第一章三角形的证明周周测1 等腰三角形 、选择题 如图1-22所示,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC= AD,则∠A等于() A.30 B.4 C.45 C 2.在等腰梯形ABCD中,∠ABC=2∠ACB,BD平分∠ABC,AD∥BC,如 图1-23所示,则图中的等腰三角形有() A.1个B.2个C.3个D.4个 3.如图1-24所示,在口ABCD中,已知AD=8cm,AB=6cm,DE平 分∠ADC交BC边于点E,则BE等于( A. 2 cm B. 4 cm c. 6 cm d. 8 cm 4.下面几种三角形 ①有两个角为60°的三角形; ②三个外角都相等的三角形 ③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形 ④有一个角为60°的等腰三角形 其中是等边三角形的有 A.4个B.3个C.2个D.1个 、填空题 5.用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时,第 步应假设 6.等腰三角形的顶角a>90°,如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰 三角形分成了两个等腰三角形,那么a的度数为 、解答题
第一章 三角形的证明周周测 1 等腰三角形 一、选择题 1．如图 1－22 所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝ AD，则∠A 等于 ( ) A．30° B．40° C．45° D．36° 2．在等腰梯形 ABCD 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 平分∠ABC，AD∥BC，如 图 1－23 所示，则图中的等腰三角形有 ( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3．如图 1－24 所示，在 □ ABCD 中，已知 AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平 分∠ADC 交 BC 边于点 E，则 BE 等于 ( ) A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm 4．下面几种三角形： ①有两个角为 60°的三角形；[来源:学*科*网] ②三个外角都相等的三角形； ③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形； ④有一个角为 60°的等腰三角形． 其中是等边三角形的有 ( ) A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题 5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时，第一 步应假设 . 6．等腰三角形的顶角 α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰 三角形分 成了两个等腰三角形，那么 α 的度数为 ． 三、解答题
7.如图1-25所示,四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点,∠ 2,∠3=∠4.求证: (1)△ABC≌△ADC; d2 )B0=DO 图1-2 8.文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时, 画出图形,如图1-26所示,写出已知、求证,她们对各自所作的辅助线描述 如下 文文:过点A作BC的中垂线AD,垂足为D 彬彬:作△ABC的角平分线AD 数学老师看了两位同学的辅助线作法后,说:“彬彬的作法是正确的,而 文文的作法需要改正.” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里; (2)根据彬彬的辅助线作法,完成证明过程 9.四边形ABCD是正方形
7．如图 1－25 所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1＝ ∠2，∠3＝∠4．求证： (1)△ABC≌△ADC； (2)BO＝DO． 8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时， 画出图形， 如图 1－26 所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述 如下： 文文：过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D． 彬彬：作△ABC 的角平分线 AD． 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而 文文的作法 需要改正．” (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里； (2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程． 9．四边形 ABCD 是正方形．
(1)如图1-27(1)所示,点G是BC边上任意一点(不与B,C两点重合), 连接AG,作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E.求证△ABF≌△DAE (2)在(1)中,线段EF与AF,BF的等量关系是:(不需证明,直接写 出结论即可) (3)如图1-27(2)所示,若点G是CD边上任意一点(不与C,D两点重合, 作BF⊥AG于点F,DE⊥AG于点E,那么图中的全等三角形是,线段EF 与AF,BF的等量关系是.(不需证明,直接写出结论即可) 图1-27 10.如图1-28所示,D为△ABC的边AB的延长线上一点,过D作DF ⊥AC,垂足为F,交BC于E,且BD=BE,求证△ABC是等腰三角形 11.如图1-29所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,点 E在AC上.CE=BC,过点E作AC的垂线,交CD的延长线于点F,求证AB
(1)如图 1－27(1)所示，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B，C 两点重合)， 连接 AG，作 BF⊥AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E．求证△ABF≌△DAE； (2)在(1)中，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 ；(不需证明，直接写 出结论即可) (3)如图 1－27(2)所示，若点 G 是 CD 边上任意一点(不与 C，D 两点重合)， 作 BF⊥AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E，那么图中的全等三角形是 ，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 ．(不需证明，直接写出结论即可) 10．如图 1－28 所示，D 为△ABC 的边 AB 的延长线上一点，过 D 作 DF ⊥AC，垂足为 F，交 BC 于 E，且BD＝BE，求证△ABC 是等腰三角形． 11．如图 1－29 所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 在 AC 上．CE ＝BC，过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F，求证 AB
参考答案 1.D提示:本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形 的性质.由AD=BD,得∠A=∠ABD,∠BDC=2∠A,由BD=BC,得∠C=∠ BDC=2∠A.由AB=AC,得∠ABC=∠C=2∠A,由三角形内角和定理,得∠ A+2∠A+2∠A=180°,即 ∠A=36°.] 2.D提示:△ABD,△ACD,△AOD,△BOC都是等腰三角形 3.A提示:由DE平分∠ADC,得∠ADE=∠CDE,由AD∥BC,得∠ADE ∠CED,∴∠CED=∠CDE,∴EC=DC=6cm,∴BE=BC-EC=8-6= cm) 4.B[提示:利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形,③为 等腰三角形 5.三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°) 6.108°[提示:画出图形,利用三角形内角和求解 7.证明:(1)在△ABC和△ADC中,∵∠1=∠2,AC=AC,∠3=∠4, ∴△ABC≌△ADC.(2)由(1)知AB=AD,又:∠1=∠2,AO=AO,∴△ABO ≌△ADO,∴OB=OD
＝FC． 参考答案 1．D[提示：本题综合考查三角形内角和定理、外角的 性质及等腰三角形 的性质．由 AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由 BD＝BC，得∠C＝∠ BDC＝2∠A．由 AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠ A+2∠A+2∠A＝180°，即 ∠A＝36°．] 2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC 都是等腰三角形．] 3．A[提示：由 DE 平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由 AD∥BC，得∠ADE ＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝ 2(cm)．][来源:学.科.网 Z.X.X.K] 4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为 等腰三角形．][来源:Zx x k .Co m] 5．三角形中没有大于或等于 60°的角(或三角形的所有内角都小于 60°) 6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．] 7．证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4， ∴△ABC≌△ADC． (2)由(1 )知 AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO ≌△ADO，∴OB＝OD．[来源:学§科§网Z§X§X§K]
8.解:(1)过点A作BC的垂线,不一定过BC的中点,如果连接点A和 BC中点D,则AD与BC不一定垂直.(2)证明:作△ABC的角平分线AD,则 ∠BAD=∠CAD,又∵∠B=∠C,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴AB=AC. 9.(1)证明:在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠BF+∠ DAE=90°.在Rt△ABF中,∠BAF+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DAE.在△ ABF与△DAE中,∠ABF=∠DAE,∠AFB=∠DEA=90°,AB=DA,∴△ABF ≌△DAE(AAS).O2EF=AF-BF(3)△ABF≌△ DAE EF=BF-AF 10.证明:∵DF⊥AC,∴∠DFA=∠EFC=90 ∠A+∠D=90°,∠ C+∠1= 90°,∴∠A∠D=∠C+∠1.又∵BD=BE,∴∠2=∠D(等边 对等角).又∵∠1=∠2,∴∠1=∠D,∴∠A+∠D=∠C+∠D,∴∠A=∠C, ∴AB=BC(等角对等边),∴△ABC是等腰三角形 11.证明:FE⊥AC于点E,∠ACB=90°,∴∠FEC=∠ACB=90°,∴ ∠F+∠ECF=90°.又∵CD⊥AB于点D,∴∠A+∠ECF=90°,∴∠A=∠F.在 △ABC和△FCE中,∠A=∠F,∠ACB=∠FEC,BC=CE,∴△ABC≌△FCE, ∴AB=FC
8．解：(1)过点 A 作 BC 的垂线，不一定过 BC 的中点，如果连接点 A 和 BC 中点D，则 AD 与 BC 不一定垂直． (2)证明：作△ABC 的角平分线 AD，则 ∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC． 9．(1)证明：在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠ DAE＝90°．在 Rt△ABF 中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ ABF 与△DAE 中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF ≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF (3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF 10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠ C+∠1＝ 90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边 对等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C， ∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC 是等腰三角形． 11．证明：FE⊥AC 于点 E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴ ∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB 于点 D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在 △ABC 和△FCE 中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE， ∴AB＝FC．[来源:学科网]