明 肥市第五中学 Hefei No.5 Senior High School 理驾学 第七章随机变量及 其分布 善行健美 7.3.1离散型随机变量的均值
7.3.1离散型随机变量的均值 第七章 随机变量及 其分布
对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变 量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机 变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的 总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征， 最常用的有期望与方差
问题导学 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变 量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机 变量的某些数字特征。例如，要了解某班同学在一次数学测验中的 总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某个方面的特征， 最常用的有期望与方差
探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲 m n2 n3 ns 射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为：n’n’n’n 甲n次射箭射中的平均环数 x=7x+8×+9x+10x24 n n n
探究1.甲乙两名射箭运动员射中目标靶的环数的分布列如下表所示： 如何比较他们射箭水平的高低呢？ 环数X 7 8 9 10 甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4 乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2 类似两组数据的比较,首先比较击中的平均环数,如果平均环数相等，再看稳定性.假设甲 射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为： 甲n次射箭射中的平均环数 1 2 3 4 , , , . n n n n n n n n 1 2 3 4 7 8 9 10 . n n n n x n n n n 问题探究
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9 即甲射中平均环数的稳定值（理论平均值）为9， 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高
当n足够大时，频率稳定于概率，所以x稳定于7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9. 即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9, 这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平. 同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65. 从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高
一、离散型随机变量取值的平均值. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： X X1 X2 Xi Xn P P2 Pi Pn 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xp:++xnPn 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期 望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和 取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平
一、离散型随机变量取值的平均值. 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为： 为随机变量X的均值(mean)或数学期望(mathematical expectation),数学期望简称期 望.均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数,它综合了随机变量的取值和 取值的概率,反映了随机变量取值的平均水平. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 概念解析
例1.在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分如果某运动员罚球命中的概率为0.8， 那么他罚球1次的得分的均值是多少？ 分析：罚球有命中和不中两种可能结果，命中时X=1,不中时X0,因此随机变量X服从 两点分布，X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平 解：因为PX=1)=0.8,P(X=0)=0.2, 所以E(X=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2=0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8
例1. 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分,如果某运动员罚球命中的概率为0.8, 那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 分析:罚球有命中和不中两种可能结果,命中时X=1,不中时X=0,因此随机变量X服从 两点分布,X的均值反映了该运动员罚球1次的平均得分水平. 解：因为P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2， 所以E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8 即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8. 典例解析
一般地，如果随机变量X服从两点分布， 那么：E(X)=1×p+0×(1-P)=p. X 1 0 P p 1-p
X 1 0 P p 1-p 概念解析
例2抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为X,求X的均值 分析：先求出X的分布列，再根据定义计算X的均值。 解：X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,4,5,6 因此，E(X)=(1+2+3+4+5+6)=3.5
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子,设出现的点数为X,求X的均值. 分析:先求出X的分布列,再根据定义计算X的均值。 典例解析
求离散型随机变量的均值的步骤： (1)理解X的实际意义，写出X全部可能取值； (2)求出X取每个值时的慨率： (3)写出X的分布列（有时也可省略）： (4)利用定义公式E(X)=1xP,求出均值
归纳总结
跟踪训练1某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一 年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照， 不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止.如果李明决定参加驾 照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年 内李明参加驾照考试次数X的分布列和的均值
跟踪训练 跟踪训练1.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一 年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照， 不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾 照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年 内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．