江西中考特色专题:三角形中的分类讨论思想及设计作图 ◆类型一三角形中的分类讨论思想 1.等腰三角形的一个外角等于100°,则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为【易 错2①】() A.40°,40°B.80°,20° C.80°,80°D.50°,50°或80°,20° 2.如图,点A的坐标为2,2),若点P在坐标轴上,且△APO为等腰三角形,则满足 条件的点P有() A.4个B.6个C.7个D.8个 第2题图 第3题图 3.(2017崇仁县月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,腰AC上的中线BD将三角形 的周长分为15和21两部分,则这个三角形的底边长为 【易错1】 4.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则顶角的度数可能为 错2②】 5.(2017吉安期末)某等腰三角形的腰长为5,且一边上的高为4,则底边长为 6.一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形,试求这个大等腰三角形顶角的度 数 ◆类型二三角形中的设计作图 7.(2016江西模拟)如图①和图②均是由边长为1的小正方形组成的网格,按要求用实 线画出顶点在格点上的图形.要求: (1)在图形①中画出一个面积为25的等腰三角形ABC; (2)在图②中画出一个直角三角形,使三边长均为不同的无理数 A B 图① 图
江西中考特色专题：三角形中的分类讨论思想及设计作图 ◆类型一 三角形中的分类讨论思想 1．等腰三角形的一个外角等于 100°，则与这个外角不相邻的两个内角的度数分别为【易 错 2①】( ) A．40°，40° B．80°，20° C．80°，80° D．50°，50°或 80°，20° 2．如图，点 A 的坐标为(2，2)，若点 P 在坐标轴上，且△APO 为等腰三角形，则满足 条件的点 P 有( ) A．4 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 第 2 题图 第 3 题图 3．(2017·崇仁县月考)如图，在等腰△ABC 中，AB＝AC，腰 AC 上的中线 BD 将三角形 的周长分为 15 和 21 两部分，则这个三角形的底边长为________．【易错 1】 4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，则顶角的度数可能为________．【易 错 2②】 5．(2017·吉安期末)某等腰三角形的腰长为 5，且一边上的高为 4，则底边长为 ____________． 6．一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的度 数． ◆类型二 三角形中的设计作图 7．(2016·江西模拟)如图①和图②均是由边长为 1 的小正方形组成的网格，按要求用实 线画出顶点在格点上的图形．要求： (1)在图形①中画出一个面积为 2.5 的等腰三角形 ABC； (2)在图②中画出一个直角三角形，使三边长均为不同的无理数．
8.(2016吉安期中)(1)下列仅用无刻度的直尺就能完成作图的是:(填写序号即 ①延长EF至点H,使EH=3厘米 ②经过点P、点K作直线PK ③作∠O的平分线OG (2)如图,在△ABC中,AB=AC,M,N分别是边AB,AC上的两点,且BM=CN,请 用无刻度的直尺画出线段BC的垂直平分线 9.(2016·瑞昌期中)如图,△ABC和△DCE都是等边三角形,且点C是线段AD的中点, 请仅用无刻度的直尺完成以下作图: (1)作BC的中点P (2)过点C作AD的垂线 B E A C 10.(2016江西中考)如图,六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形,AB是其中 个小长方形的对角线,请在大长方形中完成下列画图,要求:①仅用无刻度的直尺,②保 留必要的画图痕迹 (1)在图①中画出一个45°角,使点A或点B是这个角的顶点,且AB为这个角的一边 (2)在图②中画出线段AB的垂直平分线 B 图①
8．(2016·吉安期中)(1)下列仅用无刻度的直尺就能完成作图的是________；(填写序号即 可) ①延长 EF 至点 H，使 EH＝3 厘米 ②经过点 P、点 K 作直线 PK ③作∠O 的平分线 OG (2)如图，在△ABC 中，AB＝AC，M，N 分别是边 AB，AC 上的两点，且 BM＝CN，请 用无刻度的直尺画出线段 BC 的垂直平分线． 9．(2016·瑞昌期中)如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，且点 C 是线段 AD 的中点， 请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)作 BC 的中点 P； (2)过点 C 作 AD 的垂线． 10．(2016·江西中考)如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB 是其中 一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度的直尺，②保 留必要的画图痕迹． (1)在图①中画出一个 45°角，使点 A 或点 B 是这个角的顶点，且 AB 为这个角的一边； (2)在图②中画出线段 AB 的垂直平分线．
参考答案与解析 2.D解析:∵点A的坐标为(2,2),∴△OAP的边OA=2,这条边可能是底边也 可能是腰.①当OA是底边时,点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点,交点的坐标是(2, 0)和(0,2):②当OA是腰时,当O是顶角顶点时,以O为圆心,以OA为半径作圆,与坐 标轴的交点坐标是(2V2,0),(-22,0),(0,2V2),(0,-2√2);③当A是顶角顶点时 以A为圆心,以AO为半径作圆,与坐标轴的交点坐标是(4,0),(0,4.综上可知满足条 件的点P共有8个,故选D 3.16或8解析:∵BD是等腰△ABC的中线,可设AD=CD=x,则AB=AC=2x又 ∴BD将三角形的周长分为15和21两部分,∴可分为两种情况讨论:①AB+AD=15,即 3x=15,解得x=5,此时BC=21-x=21-5=16;②AB+AD=21,即3x=21,解得x=7, 此时BC=15-x=8经验证,这两种情况都是成立的.∴这个三角形的底边长为8或16 4.50°或130°解析:①当等腰三角形为锐角三角形时,如图①,高与右边腰成4°夹 角,由三角形内角和为180°,可得顶角为50;②当等腰三角形为钝角三角形时,如图②, 此时垂足落到三角形外面,因为三角形内角和为180°,由图可以得出等腰三角形的顶角的 补角为50°,所以三角形的顶角为130°故顶角的度数为50°或130 图① 图② 5.6或25或45 6.解:分四种情况讨论:(1)如图①,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD则∠B ∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,∴∠CAB=∠CAD+ ∠BAD=∠CDA+∠BAD=3∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36 ∴∠BAC=108° 图② (2)如图②,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD.则∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC 2∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°,∴∠BAC=90°; (3)如图③,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC则∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC ∠C.∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,∴∠C=∠BDC=2∠A=∠ABC∵∠A+∠ABC+ C=180°,∴5∠A=180°,∴∠A=36°; (4)如图④,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC设∠A=x,∵AD=BD,∴∠DBA 180°-x ∠A=x,∴∠BDC=∠A+∠DBA=2x∵AB=AC,∴∠ABC= ∠DBC=∠ABC
参考答案与解析 1．D 2．D 解析：∵点 A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边 OA＝2 2，这条边可能是底边也 可能是腰．①当 OA 是底边时，点 P 是 OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2， 0)和(0，2)；②当 OA 是腰时，当 O 是顶角顶点时，以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，与坐 标轴的交点坐标是(2 2，0)，(－2 2，0)，(0，2 2)，(0，－2 2)；③当 A 是顶角顶点时， 以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条 件的点 P 共有 8 个，故选 D. 3．16 或 8 解析：∵BD 是等腰△ABC 的中线，可设 AD＝CD＝x，则 AB＝AC＝2x.又 ∵BD 将三角形的周长分为 15 和 21 两部分，∴可分为两种情况讨论：①AB＋AD＝15，即 3x＝15，解得 x＝5，此时 BC＝21－x＝21－5＝16；②AB＋AD＝21，即 3x＝21，解得 x＝7， 此时 BC＝15－x＝8.经验证，这两种情况都是成立的．∴这个三角形的底边长为 8 或 16. 4．50°或 130° 解析：①当等腰三角形为锐角三角形时，如图①，高与右边腰成 40°夹 角，由三角形内角和为 180°，可得顶角为 50°；②当等腰三角形为钝角三角形时，如图②， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为 180°，由图可以得出等腰三角形的顶角的 补角为 50°，所以三角形的顶角为 130°.故顶角的度数为 50°或 130°. 5．6 或 2 5或 4 5 6．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD.则∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠CAB＝∠CAD＋ ∠BAD＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝108°； (2)如图②，△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝CD.则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°； (3)如图③，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD＝BC.则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C.∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠C＝∠BDC＝2∠A＝∠ABC.∵∠A＋∠ABC＋ ∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°； (4)如图④，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA ＝∠A＝x，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝ 180°－x 2 ，∴∠DBC＝∠ABC
∠ABD=180°-xx:CD=BC,∴∠BDC=∠DBC,即4/N180°-x 上所述,这个大等腰三角形顶角的度数为108°或90°或36°或 解:(1)如图①所示,△ABC为所求三角形 B 图① 图 (2)如图②所示,直角三角形为所求(答案均不唯一) 8.解:(1)② (2)如图,AF为线段BC的垂直平分线 A B 9.解:(1)如图①所示,点P即为所求 (2)如图②所示,CQ即为所求 B B E A C 图① 图② 10.解:(1)如图①所示,∠ABC=45°(AB,AC是小长方形的对角线) B 图① 图② (2)如图②所示,点M是长方形AFBE的对角线的交点,点N是正方形ABCD的对角线 的交点,直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线
－∠ABD＝ 180°－x 2 －x.∵CD＝BC，∴∠BDC＝∠DBC，即 2x＝ 180°－x 2 －x，∴x＝ 180° 7 .综 上所述，这个大等腰三角形顶角的度数为 108°或 90°或 36°或 180° 7 . 7．解：(1)如图①所示，△ABC 为所求三角形； (2)如图②所示，直角三角形为所求．(答案均不唯一) 8．解：(1)② (2)如图，AF 为线段 BC 的垂直平分线． 9．解：(1)如图①所示，点 P 即为所求； (2)如图②所示，CQ 即为所求． 10．解：(1)如图①所示，∠ABC＝45°(AB，AC 是小长方形的对角线)； (2)如图②所示，点 M 是长方形 AFBE 的对角线的交点，点 N 是正方形 ABCD 的对角线 的交点，直线 MN 就是所求的线段 AB 的垂直平分线．