江西中考特色专题:平行四边形中的设计作图与几何探 究问题 ◆类型一平行四边形中的设计作图 1.(2016吉林中考)图①,图②都是8×8的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点 每个小正方形的边长均为1,在每个正方形网格中标注了6个格点,这6个格点简称为标注 占 图① 图② (1)请在图①,图②中,以4个标注点为顶点,各画一个平行四边形(两个平行四边形不 全等) (2)图①中所画的平行四边形的面积为 2.如图,已知∠AOB,OA=OB,点E在OB上,且四边形AEBF是平行四边形,请你 只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线(保留作图痕迹,不写作法),并说明理由 F E B 3.(2017吉州区期末)如图,在平行四边形ABCD中,点E在BC上,且AE=EC,试 分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹) (1)在图①中,画出∠DAE的平分线 (2)在图②中,画出∠AEC的平分线 C C 图① 图 4.(2017吉安期末)如图①,②,在ABCD中,AC为对角线,AC=BC,AE是△ABC
江西中考特色专题：平行四边形中的设计作图与几何探 究问题 ◆类型一 平行四边形中的设计作图 1．(2016·吉林中考)图①，图②都是 8×8 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点， 每个小正方形的边长均为 1，在每个正方形网格中标注了 6 个格点，这 6 个格点简称为标注 点． (1)请在图①，图②中，以 4 个标注点为顶点，各画一个平行四边形(两个平行四边形不 全等)； (2)图①中所画的平行四边形的面积为________． 2．如图，已知∠AOB，OA＝OB，点 E 在 OB 上，且四边形 AEBF 是平行四边形，请你 只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB 的平分线(保留作图痕迹，不写作法)，并说明理由． 3．(2017·吉州区期末)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，且 AE＝EC，试 分别在下列两个图中按要求使用无刻度的直尺画图(保留作图痕迹)． (1)在图①中，画出∠DAE 的平分线； (2)在图②中，画出∠AEC 的平分线． 4．(2017·吉安期末)如图①，②，在▱ABCD 中，AC 为对角线，AC＝BC，AE 是△ABC
的中线 (1)在图①中用无刻度的直尺画出△ABC的高CH (2)在图②中用无刻度的直尺画出△ADC的高AK E B B 图① 图② ◆类型二代几结合问题 5.在ABCD中,对角线AC,BD交于O点,AC=6,BD=2,设AB的长为x,将x 的取值范围在数轴上表示正确的是( A B 024 6.如图①,在ABCD中,∠B=120°,动点P从点B出发,沿BC,CD,DA运动至 点A停止设点P运动的路程为xcm,△PAB的面积为ycm2,y关于x的函数的图象如图② 所示,则图②中H点的横坐标为() A.1B.14C.8+3 8+3 C63 b x O4 图① x=1x=4 第6题图 第7题图 7.(2016无锡中考)如图,已知OABC的顶点A,C分别在直线x=1和x=4上,O是 坐标原点,则对角线OB长的最小值为 8.已知直线y=2x+4与x轴、y轴的交点分别为A,B,y轴上点C的坐标为(0,2), 找一点P,使得以P,A,B,C为顶点的四边形是平行四边形,则点P的坐标为 9.在平面直角坐标系中, DOABC的边OC落在x轴的正半轴上,且点C(4,0),B(6, 2),直线y=2x+1以每秒1个单位的速度向下平移,经过 秒该直线可将OABC的
的中线． (1)在图①中用无刻度的直尺画出△ABC 的高 CH； (2)在图②中用无刻度的直尺画出△ADC 的高 AK. ◆类型二 代几结合问题 5．在▱ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 O 点，AC＝6，BD＝2，设 AB 的长为 x，将 x 的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 6．如图①，在▱ABCD 中，∠B＝120°，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至 点 A 停止．设点 P 运动的路程为 xcm，△PAB 的面积为 ycm2，y 关于 x 的函数的图象如图② 所示，则图②中 H 点的横坐标为( ) A．11 B．14 C．8＋ 3 2 3 D．8＋3 3 第 6 题图 第 7 题图 7．(2016·无锡中考)如图，已知▱OABC 的顶点 A，C 分别在直线 x＝1 和 x＝4 上，O 是 坐标原点，则对角线 OB 长的最小值为________． 8．已知直线 y＝2x＋4 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A，B，y 轴上点 C 的坐标为(0，2)， 找一点 P，使得以 P ，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形，则点 P 的坐标为 ____________________． 9．在平面直角坐标系中，▱OABC 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上，且点 C(4，0)，B(6， 2)，直线 y＝2x＋1 以每秒 1 个单位的速度向下平移，经过________秒该直线可将▱OABC 的
面积平分 10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=8,BC=16,点P以每秒1个单位长度 的速度从点A出发,沿AD向点D运动;点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发 沿CB向点B运动,点P停止运动时,点Q也随之停止运动,设运动时间为t秒 (1)当t为多少时,四边形ABQD是平行四边形? (2)当t为多少时,四边形ABQP是平行四边形? A P D ◆类型三几何探究问题 11.(2016常州中考)如图,在△APB中,AB=2,∠APB=90°,在AB的同侧作正△ABD 正△APE和正△BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 D C B 第11题图 第12题图 12.如图,在□ABCD中,分别以AB,AD为边向外作等边△ABE和等边△ADF,延长 CB交AE于点G,点G落在点A,E之间,连接EF,CF,CE则以下四个结论:①CG⊥AE ②△CDF≌△EBC;③∠CDF=∠EAF:④△ECF是等边三角形.其中一定正确的是 (填序号) 13.(2016牡丹江中考在 PABCD中,点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点 AP∥CQ,AD=BD
面积平分． 10．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，AD＝8，BC＝16，点 P 以每秒 1 个单位长度 的速度从点 A 出发，沿 AD 向点 D 运动；点 Q 同时以每秒 2 个单位长度的速度从点 C 出发， 沿 CB 向点 B 运动，点 P 停止运动时，点 Q 也随之停止运动，设运动时间为 t 秒． (1)当 t 为多少时，四边形 ABQD 是平行四边形？ (2)当 t 为多少时，四边形 ABQP 是平行四边形？ ◆类型三 几何探究问题 11．(2016·常州中考)如图，在△APB 中，AB＝2，∠APB＝90°，在 AB 的同侧作正△ABD、 正△APE 和正△BPC，则四边形 PCDE 面积的最大值是________． 第 11 题图 第 12 题图 12．如图，在▱ABCD 中，分别以 AB，AD 为边向外作等边△ABE 和等边△ADF，延长 CB 交 AE 于点 G，点 G 落在点 A，E 之间，连接 EF，CF，CE.则以下四个结论：①CG⊥AE； ②△CDF≌△EBC；③∠CDF ＝∠EAF ；④△ECF 是等边三角形．其中一定正确的是 __________(填序号)． 13．(2016·牡丹江中考)在▱ABCD 中，点 P 和点 Q 是直线 BD 上不重合的两个动点， AP∥CQ，AD＝BD
B B 图① 图② 图③ (1)如图①,求证:BP+BQ=BC (2)请直接写出图②,图③中BP,BQ,BC三者之间的数量关系,不需要证明; (3)在(1)和(2)的条件下,若DQ=1,DP=3,则BC= 14.(2016龙东中考)已知点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点(点 P不与点A,C重合),分别过点A,C向直线BP作垂线,垂足分别为点E,F,点O为AC 的中
(1)如图①，求证：BP＋BQ＝BC； (2)请直接写出图②，图③中 BP，BQ，BC 三者之间的数量关系，不需要证明； (3)在(1)和(2)的条件下，若 DQ＝1，DP＝3，则 BC＝________． 14．(2016·龙东中考)已知点P 是平行四边形 ABCD 对角线AC 所在直线上的一个动点(点 P 不与点 A，C 重合)，分别过点 A，C 向直线 BP 作垂线，垂足分别为点 E，F，点 O 为 AC 的中点．
DE B 图① 图 图③ (1)当点P与点O重合时,如图①,易证OE=OF(不需证明) (2)直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时,如图②、图③的位置,猜想线 段CF,AE,OE之间有怎样的数量关系?请写出你对图②、图③的猜想,并选择一种情况 给予证明.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
(1)当点 P 与点 O 重合时，如图①，易证 OE＝OF(不需证明)； (2)直线 BP 绕点 B 逆时针方向旋转，当∠OFE＝30°时，如图②、图③的位置，猜想线 段 CF，AE，OE 之间有怎样的数量关系？请写出你对图②、图③的猜想，并选择一种情况 给予证明．(提示：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
参考答案与解析 1.解:(1)如图①,图②所示 图① (2)6 2.解:如图,OP是∠AOB的平分线.理由如下:由四边形AEBF是平行四边形可得 AP=BP又因为OA=OB,则OP是等腰三角形OAB底边AB上的中线,所以OP是∠AOB 的平分线 e B 3.解:(1)如图①所示,AC即为所求 (2)如图②所示,EO即为所求 C B 图① 4.解:(1)△ABC的高CH如图①所示 (2)△ADC的高AK如图②所示 D D E E B B H 图① 图 6.B解析:作CM⊥AB于M当点P在CD上运动时,△PAB的面积不变,由图②得 BC=4cm,∵∠ABC=120°,∴∠CBM=60°,∴∠MCB=30°,∴BM==BC=2cm,∴CM 25cm∵△ABC的面积=ABCM=ABx25=6√, AB=6cm,∴OH=4+6+4= 14(cm),∴点H的横坐标为14故选B
参考答案与解析 1．解：(1)如图①，图②所示． (2)6 2．解：如图，OP 是∠AOB 的平分线．理由如下：由四边形 AEBF 是平行四边形可得 AP＝BP.又因为 OA＝OB，则 OP 是等腰三角形 OAB 底边 AB 上的中线，所以 OP 是∠AOB 的平分线． 3．解：(1)如图①所示，AC 即为所求． (2)如图②所示，EO 即为所求． 4．解：(1)△ABC 的高 CH 如图①所示． (2)△ADC 的高 AK 如图②所示． 5．C 6．B 解析：作 CM⊥AB 于 M.当点 P 在 CD 上运动时，△PAB 的面积不变，由图②得 BC＝4cm，∵∠ABC＝120°，∴∠CBM＝60°，∴∠MCB＝30°，∴BM＝ 1 2 BC＝2cm，∴CM ＝2 3cm.∵△ABC 的面积＝1 2 AB·CM＝ 1 2 AB×2 3＝6 3，∴AB＝6cm，∴OH＝4＋6＋4＝ 14(cm)，∴点 H 的横坐标为 14.故选 B
7.5解析:当点B在x轴上时,对角线OB长最小.如图所示,直线x=1与x轴交 于点D,直线x=4与x轴交于点E,根据题意得∠ADO=∠CEB=90°,OD=1,OE=4 四边形OABC是平行四边形,∴OA=BC,OA∥BC,∴∠AOD=∠CBE在△AOD和△CBE ∠AOD=∠CBE, 中,{∠ADO=∠CEB,∴△AOD2△CBE(AAS),:OD=BE=1,:OB=OE+BE=5 LOA=BC x=4 8.(-2,-2)或(-2,2)或(2,6)解析:∵直线y=2x+4,当y=0时,x=-2当 0时,y=4,∴A-2,0),B(O,4,∴OB=4,OA=2.∴:点C的坐标为(0,2),∴OC=2, ∴BC=OB-OC=2当AC为对角线时,点P的坐标为(-2,-2);当AB为对角线时,点P 的坐标为(-2,2);当BC为对角线时,点P的坐标为(2,6).综上所述,以P,A,B,C 为顶点的四边形是平行四边形时,点P的坐标为(-2,-2)或(-2,2)或(2,6) 解析:连接AC,BO,交于点D,如图所示,当直线y=2x+1经过点D时,该 直线可将OABC的面积平分.四边形AOCB是平行四边形,∴BD=OD:B(6,2),…D3, 1).设直线y=2x+1平移后的直线为y=2x+b,∵过Ⅸ3,1),∴2×3+b=1,∴b=-5 y=2x-5,∴直线y=2x+1要向下平移6个单位,∴时间为6秒 B 10.解:(1)当四边形ABQD为平行四边形时,AD=BQ=8∵点Q速度为2个单位 Q=2,BQ=BC-CQ=16-21,∴16-21=8,解得t=4,即当t为4秒时,四边形ABQD 是平行四边形 (2)当四边形ABQP为平行四边形时,AP=BQ∴点P,Q的速度分别为1个单位/秒、2 个单位秒,∴AP=1,BQ=16-2,∴=16-21,解得=2,即当t为秒时,四边形ABQP 是平行四边形 11.1解析:延长EP交BC于点F,∵∠APB=90°,∠APE=∠BPC=60°,∴∠EPC 150°,∴∠CPF=180-150=30°=1∠CPB,:PF平分∠BPC又:PB=PC,∴PF⊥BC 设Rt△ABP中,AP=a,BP=b,则CF=CP=B a2+b2=22=4∴△APE和△ABD
7．5 解析：当点 B 在 x 轴上时，对角线 OB 长最小．如图所示，直线 x＝1 与 x 轴交 于点 D，直线 x＝4 与 x 轴交于点 E，根据题意得∠ADO＝∠CEB＝90°，OD＝1，OE＝4.∵ 四边形 OABC 是平行四边形，∴OA＝BC，OA∥BC，∴∠AOD＝∠CBE.在△AOD 和△CBE 中， ∠AOD＝∠CBE， ∠ADO＝∠CEB， OA＝BC， ∴△AOD≌△CBE(AAS)，∴OD＝BE＝1，∴OB＝OE＋BE＝5. 8．(－2，－2)或(－2，2)或(2，6) 解析：∵直线 y＝2x＋4，当 y＝0 时，x＝－2.当 x ＝0 时，y＝4，∴A(－2，0)，B(0，4)，∴OB＝4，OA＝2.∵点 C 的坐标为(0，2)，∴OC＝2， ∴BC＝OB－OC＝2.当 AC 为对角线时，点 P 的坐标为(－2，－2)；当 AB 为对角线时，点 P 的坐标为(－2，2)；当 BC 为对角线时，点 P 的坐标为(2，6)．综上所述，以 P，A，B，C 为顶点的四边形是平行四边形时，点 P 的坐标为(－2，－2)或(－2，2)或(2，6)． 9．6 解析：连接 AC，BO，交于点 D，如图所示．当直线 y＝2x＋1 经过点 D 时，该 直线可将▱OABC 的面积平分．∵四边形 AOCB 是平行四边形，∴BD＝OD.∵B(6，2)，∴D(3， 1)．设直线 y＝2x＋1 平移后的直线为 y＝2x＋b，∵过 D(3，1)，∴2×3＋b＝1，∴b＝－5， ∴y＝2x－5，∴直线 y＝2x＋1 要向下平移 6 个单位，∴时间为 6 秒． 10．解：(1)当四边形 ABQD 为平行四边形时，AD＝BQ＝8.∵点 Q 速度为 2 个单位/秒， ∴CQ＝2t，BQ＝BC－CQ＝16－2t，∴16－2t＝8，解得 t＝4，即当 t 为 4 秒时，四边形 ABQD 是平行四边形； (2)当四边形 ABQP 为平行四边形时，AP＝BQ.∵点 P，Q 的速度分别为 1 个单位/秒、2 个单位/秒，∴AP＝t，BQ＝16－2t，∴t＝16－2t，解得 t＝ 16 3 ，即当 t 为 16 3 秒时，四边形 ABQP 是平行四边形． 11．1 解析：延长 EP 交 BC 于点 F，∵∠APB＝90°，∠APE＝∠BPC＝60°，∴∠EPC ＝150°，∴∠CPF＝180°－150°＝30°＝ 1 2 ∠CPB，∴PF 平分∠BPC.又∵PB＝PC，∴PF⊥BC. 设 Rt△ABP 中，AP＝a，BP＝b，则 CF＝ 1 2 CP＝ 1 2 BP＝ 1 2 b，a 2＋b 2＝2 2＝4.∵△APE 和△ABD
都是等边三角形,∴AE=AP,AD=AB,∠EAP=∠DAB=60°,即∠EAD+∠DAP=∠PAB +∠DAP,∴:∠EAD=∠PAB,∴△EAD≌△PB(SAS),∴ED=PB=CP,同理可得 △APB≌△ DCB(SAS),∴EP=AP=CD,∴四边形CDEP是平行四边形,∴四边形CDEP 的面积为EPCF=ab=mb又∵(a-b)=a2-2ab+b2≥0,2ab≤a2+b=4,…mb≤1 即四边形PCDE面积的最大值为 C 12.②③④解析:∵在等边△ABE中,顶角平分线、底边上的中线、高是同一条线 段,∴如果CG⊥AE,则G是AE的中点,∠ABG=30°,∠ABC=150°,而题目缺少这个条 件,∴CG⊥AE不能求证,故①错误;∵△ABE、△ADF是等边三角形,∴FD=AD,BE 四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AB=DC,∠ABC=∠CDA,∴FD=BC,BE =DC∵∠FDA=∠ABE=60°,∴∠CDF=∠EBC,∴△CDF≌△EBC,故②正确;∵∠FAE ∠FAD+∠DAB+∠BAE=60°+(1809-∠CDA4)+60=300°-∠CDA,∠FDC=360° ∠FDA-∠ADC=360°-60°-∠ADC=300°-∠CDA,∴∠CDF=∠EF,故③正确:由 ②③可得∠CBE=∠EAF=∠CDF∵BC=AD=AF,BE=AE,∴△EAF≌△EBC,∴∠AEF ∠BEC,∴∠AEF+∠FEB=∠BEC+∠FEB=∠AEB=60°,∴∠FEC=60°.由②可得 △CDF≌△EBC,∴CF=CE,∴△ECF是等边三角形,故④正确;∴正确的有②③④ 13.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC,∴∠ADB= ∠CBD.∵AP∥CQ,∴∠APQ=∠CQB,∴△ADP≌△CBQ,∴DP=BQ∵AD=BD,AD= BC,∴BD=BC.∵BD=BP+DP,∴BP+BO=BC (2)解:图②:BQ-BP=BC,图③:BP-BQ=BC解析:图②同(1)可证△ABP≌△CDQ, ∴BP=DQ,∴BC=AD=BD=BQ-DQ=BQ-BP;图③同理得△ADP≌△CBQ,∴PD= BO,.. BC=AD=BD=BP-PD=BP-B0 (3)解:2或4解析:图①,BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4;图②,BC=BQ-BP PD-DQ=3-1=2,∴BC=2或4 14.解:(2)图②中的结论为CF=OE+AE,图③中的结论为CF=OE-AE 选图②中的结论,证明如下:延长EO交CF于点G∵AE⊥BP,CF⊥BP,∴AE∥CF, ∠EAO=∠GCO.∵点O为AC的中点,∴AO=CO.在△EOA和△GOC中 ∠EAO=∠GCO ∴△EOA≌△GOC,∴EO=GO,AE=CG在Rt△EFG中,∵EO=OG, ∠AOE=∠COG, ∴OE=OF=GO∴∵∠OFE=30°,∴∠OFG=90°-30°=60°,∴△OFG是等边三角形,OF GF.∵OE=OF,∴OE=FG.∵CF=FG+CG,∴CF=OE+AE. 选图③的结论,证明如下:延长EO交FC的延长线于点G∴∵AE⊥BP,CF AE∥CF,∴∠AEO=∠G∴∵点O为AC的中点,∴AO=CO在△AOE和△COG中
都是等边三角形，∴AE＝AP，AD＝AB，∠EAP＝∠DAB＝60°，即∠EAD＋∠DAP＝∠PAB ＋∠DAP ，∴∠EAD＝∠PAB ，∴△EAD≌△PAB(SAS) ，∴ED＝PB ＝CP ，同理可得 △APB≌△DCB(SAS)，∴EP＝AP＝CD，∴四边形 CDEP 是平行四边形，∴四边形 CDEP 的面积为 EP·CF＝a· 1 2 b＝ 1 2 ab.又∵(a－b) 2＝a 2－2ab＋b 2≥0，∴2ab≤a 2＋b 2＝4，∴ 1 2 ab≤1， 即四边形 PCDE 面积的最大值为 1. 12．②③④ 解析：∵在等边△ABE 中，顶角平分线、底边上的中线、高是同一条线 段，∴如果 CG⊥AE，则 G 是 AE 的中点，∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，而题目缺少这个条 件，∴CG⊥AE 不能求证，故①错误；∵△ABE、△ADF 是等边三角形，∴FD＝AD，BE＝ AB. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝DC，∠ABC＝∠CDA，∴FD＝BC，BE ＝DC.∵∠FDA＝∠ABE＝60°，∴∠CDF＝∠EBC，∴△CDF≌△EBC，故②正确；∵∠FAE ＝∠FAD＋∠DAB＋∠BAE＝60°＋(180°－∠CDA)＋60°＝300°－∠CDA，∠FDC＝360°－ ∠FDA－∠ADC＝360°－60°－∠ADC＝300°－∠CDA，∴∠CDF＝∠EAF，故③正确；由 ②③可得∠CBE＝∠EAF＝∠CDF.∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，∴△EAF≌△EBC，∴∠AEF ＝∠BEC，∴∠AEF＋∠FEB＝∠BEC＋∠FEB＝∠AEB＝60°，∴∠FEC＝60°.由②可得 △CDF≌△EBC，∴CF＝CE，∴△ECF 是等边三角形，故④正确；∴正确的有②③④. 13．(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADB＝ ∠CBD.∵AP∥CQ，∴∠APQ＝∠CQB，∴△ADP≌△CBQ，∴DP＝BQ.∵AD＝BD，AD＝ BC，∴BD＝BC.∵BD＝BP＋DP，∴BP＋BQ＝BC. (2)解：图②：BQ－BP＝BC，图③：BP－BQ＝BC 解析：图②同(1)可证△ABP≌△CDQ， ∴BP＝DQ，∴BC＝AD＝BD＝BQ－DQ＝BQ－BP；图③同理得△ADP≌△CBQ，∴PD＝ BQ，∴BC＝AD＝BD＝BP－PD＝BP－BQ. (3)解：2 或 4 解析：图①，BC＝BP＋BQ＝DQ＋PD＝1＋3＝4；图②，BC＝BQ－BP ＝PD－DQ＝3－1＝2，∴BC＝2 或 4. 14．解：(2)图②中的结论为 CF＝OE＋AE，图③中的结论为 CF＝OE－AE. 选图②中的结论，证明如下：延长 EO 交 CF 于点 G.∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF， ∴∠EAO ＝ ∠GCO.∵ 点 O 为 AC 的中点， ∴AO ＝ CO. 在 △EOA 和 △GOC 中 ， ∠EAO＝∠GCO， AO＝CO， ∠AOE＝∠COG， ∴△EOA≌△GOC，∴EO＝GO，AE＝CG.在 Rt△EFG 中，∵EO＝OG， ∴OE＝OF＝GO.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝GF.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG＋CG，∴CF＝OE＋AE. 选图③的结论，证明如下：延长 EO 交 FC 的延长线于点 G.∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF，∴∠AEO＝∠G.∵点 O 为 AC 的中点，∴AO＝CO.在△AOE 和△COG 中
∠AEO=∠G ∠AOE=∠COG,∴△AOE≌△COG,∴OE=OG,AE=CG在Rt△EFG中,∵OE=OG, A0=CO OE=OF=OG∴∵∠OFE=30°,∴∠OFG=90°-30°=60°,∴△OFG是等边三角形,∴OF =FG.∵OE=OF,∴OE=FG.CF=FG-CG,∴CF=OE-AE F A B 图② 图③
∠AEO＝∠G， ∠AOE＝∠COG， AO＝CO， ∴△AOE≌△COG，∴OE＝OG，AE＝CG.在 Rt△EFG 中，∵OE＝OG， ∴OE＝OF＝OG.∵∠OFE＝30°，∴∠OFG＝90°－30°＝60°，∴△OFG 是等边三角形，∴OF ＝FG.∵OE＝OF，∴OE＝FG.∵CF＝FG－CG，∴CF＝OE－AE