初中几何 5.4三角形相似的判定（1)
初中几何 5.4 三角形相似的判定（1）
一、复习引入。 1、相似三角形的定义是什么？ 如果∠A=∠A,∠B=∠B,∠C=∠C AB BC 那么△ABC∽△ABC B B 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。 3、平行于三角形一边的直线与三角形的其 它两边（或两边的延长线）相交，所截得 的三角形与原三角形相似
一、复习引入。 1、相似三角形的定义是什么？ A B/ C/ A/ B C / / / A = A ,B = B ,C = C / / / / / / A C AC B C BC A B AB = = 如果 那么 ΔABC∽ΔA/B/C/ 2、相似三角形与全等三角形有什么内在的联系呢？ 全等三角形是相似比为1的特殊的相似三角形。 3、平行于三角形一边的直线与三角形的其 它两边（或两边的延长线）相交，所截得 的三角形与原三角形相似。 A B C D E
二、新课教学。 1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。 已知：在△ABC和△ABC中， ∠A=∠A,∠B=∠B 求证：△ABC∽△AB/C 分析：要证两个三角形相似， 目前只有两个途径。一个是 C B 三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二个是上节课学习 的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须 创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ (把小的三角形移动到大的三角形上)。怎样实现移动呢？
分析:要证两个三角形相似， 目前只有两个途径。一个是 三角形相似的定义，（显然条件不具备）；二个是上节课学习 的利用平行线来判定三角形相似的定理。为了使用它，就必须 创造具备定理的基本图形的条件。怎样创造呢？ A B C A/ B/ C/ 二、新课教学。 1、命题：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。 已知：在△ABC 和△A/B/C/ 中, / / A = A ,B = B 求证:ΔABC∽ △A/B/C/ （把小的三角形移动到大的三角形上）。 怎样实现移动呢?
证明：在AABC的边AB、AC上，分别截取AD=AB,AE=AC, 连结DE。 ,AD=AB,∠A=∠A,AE=AC ,.ADE≌ABC, '.∠ADE=∠B, 又，∠B=∠B, .∠ADE=∠B, .DE//BC, ,',△ADE∽AABC。 ,.△AB/C∽△ABC B 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角 对应相等，两三角形相似
证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/ ,AE=A/C/ ， 连结DE。 A B C A/ B/ C/ 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：两角 对应相等，两三角形相似。 D E ∵ AD=A/B/ ,∠A=∠A/ ，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/ ， ∴ ∠ADE=∠B/ ， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。 ∴ ΔA/B/C/∽ΔABC
2、例1、已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°， ∠F=60。求证：△ABC∽ADEF 40 80060 /80060 B CE F 证明：，在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°， .∠C=1800-∠A-∠B=1800-400-800=600 ,在ADEF中，∠E=80°，∠F=600 .∠B=∠E,∠C=∠F ,'.△ABC∽△DEF(两角对应相等，两三角形相似)
2、例1、已知：ΔABC和ΔDEF中， ∠A=400 ，∠B=800 ，∠E=800 ， ∠F=600。求证：ΔABC∽ΔDEF A B C E F D 证明：∵ 在ΔABC中，∠A=400 ，∠B=800 ， ∴ ∠C=1800－∠A－∠B =1800－400 －800 ＝600 ∵ 在ΔDEF中，∠E=800 ，∠F=600 ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）。 400 800 800 600 600
3、课堂练习。 (1)、已知△ABC与△ABC中，∠B=∠B=750,∠C=50, ∠A=55,这两个三角形相似吗？为什么？ 55 550 75050N 750 B C B B B (2)已知等腰三角形△ABC和 △ABC中，∠A、∠A分别是顶角， 求证：①如果∠A=∠A，,那么 △ABC∽AABC. ②如果∠B=∠B,那么 AABC∽AABC
3、课堂练习。 （1）、已知ΔABC与ΔA/B/C/中，∠B=∠B/=750 ，∠C=500 ， ∠A/=550，这两个三角形相似吗？为什么？ （ 2 ） 已 知 等 腰 三 角 形 ΔABC 和 ΔA/B/C/中，∠A、∠A/分别是顶角， 求证： ① 如 果 ∠ A=∠A/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/ 。 ② 如 果 ∠ B=∠B/ ， 那 么 ΔABC∽ΔA/B/C/ 。 A B C A/ B/ C/ 750 750 500 550 550 A B C A/ B/ C/ A B C A/ B/ C/
4、例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形和原三角形相似。 已知：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高。 求证：AACD∽AABC∽ACBD。 证明：，'∠A=∠A,∠ADC=∠ACB=90, '.△ACD∽△ABC(两角对应相等，两三角形相似)。 同理ACBD∽△ABC。 ,'.AABC∽△CBD∽△ACD。 此结论可以称为“母子相似定理” B 后可以直接使用
4、例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角 形和原三角形相似。 A D B C 已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900 ， 此结论可以称为“母子相似定理” ,今 后可以直接使用. ∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两三角形相似）。 同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。 ∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。 D C D C D C D
5、延伸练习。 已知：如图，在ABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 (1)求证：△AEF∽AADC; (2)图中还有与△AEF相似的三角形吗？请一一写出。 答：有△AEF∽AADC∽ABEC∽△BDF. A
5、延伸练习。 已知：如图，在ΔABC中，AD、BE分别是 BC、AC上的高，AD、BE相交于点F。 （2）图中还有与ΔAEF相似的三角形吗？请一一写出。 A B D C E （1）求证：ΔAEF∽ΔADC； F A F E D C 答:有ΔAEF∽ΔADC∽ΔBEC∽ΔBDF
课外思考题： 如图，在AABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE,利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，△ADE与 △ABC相似？ (提示：图有两种可能) E
课外思考题： 如图，在ΔABC中，点D、E分别是边AB、AC上的点，连 结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？ A B C D E A B C D E （提示：图有两种可能）
三、课堂小结。 1、相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 2、母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形和原三角形相似。 四、课外作业。 1、教材P229,2题；P238,3、4、题 2、课外思考题。（见所发题单）
三、课堂小结。 四、课外作业。 1、教材P229，2题；P238，3、4、题 2、课外思考题。（见所发题单） 1、相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 2、母子相似定理：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角 三角形和原三角形相似