易错专题:等腰三角形中易漏解或多解的问题 ◆类型一求长度时忽略三边关系【易错1】 1.一个等腰三角形的两边长分别是4,8,则它的周长为 A.12B.16 C.20D.16或20 2.学习了三角形的有关内容后,张老师请同学们交流这样一个问题:“已知一个等腰 三角形的周长是12,其中一条边长为3,求另两条边的长”.同学们经过片刻思考和交流后 小明同学举手说:“另两条边长为3,6或45,45.”你认为小明回答是否正确: 理由是 3.(2017薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为x+1,2x+3,9,则x= 4.已知等腰三角形ABC中,腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9cm和15cm两 部分,求这个三角形的腰长和底边长 ◆类型二当腰或底不明求角度时没有分类讨论 5.已知等腰三角形的一个内角为40°,则这个等腰三角形的顶角为() A.100°B.40 C.40°或100°D.60° 6.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4,则这个等腰三角形顶角的度数为 7.(2017普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的 “内角正度值”.如果等腰三角形的“内角正度值”为45°,那么该等腰三角形的顶角度数 为 8.有一三角形纸片ABC,∠A=80°,点D是AC边上一点,沿BD方向剪开三角形纸 片后,发现所得两纸片均为等腰三角形,则∠C的度数可以是 9.★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形,试求这个大等腰三角形顶角的
易错专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 ◆类型一 求长度时忽略三边关系【易错 1】 1．一个等腰三角形的两边长分别是 4，8，则它的周长为( ) A．12 B．16 C．20 D．16 或 20 2．学习了三角形的有关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“已知一个等腰 三角形的周长是 12，其中一条边长为 3，求另两条边的长”．同学们经过片刻思考和交流后， 小明同学举手说：“另两条边长为 3，6 或 4.5，4.5.”你认为小明回答是否正确：________， 理由是________________________． 3．(2017·薛城区期末)若等腰三角形的三边长分别为 x＋1，2x＋3，9，则 x＝________． 4．已知等腰三角形 ABC 中，腰 AC 上的中线 BD 将三角形的周长分成 9cm 和 15cm 两 部分，求这个三角形的腰长和底边长． ◆类型二 当腰或底不明求角度时没有分类讨论 5．已知等腰三角形的一个内角为 40°，则这个等腰三角形的顶角为( ) A．100° B．40° C．40°或 100° D．60° 6．已知一个等腰三角形两内角的度数之比为 1∶4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ______________． 7．(2017·普陀区模拟)我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的 “内角正度值”．如果等腰三角形的“内角正度值”为 45°，那么该等腰三角形的顶角度数 为________． 8．有一三角形纸片 ABC，∠A＝80°，点 D 是 AC 边上一点，沿 BD 方向剪开三角形纸 片后，发现所得两纸片均为等腰三角形，则∠C 的度数可以是____________________． 9．★一个大等腰三角形能被分割成两个小等腰三角形，试求这个大等腰三角形顶角的
度数 ◆类型三三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 10.(2017绥化中考在等腰△ABC中,AD⊥BC交BC于点D若AD=BC,则△ABC 的顶角度数为 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°,求顶角的度数.【易错3】 ◆类型四一边确定,另两边不定,确定三角形的个数时漏解【易错4】 12.如图,点A的坐标为(2,2),若点P在坐标轴上,且△APO为等腰三角形,则满 足条件的点P有() A.4个B.6个C.7个D.8个 第 第13题图 13.如图,在4×5的点阵图中,每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1,该点阵图
度数． ◆类型三 三角形的形状不明与高结合时没有分类讨论 10．(2017·绥化中考)在等腰△ABC 中，AD⊥BC 交 BC 于点 D.若 AD＝ 1 2 BC，则△ABC 的顶角度数为______________． 11．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为 20°，求顶角的度数．【易错 3】 ◆类型四 一边确定，另两边不定，确定三角形的个数时漏解【易错 4】 12．如图，点 A 的坐标为(2，2)，若点 P 在坐标轴上，且△APO 为等腰三角形，则满 足条件的点 P 有( ) A．4 个 B．6 个 C．7 个 D．8 个 第 12 题图 第 13 题图 13．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图
中已有两个阵点分别标为A,B,请在此点阵图中找一个阵点C,使得以点A,B,C为顶点 的三角形是等腰三角形,则符合条件的C点有 个 14.如图是6×6的正方形网格,点A,B均在正方形格点上,在网格中的格点上找一 点C,使△ABC为等腰三角形,简要写出步骤并标出点C的位置 参考答案与解析 1.C2.不正确没考虑三角形的三边关系3.3 4.解:设腰长为xcm,分两种情况考虑:①腰长与腰长的一半是9cm时,即x+x=9 解得x=6,∴底边长为15-×6=12(cm),∵6+6=12,∴6cm,6cm,12cm不能组成三 角形;②腰长与腰长的一半是15cm时,即x+x=15,解得x=10,底边长为9-×10 =4(cm),∴三角形的三边长为10cm,10cm,4cm,能组成三角形.综上所述,三角形的腰 长为10cm,底边长为4cm 5.C6.120°或20° 7.30°或90°解析:设最小角的度数为x,则最大角的度数为x+45°当最小角是顶角 时,则x+x+45°+x+45°=180°,解得x=30°,此时三角形顶角的度数为30°当最大角为 顶角时,则x+x+45°+x=180°,解得x=45°,此时三角形顶角的度数为90°综上所述,等 腰三角形的顶角为30°或90° 8.40°或25°或10°解析:由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形,对于△ABD有 三种情况:①AB=BD,则∠ADB=∠A=80°,∴∠BDC=180°-∠ADB=100°,∠C=(180° ∠BDC÷2=40°;②AB=AD,则∠ADB=(180-∠A)=2=50°,∴∠BDC=180°-∠ADB 30°,∠C=(180°-∠BDC+2=25°;③AD=BD,则∠ABD=∠A=80°,∴∠BDC=∠ABD +∠A=160°,∠C=(180°-∠BDO÷2=10°综上所述,∠C的度数可以是40°或25或10 9.解:分四种情况讨论:(1)如图①,△ABC中,AB=AC,BD=AD,AC=CD,则∠B ∠C=∠BAD,∠CDA=∠CAD,∴∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B,∴∠BAC=∠CAD+ ∠BAD=∠CDA+∠BAD=3∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴5∠B=180°,∴∠B=36°, ∠BAC=108
中已有两个阵点分别标为 A，B，请在此点阵图中找一个阵点 C，使得以点 A，B，C 为顶点 的三角形是等腰三角形，则符合条件的 C 点有________个． 14．如图是 6×6 的正方形网格，点 A，B 均在正方形格点上，在网格中的格点上找一 点 C，使△ABC 为等腰三角形，简要写出步骤并标出点 C 的位置． 参考答案与解析 1．C 2.不正确 没考虑三角形的三边关系 3.3 4．解：设腰长为 xcm，分两种情况考虑：①腰长与腰长的一半是 9cm 时，即 x＋ 1 2 x＝9， 解得 x＝6，∴底边长为 15－ 1 2 ×6＝12(cm)．∵6＋6＝12，∴6cm，6cm，12cm 不能组成三 角形；②腰长与腰长的一半是 15cm 时，即 x＋ 1 2 x＝15，解得 x＝10，∴底边长为 9－ 1 2 ×10 ＝4(cm)，∴三角形的三边长为 10cm，10cm，4cm，能组成三角形．综上所述，三角形的腰 长为 10cm，底边长为 4cm. 5．C 6.120°或 20° 7．30°或 90° 解析：设最小角的度数为 x，则最大角的度数为 x＋45°.当最小角是顶角 时，则 x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得 x＝30°，此时三角形顶角的度数为 30°.当最大角为 顶角时，则 x＋x＋45°＋x＝180°，解得 x＝45°，此时三角形顶角的度数为 90°.综上所述，等 腰三角形的顶角为 30°或 90°. 8．40°或 25°或 10° 解析：由题意知△ABD 与△DBC 均为等腰三角形，对于△ABD 有 三种情况：①AB＝BD，则∠ADB＝∠A＝80°，∴∠BDC＝180°－∠ADB＝100°，∠C＝(180° －∠BDC)÷2＝40°；②AB＝AD，则∠ADB＝(180°－∠A)÷2＝50°，∴∠BDC＝180°－∠ADB ＝130°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝25°；③AD＝BD，则∠ABD＝∠A＝80°，∴∠BDC＝∠ABD ＋∠A＝160°，∠C＝(180°－∠BDC)÷2＝10°.综上所述，∠C 的度数可以是 40°或 25°或 10°. 9．解：分四种情况讨论：(1)如图①，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，AC＝CD，则∠B ＝∠C＝∠BAD，∠CDA＝∠CAD，∴∠CDA＝∠B＋∠BAD＝2∠B，∴∠BAC＝∠CAD＋ ∠BAD＝∠CDA＋∠BAD＝3∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴5∠B＝180°，∴∠B＝36°， ∴∠BAC＝108°；
(2)如图②,△ABC中,AB=AC,AD=BD=CD,则∠B=∠C=∠DAC=∠DAB,∴∠BAC 2∠B.∵∠BAC+∠B+∠C=180°,∴4∠B=180°,∴∠B=45°,∴∠BAC=90°; (3)如图③,△ABC中,AB=AC,BD=AD=BC,则∠ABC=∠C,∠A=∠ABD,∠BDC ∠C,∴∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A,∴∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.∵∠A+∠ABC+ ∠C=180°,∴5∠A=180°,∴∠A=36 D 图③ (4)如图④,△ABC中,AB=AC,BD=AD,CD=BC设∠A=x,∵AD=BD,∴∠DBA ∠A=x∵AB=AC,∴∠A ∠DBC=∠ABC-∠ABD=180°-x 2 180°-x BC,∴∠BDC=∠A+∠ABD=2x=∠DBC 7,即∠A 综上 所述,这个大等腰三角形顶角的度数为108或90°或36°或 180° 10.30°或150°或90°解析:(1)当BC为腰时,AD⊥BC,AD=BC,∴∠ACD=30° 如图①,当AD在△ABC内部时,顶角∠C=30°如图②,当AD在△ABC外部时,顶角∠ACB D D A- B C 图① 图② 图③ (2)当BC为底时,如图③AD⊥BC,AD=BC,∴AD=BD=CD,∴∠B=∠BAD ∠C=∠CAD,∴∠BAD+∠CAD=×180°=90°,即顶角∠BAC=90°综上所述,等腰三角 形ABC的顶角度数为30°或150°或90° 11.解:此题要分情况讨论:当等腰三角形的顶角是钝角时,如图①所示,腰上的高在 角形外部.由题意得顶角∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°:当等腰三角形的顶角 是锐角时,腰上的高在其内部,如图②所示,故顶角∠A=90°—∠ABD=90°-20°=70°综 上所述,顶角的度数为110°或70°
(2)如图②，△ABC 中，AB＝AC，AD＝BD＝CD，则∠B＝∠C＝∠DAC＝∠DAB，∴∠BAC ＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴4∠B＝180°，∴∠B＝45°，∴∠BAC＝90°； (3)如图③，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD＝BC，则∠ABC＝∠C，∠A＝∠ABD，∠BDC ＝∠C，∴∠BDC＝∠A＋∠DBA＝2∠A，∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2∠A.∵∠A＋∠ABC＋ ∠C＝180°，∴5∠A＝180°，∴∠A＝36°. (4)如图④，△ABC 中，AB＝AC，BD＝AD，CD＝BC.设∠A＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA ＝∠A＝x.∵AB＝AC，∴∠ABC＝ 180°－x 2 ，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝ 180°－x 2 －x.∵CD ＝BC，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x＝∠DBC＝ 180°－x 2 －x，∴x＝ 180° 7 ，即∠A＝ 180° 7 .综上 所述，这个大等腰三角形顶角的度数为 108°或 90°或 36°或 180° 7 . 10．30°或 150°或 90° 解析：(1)当 BC 为腰时，∵AD⊥BC，AD＝ 1 2 BC，∴∠ACD＝30°. 如图①，当 AD 在△ABC 内部时，顶角∠C＝30°.如图②，当 AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°； (2)当 BC 为底时，如图③.∵AD⊥BC，AD＝ 1 2 BC，∴AD＝BD＝CD，∴∠B＝∠BAD， ∠C＝∠CAD，∴∠BAD＋∠CAD＝ 1 2 ×180°＝90°，即顶角∠BAC＝90°.综上所述，等腰三角 形 ABC 的顶角度数为 30°或 150°或 90°. 11．解：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，如图①所示，腰上的高在 三角形外部．由题意得顶角∠ACB＝∠D＋∠DAC＝90°＋20°＝110°；当等腰三角形的顶角 是锐角时，腰上的高在其内部，如图②所示，故顶角∠A＝90°－∠ABD＝90°－20°＝70°.综 上所述，顶角的度数为 110°或 70°
BB 图① 图② 12.D解析:∵点A的坐标为(2,2),∴△OAP的边OA=22,这条边可能是底边也 可能是腰.①当OA是底边时,点P是OA的垂直平分线与坐标轴的交点,交点的坐标是(2, 0)和(0,2):②当OA是腰时,当O是顶角顶点时,以O为圆心,以OA为半径作圆,与坐 标轴的交点坐标是(2√2,0),(-2E,0),(0,22),(0,-22:③当A是顶角顶点时 以A为圆心,以AO为半径作圆,与坐标轴的交点坐标是(4,0),(0,4).综上可知满足条 件的点P共有8个,故选D 13.5解析:如图,分别以AB为腰、底找等腰三角形,故符合条件的C点有5个 第13题图 第14题图 14.解:如图,(1)当BA=BC时,符合条件的有C,C2 (2)当AB=AC时,符合条件的有C3,C4 (3)当CA=CB时,符合条件的有Cs,C6,C7,C8,C9,Co综上所述,符合条件的C 点有10个
12．D 解析：∵点 A 的坐标为(2，2)，∴△OAP 的边 OA＝2 2，这条边可能是底边也 可能是腰．①当 OA 是底边时，点 P 是 OA 的垂直平分线与坐标轴的交点，交点的坐标是(2， 0)和(0，2)；②当 OA 是腰时，当 O 是顶角顶点时，以 O 为圆心，以 OA 为半径作圆，与坐 标轴的交点坐标是(2 2，0)，(－2 2，0)，(0，2 2)，(0，－2 2)；③当 A 是顶角顶点时， 以 A 为圆心，以 AO 为半径作圆，与坐标轴的交点坐标是(4，0)，(0，4)．综上可知满足条 件的点 P 共有 8 个，故选 D. 13．5 解析：如图，分别以 AB 为腰、底找等腰三角形，故符合条件的 C 点有 5 个． 第 13 题图 第 14 题图 14．解：如图，(1)当 BA＝BC 时，符合条件的有 C1，C2； (2)当 AB＝AC 时，符合条件的有 C3，C4； (3)当 CA＝CB 时，符合条件的有 C5，C6，C7，C8，C9，C10.综上所述，符合条件的 C 点有 10 个．