 解析:【解答】∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B, ∴PA=PB,(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) △OAP≌△OBP,(HL ∴OA=OB,∠APO=∠BPO ∴AB垂直平分OP 【分析】证明△OAP≌△OBP,可得答案 5.答案:A 解析:【解答】∵点D是∠ABC的平分线上一点,点P在BD上,PA⊥AB,PC⊥BC,垂 足分别为A,C ∴PA=PC ∴△ABP≌△CBP△ABD≌△CBD ∠ADB=∠CDB故选A 【分析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP,△ABD≌△CBD ∠ADB=∠CDB三项成立,A项不成立能推出AD=DC,也能推得AP=PC 6.答案:A
P D C B A 参考答案 一、选择题 1. 答案：C 解析：【解答】∵折痕 EF 恰为∠DED′的角平分线，∴∠DEF=∠D′EF． 又∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=65°∴∠DED′=65°×2=130°∴∠AED′=180°一∠DED′=50°． 【分析】利用角平分线的性质和平行线的性质可知答案. 2. 答案：C 解析：【解答】∵∠C=90°，AD 平分∠CAB 交 BC 于点 D，DE⊥AB 于点 E． ∴DE=DC， ∴AE=AC=BC， ∴BE＋DE＋BD=BD＋DC＋BE＝BC＋BE=AC＋BE=AE＋BE=AB=6 cm． 【分析】利用角平分线的性质和等腰三角形的性质可知答案. 3. 答案：D 解析：【解答】∵△ADB≌△EDB≌△EDC，∴∠C=∠DBE=∠DBA， ∠DEC=∠DEB=∠A=90°，∴∠C=30° 【分析】根据△ADB≌△EDB≌△EDC，可证∠C=∠DBE=∠DBA， ∠DEC=∠DEB=∠A=90°，可知答案. 4. 答案：D 解析：【解答】∵OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为 A，B， ∴PA=PB, （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∴△OAP≌△OBP，(HL) ∴OA=OB，∠APO=∠BPO ∴AB 垂直平分 OP 【分析】证明△OAP≌△OBP，可得答案． 5. 答案：A 解析：【解答】∵点 D 是∠ABC 的平分线上一点，点 P 在 BD 上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂 足分别为 A，C． ∴PA=PC ∴△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD , ∴∠ADB=∠CDB,故选 A 【分析】通过角平分线上的性质的运用推得△ABP≌△CBP ,△ABD≌△CBD , ∠ADB=∠CDB 三项成立,A 项不成立,能推出 AD=DC,也能推得 AP=PC. 6. 答案：A
解析:【解答】∵AD⊥OB,BC⊥OA,垂足分别为D、C,AD与BC相交于点P,PA=PB ∠CPA=∠DPB ∴△CPA≌△∠DPB(AAS) ∴PC=PD 【分析】∵AD⊥OB,BC⊥OA,PA=PB,由角平分线的判定可知∠1=∠2. 二、填空题 1.答案:5 解析:【解答】∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E ∴点D到AB、AC的距离相等 点D到AC的距离是5 【分析】利用角平分线的性质:角平分线上的一点到角的两边距离相等即可知道答案 2.答案:2 解析:【解答】∵AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC △ADE≌△ADF ∴AE=AF,故正确结论的个数是2 【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理 3.答案:3,5,24 解析:【解答】∵Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,DE⊥AB, ∴CD=DE=3,∴Rt△BCD≌Rt△BED,∴BC=BE=6,又∵AE=4,∴AB=10,∴AC=8, ∴AD=5,∴△ABC的周长=24 【分析】利用角的平分线的性质、勾股定理和全等三角形的判定定理 4.答案:4.5 解析:【解答】∵∠C=90°,BD平分∠ABC交AC于D, ∴DE=CD=1.5 又∵DE=-BD,∴BD=3 ∵DE是AB的垂直平分线 ∴BD=AD=3.∴AC=4.5 【分析】利用角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质,可知答案 5.答案:3 解析:【解答】如图所示 AD平分∠CAB,DC⊥AC于点C,DM⊥AB于点M ∴CD=DM, ∴DM=CD=BC-BD=8-5=3. 【分析】利用角的平分线的性质 6.答案: 解析:【解答】∵OM平分∠AOB ∠AO ∴∠AOM=∠BOM =20° 又∵MA⊥OA于A,MB⊥OB于B, ∴MA=MB Rt△OAM≌Rt△OBM, ∠AMO=∠BMO=70°
解析：【解答】∵AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为 D、C，AD 与 BC 相交于点 P，PA＝PB， ∠CPA=∠DPB ∴△CPA≌△∠DPB(AAS) ∴PC=PD ∴∠1＝∠2 【分析】∵AD⊥OB，BC⊥OA，PA＝PB，由角平分线的判定可知∠1＝∠2． 二、填空题 1. 答案：5 解析：【解答】∵AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E， ∴点 D 到 AB、AC 的距离相等 ∴点 D 到 AC 的距离是 5 【分析】利用角平分线的性质：角平分线上的一点到角的两边距离相等即可知道答案. 2. 答案：2． 解析：【解答】∵AD 为∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴△ADE≌△ADF ∴AE=AF，故正确结论的个数是 2. 【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理. 3. 答案：3，5，24 解析：【解答】∵Rt△ABC 中，∠C=90º，BD 是角平分线，DE⊥AB， ∴CD=DE=3，∴Rt△BCD ≌Rt△BED，∴BC=BE=6，又∵AE=4，∴AB=10，∴AC=8， ∴AD=5，∴△ABC 的周长=24. 【分析】利用角的平分线的性质、勾股定理和全等三角形的判定定理. 4. 答案：4.5 解析：【解答】∵∠C=90º，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， ∴DE=CD=1.5 又∵DE= 1 2 BD，∴BD=3. ∵DE 是 AB 的垂直平分线， ∴BD=AD=3. ∴AC=4.5 【分析】利用角的平分线的性质和线段垂直平分线的性质，可知答案. 5. 答案：3 解析：【解答】如图所示， ∵AD 平分∠CAB，DC⊥AC 于点 C，DM⊥AB 于点 M． ∴CD=DM， ∴DM=CD=BC-BD=8-5=3． 【分析】利用角的平分线的性质 6. 答案：20° 解析：【解答】∵OM 平分∠AOB， ∴∠AOM=∠BOM= 2 AOB =20°． 又∵MA⊥OA 于 A，MB⊥OB 于 B， ∴MA=MB． ∴Rt△OAM≌Rt△OBM， ∴∠AMO=∠BMO=70°， D A C M B
∴△AMN≌△BMN, ∠ANM=∠BNM=90°, ∴∠MAB=90°-70°=20° 【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理 证明题 1.答案:见解答过程 解析:【解答】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF, M D ∵DE平分∠ADB,∴∠BDE=∠EDM 又∵DM=BD,DE=DE,∴△BED≌△MED 同理可得△MFD≌△CFD BE=EM, CF=MF ∵在△EMF中,EM+MF>EF BE+CF>eF 【分析】在DA上取一点M,使DM=DB=DC,连结EM、MF,实质上是将△DBE 及△DFC分别沿DE、DF翻折180°得到△DEM及△MFD,从而使问题得到解决的 2.答案:见解答过程 解析:【解答】(1)∵CD⊥AB,BE⊥AC ∴∠CEO=∠BDO=90° ∵∠CEO=∠BDO=90°,∠EOC=∠DOB(对顶角相等),OC=OB(已知) △COE≌△BOD(AAS) ∴OE=OD ∴点O在∠BAC的平分线上(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上) (2)∵点O在∠BAC的平分线上,CD⊥AB,BE⊥AC OC=OB(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等) ∠CEO=∠BDO=90°,∠EOC=∠DOB(对顶角相等),OD=OE ∴△COE≌△BOD.(ASA OC=OB(全等三角形的对应边相等) 【分析】(1)证明△COE≌△BOD得到OE=OD:(2)先由角平分线的性质证明O=OD, 再证明△COE≌△BOD 3.答案:见解答过程 解析:【解答】∵AB=AD,AB⊥BC,AD⊥CD,AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)
∴△AMN≌△BMN， ∴∠ANM=∠BNM=90°， ∴∠MAB=90°-70°=20°． 【分析】利用角的平分线的性质和全等三角形的判定定理 三、证明题 1. 答案：见解答过程 解析：【解答】在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ， ∵ DE 平分∠ADB ，∴ ∠BDE= ∠EDM. 又∵ DM=BD ， DE=DE ，∴ △BED ≌△MED. 同理可得△MFD ≌△CFD. ∴ BE=EM ， CF=MF. ∵ 在△EMF 中， EM＋MF>EF. ∴ BE＋CF>EF. 【分析】在 DA 上取一点 M ，使 DM=DB=DC ，连结 EM 、 MF ，实质上是将△DBE 及△DFC 分别沿 DE 、 DF 翻折 180° 得到△DEM 及△MFD ，从而使问题得到解决的 . 2. 答案：见解答过程 解析：【解答】（1）∵CD⊥AB，BE⊥AC ∴∠CEO=∠BDO=90° ∵∠CEO=∠BDO=90°，∠EOC=∠DOB（对顶角相等），OC=OB（已知）， ∴△COE≌△BOD（AAS） ∴OE=OD ∴点 O 在∠BAC 的平分线上（在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平分 线上） （2）∵点 O 在∠BAC 的平分线上， CD⊥AB，BE⊥AC ∴OC=OB（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等） ∵∠CEO=∠BDO=90°，∠EOC=∠DOB（对顶角相等），OD=OE ∴△COE≌△BOD.（ASA） ∴OC=OB（全等三角形的对应边相等） 【分析】（1）证明△COE≌△BOD 得到 OE=OD；（2）先由角平分线的性质证明 OE=OD， 再证明△COE≌△BOD. 3. 答案：见解答过程 解析：【解答】∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC ∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴CB=CD(全等三角形的对应边相等) AC平分∠BAD(在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 AB=AD,∠BAP=∠ADP,AP=AP ∴△APB≌△APD(SAS) PB=PD(全等三角形的对应边相等) 【分析】先证R△ABC≌Rt△ADC,再证△APB≌△APD
∴CB=CD（全等三角形的对应边相等） ∴AC 平分∠BAD（在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上） ∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP ∴△APB≌△APD.(SAS) ∴PB=PD. （全等三角形的对应边相等） 【分析】先证 Rt△ABC≌Rt△ADC，再证△APB≌△APD