志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 第三章过关检测卷 (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 1.已知曲线C2-mx2-1,则“曲线C是双曲线”是“m>0”的() A充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案：C 解析：方程y2-m2=1表示双曲线时，应满足m>0,反之，当m>0时，方程2-m2=1一定表示双曲线，所以 “曲线C是双曲线”是“m>0”的充要条件」 2若椭圆后+六1的焦点在)轴上，则实数m的取值范围是(） y2 A(经，+0) B(0) c(2) D.(1,+o 答案B 解析：依题意有2m+1>4m>0,解得0b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被该椭圆截得的 y2 a2+ 弦长也为8的有() A.y=3x-2 B.y=3x+l Cy=-3x-2 D.y=-3x+2 答案：ACD 解析：椭圆关于原，点和坐标轴对称，从而与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的 弦长也为8，与直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴 对称的直线为y=-3x+2,故ACD满足条件. 1
1 第三章过关检测卷 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.已知曲线 C:y 2 -mx2=1,则“曲线 C 是双曲线”是“m>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 解析:方程 y 2 -mx2=1 表示双曲线时,应满足 m>0,反之,当 m>0 时,方程 y 2 -mx2=1 一定表示双曲线,所以 “曲线 C 是双曲线”是“m>0”的充要条件. 2.若椭圆𝑥 2 4𝑚 + 𝑦 2 2𝑚+1 =1 的焦点在 y 轴上,则实数 m 的取值范围是( ) A.( 1 2 , + ∞) B.(0, 1 2 ) C.(- 1 2 ,1) D.(1, + ∞) 答案:B 解析:依题意有 2m+1>4m>0,解得 0b>0)截得的弦长为 8,则下列直线中被该椭圆截得的 弦长也为 8 的有( ) A.y=3x-2 B.y=3x+1 C.y=-3x-2 D.y=-3x+2 答案:ACD 解析:椭圆关于原点和坐标轴对称,从而与直线 y=3x+2 关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的 弦长也为 8,与直线 y=3x+2 关于原点对称的直线为 y=3x-2,关于 x 轴对称的直线为 y=-3x-2,关于 y 轴 对称的直线为 y=-3x+2,故 ACD 满足条件
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 5已知FA分别为双曲线蜡-三-1a0b>0的左、右焦点且F20,点P为双曲线右支上的一点 且IF1F2=2PF2l,△PF1F2的周长为10，则双曲线的渐近线方程为) Ay=±V3x By=± Cy=±2x D=士艺 答案：A 解析：由题知c=2,则F1F2=4.因为1F1F2-2PF2l,所以PF2=2.因为△PF1F3的周长为10，所以 1PF1+2+4=10,解得1PF1=4,所以PF-PF2=2=2a,解得a=1,因为a2+b2=c2,所以b=√3.故双曲线的渐 近线方程为y=士V3x 6.己知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点的距 离之和为3m,则该椭圆的离心率等于() A号 B号 c号 D吃 答案B 解析：由已知得精圆的焦距20-24，长轴长2a=3,则离心率e二=兰=手 7.已知抛物线2=2px(p>0)的焦点为F(2,0),过点A(3,2)向其准线作垂线，与抛物线交于点E,则EF等 于( A.1 B.2 c D 答案D 解析：由已知得抛物线方程为2-8x因为AE与准线垂直，所以设E0,2),代入抛物线方程可得0三，于 是EF等于点E到准线的距离d+2-号 8.(多选题)若ab≠0，则ax-y+b=0和br2+a2=ab所表示的曲线不可能是下图中的( 头：诉、 答案：ABD 解析原方程分别可化为)=m+b和二+苦-1从B,D中的两精圆看，a>0,b>0,但由B中的直线可得 b a0,矛盾，故D不可能.由A中的双曲线可得 2
2 5.已知 F1,F2 分别为双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且 F2(2,0),点 P 为双曲线右支上的一点, 且|F1F2|=2|PF2|,△PF1F2 的周长为 10,则双曲线的渐近线方程为( ) A.y=±√3x B.y=± √3 3 x C.y=±2x D.y=± 1 2 x 答案:A 解析:由题知 c=2,则|F1F2|=4.因为|F1F2|=2|PF2|,所以|PF2|=2.因为△PF1F2 的周长为 10,所以 |PF1|+2+4=10,解得|PF1|=4,所以|PF1|-|PF2|=2=2a,解得 a=1,因为 a 2+b2=c2 ,所以 b=√3.故双曲线的渐 近线方程为 y=±√3x. 6.已知一个储油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为 2.4 m,外轮廓线上的点到两个焦点的距 离之和为 3 m,则该椭圆的离心率等于( ) A. 3 5 B. 4 5 C. 2 3 D. 1 2 答案:B 解析:由已知得椭圆的焦距 2c=2.4,长轴长 2a=3,则离心率 e= 2𝑐 2𝑎 = 2.4 3 = 4 5 . 7.已知抛物线 y 2=2px(p>0)的焦点为 F(2,0),过点 A(3,2)向其准线作垂线,与抛物线交于点 E,则|EF|等 于( ) A.1 B.2 C. 3 2 D. 5 2 答案:D 解析:由已知得抛物线方程为 y 2=8x.因为 AE 与准线垂直,所以设 E(x0,2),代入抛物线方程可得 x0= 1 2 ,于 是|EF|等于点 E 到准线的距离 d=1 2 +2= 5 2 . 8.(多选题)若 ab≠0,则 ax-y+b=0 和 bx2+ay2=ab 所表示的曲线不可能是下图中的( ) 答案:ABD 解析:原方程分别可化为 y=ax+b 和 𝑥 2 𝑎 + 𝑦 2 𝑏 =1.从 B,D 中的两椭圆看,a>0,b>0,但由 B 中的直线可得 a0,矛盾,故 D 不可能.由 A 中的双曲线可得
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org a0,但由直线可得a>0,b>0,矛盾，故A不可能.由C中的双曲线可得a>0,b0,b<0,故C有可能. 9过椭圆品+号-1内一点M2)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线的斜率等于(） A.-2 B时 c D.2 答案：C 解析：由题意得，弦所在直线的斜率存在.设所求直线的斜率为k,则其方程为少1=x-2),与椭圆方程联 立，并整理 得(42+1)x2-8(22-)x+4(2k-1)2-16=0.(*)） 设直线与精圆的交点为Am),B2,则，是方程（约的两根，于是+2型 4k2+1 又M为AB的中点，所以1=2=2， 2 4k2+1 解得仁是 10.(多选题)设圆锥曲线T的两个焦点分别为F1,F2.若曲线厂上存在点P满足IPF:FF2: |PF2-4:3:2,则曲线T的离心率可能等于() A月 B明 C.2 D 答案：AD 解析：设圆锥曲线的离心率为e,由PF1:FF:PF=4:3:2,知①若圆锥曲线为椭圆，则由椭圆的 F1F2 3 F1F2l 定义，得广最一O若圆维南线为数南线，则由议由线的定义，得e=名=月 综上，所求的离心率为或 11.过抛物线y2-8x焦点F的直线I交抛物线于A,B两点，点P在线段AB上运动，原点O关于点P的 对称点为M,则四边形OAMB的面积的最小值为) A.8 B.10 C.14 D.16 答案D 解析：依题知F(2,0),设直线1的方程为x=my+2,与抛物线方程联立消去x,得)y2-8少16=0，设 A(x1,n）,B(x2,2),则1+2=8m,y2=-16. 由对称性知，四边形OAMB的面积等于2Sa4OB 2Sa408-2xOF]-Lvi-y2l 3
3 a0,但由直线可得 a>0,b>0,矛盾,故 A 不可能.由 C 中的双曲线可得 a>0,b0,b<0,故 C 有可能. 9.过椭圆𝑥 2 16 + 𝑦 2 4 =1 内一点 M(2,1)引一条弦,使弦被点 M 平分,则这条弦所在直线的斜率等于( ) A.-2 B. 1 2 C.- 1 2 D.2 答案:C 解析:由题意得,弦所在直线的斜率存在.设所求直线的斜率为 k,则其方程为 y-1=k(x-2),与椭圆方程联 立,并整理, 得(4k 2+1)x 2 -8(2k 2 -k)x+4(2k-1)2 -16=0.(*) 设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两根,于是 x1+x2= 8(2𝑘 2 -𝑘) 4𝑘 2+1 . 又 M 为 AB 的中点,所以𝑥1+𝑥2 2 = 4(2𝑘 2 -𝑘) 4𝑘 2+1 =2, 解得 k=- 1 2 . 10.(多选题)设圆锥曲线 Г 的两个焦点分别为 F1,F2.若曲线 Г 上存在点 P 满足|PF1|∶|F1F2|∶ |PF2|=4∶3∶2,则曲线 Г 的离心率可能等于( ) A. 1 2 B. 2 3 C.2 D. 3 2 答案:AD 解析:设圆锥曲线的离心率为 e,由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,知①若圆锥曲线为椭圆,则由椭圆的 定义,得 e= |𝐹1𝐹2| |𝑃𝐹1|+|𝑃𝐹2| = 3 4+2 = 1 2 ;②若圆锥曲线为双曲线,则由双曲线的定义,得 e= |𝐹1𝐹2| |𝑃𝐹1|-|𝑃𝐹2| = 3 4-2 = 3 2 . 综上,所求的离心率为1 2或 3 2 . 11.过抛物线 y 2=8x 焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B 两点,点 P 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 P 的 对称点为 M,则四边形 OAMB 的面积的最小值为( ) A.8 B.10 C.14 D.16 答案:D 解析:依题知 F(2,0),设直线 l 的方程为 x=my+2,与抛物线方程联立消去 x,得 y 2 -8my-16=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=8m,y1y2=-16. 由对称性知,四边形 OAMB 的面积等于 2S△AOB. ∵2S△AOB=2× 1 2 |OF|·|y1-y2|
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org -20y+2)2.4y2=16Nm2+1, ∴.当m=0时，四边形OAMB的面积取得最小值，最小值为16 12已知椭圆E号+云1的左、右焦点分别为FA定点，4，点P是椭圆E上的动点，则 PA+PF的取值不可能为( A.7 B.10 C.17 D.19 答案D 解析：由题意可得F2(4,0),则4F2=V32+42-5.于是I‖P4-PF≤4F=5.因为点P在椭圆E上，所以 1PF1+|PF2=2a=12,所以PF=12-PFl,故|PA+PF=12+PA-PF,因为-5≤IPA-PF≤5，所以 7≤IP4+PF1≤17，结合选项知，lPA+PF的可能取值为7,10,17，但不可能为19. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分： 13.抛物线x+-0的准线方程为 答案：x 解析：抛物线方程可化为)2-2x,抛物线开口向左号-，故准线方程为x 14与双曲线号-号-1有公共焦点，且长轴长为8的椭圆的方程为 答案+片1 解析易知双曲线号-号-1的焦点在x轴上，坐标为（士3,0，因此可设精圆的标准方程为 2+ 子-1(0>b0,则有2a=8,于是a=4,又63，所以6=7，于是精国的方程为号+号-1 15.己知抛物线Cy2=4x的焦点为F,定点A(0,-2),若射线FA与抛物线C交于点M,与抛物线C的准线 交于点N,则MM:IFN等于」 答案 解桥封线H的方轻为)22≤联之-2经解得学气=学合去所以0N FN-+1:0+1)54 4
4 =2√(𝑦1 + 𝑦2 ) 2 -4𝑦1𝑦2=16√𝑚2 + 1, ∴当 m=0 时,四边形 OAMB 的面积取得最小值,最小值为 16. 12.已知椭圆 E: 𝑥 2 36 + 𝑦 2 20=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,定点 A(1,4),点 P 是椭圆 E 上的动点,则 |PA|+|PF1|的取值不可能为( ) A.7 B.10 C.17 D.19 答案:D 解析:由题意可得 F2(4,0),则|AF2|=√3 2 + 4 2=5.于是||PA|-|PF2||≤|AF2|=5.因为点 P 在椭圆 E 上,所以 |PF1|+|PF2|=2a=12,所以|PF1|=12-|PF2|,故|PA|+|PF1|=12+|PA|-|PF2|,因为-5≤|PA|-|PF2|≤5,所以 7≤|PA|+|PF1|≤17,结合选项知,|PA|+|PF1|的可能取值为 7,10,17,但不可能为 19. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.抛物线 x+1 2 y 2=0 的准线方程为 . 答案:x= 1 2 解析:抛物线方程可化为 y 2=-2x,抛物线开口向左, 𝑝 2 = 1 2 ,故准线方程为 x= 1 2 . 14.与双曲线𝑥 2 2 − 𝑦 2 7 =1 有公共焦点,且长轴长为 8 的椭圆的方程为 . 答案: 𝑥 2 16 + 𝑦 2 7 =1 解析:易知双曲线𝑥 2 2 − 𝑦 2 7 =1 的焦点在 x 轴上,坐标为(±3,0),因此可设椭圆的标准方程为𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0),则有 2a=8,于是 a=4,又 c=3,所以 b 2=7,于是椭圆的方程为𝑥 2 16 + 𝑦 2 7 =1. 15.已知抛物线 C:y 2=4x 的焦点为 F,定点 A(0,-2),若射线 FA 与抛物线 C 交于点 M,与抛物线 C 的准线 交于点 N,则|MN|∶|FN|等于 . 答案: 5-√5 4 解析:射线 FA 的方程为 y=2x-2(x≤1),联立{ 𝑦 2 = 4𝑥, 𝑦 = 2𝑥-2, 解得 x= 3-√5 2 (𝑥 = 3+√5 2 舍去),所以|MN|∶ |FN|=( 3-√5 2 + 1)∶(1+1)= 5-√5 4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 16已知双曲线号-卡-1a0,b>0)的两条新近线的夹角（锐角或直角）为a且c0sa号则双曲线的离 心率等于 答案罗或v3 解析：设渐近线)名的领斜角为8当0合0,剥东悟9=1.解得-4-2 故双曲线的方程为号-若1 (2)假设在双曲线上存在点P,使得PF=5PF2b 则点P只能在右支上 由双曲线的定义，知PF1-PF=2a=4, 于是PF=5,PF2=1. 但当点P在双曲线的右支上时，点P到左焦，点F的距离的最小值应为a+C=6, 故不可能有lPF=5,即在双曲线上不存在点P,使得PF=5PF2 18(12分)已知椭圆C号+片-1o>b0)的离心率为9短轴的一个端点到右焦点的距离为3 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线1y=x+√Z与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求△4OB的面积 5
5 16.已知双曲线𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0)的两条渐近线的夹角(锐角或直角)为 α,且 cos α= 1 3 ,则双曲线的离 心率等于 . 答案: √6 2 或√3 解析:设渐近线 y= 𝑏 𝑎 x 的倾斜角为 θ,当 01 时,依题意有 α=2(90°- θ)=180°-2θ,因为 cos α= 1 3 ,所以 cos(180°-2θ)= 1 3 ,即 1-tan 2𝜃 1+tan2𝜃 =- 1 3 ,解得 tan2 θ=2,即 𝑏 2 𝑎2=2,故离心率 e= 𝑐 𝑎 = √1 + 𝑏 2 𝑎2 = √3. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知双曲线与椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 有相同的焦点,且经过点(4,6). (1)求双曲线的方程; (2)若双曲线的左、右焦点是 F1,F2,则在双曲线上是否存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|? 解:(1)椭圆𝑥 2 25 + 𝑦 2 9 =1 的焦点在 x 轴上,且 c=√25-9=4,即焦点坐标为(±4,0), 于是可设双曲线方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0),则有{ 𝑎 2 + 𝑏 2 = 16, 16 𝑎2 - 36 𝑏 2 = 1, 解得 a 2=4,b 2=12, 故双曲线的方程为𝑥 2 4 − 𝑦 2 12=1. (2)假设在双曲线上存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|, 则点 P 只能在右支上. 由双曲线的定义,知|PF1|-|PF2|=2a=4, 于是|PF1|=5,|PF2|=1. 但当点 P 在双曲线的右支上时,点 P 到左焦点 F1 的距离的最小值应为 a+c=6, 故不可能有|PF1|=5,即在双曲线上不存在点 P,使得|PF1|=5|PF2|. 18.(12 分)已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为√6 3 ,短轴的一个端点到右焦点的距离为√3. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设直线 l:y=x+√2与椭圆 C 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,求△AOB 的面积
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org a=v3 解(1)由题意可得 6 解得a=√3，c一V2,b=1.故椭圆C的方程为号+y2=1. 33 a2=b2+c2 (2)设A(x1,n),Bx22). (y=x+v2, 联立 +y2=1, 得4x2+6v2x+3=0, 则+=3空 于是AB1=2[x+x24x1x2l =2×(婴4×)=3 原点0到直线4B的距离d得1， 故aA0B的面积S号dAB卧字IxV3=盟 19.(12分)已知曲线E上任意一点P到点F2,0)的距离与它到直线1x=-2的距离相等，若过点F的两 条直线h,h的斜率之积为1，且1，h分别交曲线E于A,B两点和C,D两点， (1)求曲线E的方程； (2)求AB+CDI的最小值. 解(1)由定义可知，曲线E为抛物线，且以2,0)为焦点，直线1x=-2为准线 设其方程为2-2pxp>0),则-2p=4, F2.0) B 故曲线E的方程为y2=8x (2)设直线AB,CD的斜率分别为k,k,则直线AB的方程为y=k1(x-2), 联立2=8x,2消去y得k-(4k+8x+4k好=0， y=k1(x-2), 设A(x1,n),B22)b 剥烟4导 6
6 解:(1)由题意可得{ 𝑎 = √3, 𝑐 𝑎 = √6 3 , 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 , 解得 a=√3,c=√2,b=1.故椭圆 C 的方程为𝑥 2 3 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 联立{ 𝑦 = 𝑥 + √2, 𝑥 2 3 + 𝑦 2 = 1, 得 4x 2+6√2x+3=0, 则 x1+x2=- 3√2 2 ,x1x2= 3 4 . 于是|AB|=√2[(𝑥1 + 𝑥2 ) 2 -4𝑥1𝑥2 ] =√2 × ( 9×2 4 -4 × 3 4 ) = √3. 原点 O 到直线 AB 的距离 d=√2 √2 =1, 故△AOB 的面积 S=1 2 ·d·|AB|=1 2 ×1×√3 = √3 2 . 19.(12 分)已知曲线 E 上任意一点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 l:x=-2 的距离相等,若过点 F 的两 条直线 l1,l2 的斜率之积为 1,且 l1,l2分别交曲线 E 于 A,B 两点和 C,D 两点, (1)求曲线 E 的方程; (2)求|AB|+|CD|的最小值. 解:(1)由定义可知,曲线 E 为抛物线,且以 F(2,0)为焦点,直线 l:x=-2 为准线. 设其方程为 y 2=2px(p>0),则 𝑝 2 =2,p=4, 故曲线 E 的方程为 y 2=8x. (2)设直线 AB,CD 的斜率分别为 k1,k2,则直线 AB 的方程为 y=k1(x-2), 联立{ 𝑦 2 = 8𝑥, 𝑦 = 𝑘1 (𝑥-2),消去 y 得𝑘1 2 x 2 -(4𝑘1 2+8)x+4𝑘1 2=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2=4+ 8 𝑘1 2
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 于是MB1=t+ep=8+景 同理可得，CD1=8+号 国此41H1CD-16号+是 因为k-1所以MCD-16号+是≥162层是2当且收当-6时取等号 故4B+CD1的最小值为32. 20(2分)已知椭圆c号+兰-1(a>b>0的离心率为号点（盟 在椭圆C上 (1)求椭圆C的方程； (②过点P(停0)的直线交椭圆C于E,F两点产+是否为定值？若为定值求出定值，若不为定 值，请说明理由. a 2 解(1)由题意，可得 +=1， a2=b2+c2 故椭圆C的方程为号y2-1 (2 (2)当过点P 停0)的直线不是x轴时，设其方程为x+ +y2=1, 由 3 (x=y+ 3 消去x得3（㎡2+2）y2+2V6-4=0. 则4=722+96>0，设E(x11),F(x22), 2V6n 则n+=32+2h=3n2+2 4 又IEPp-(停x)0mP-（9mn号0y-I+n呢 同理FPP-(1+2)y经 [26n2 8 1 3m2+23n2+五-3. 0y1y2) 1+n2 -4 3(m2+2] 当过点P的直线为x轴时，不妨设1<x2, 则EPI-V2+FP-- 7
7 于是|AB|=x1+x2+p=8+ 8 𝑘1 2 . 同理可得,|CD|=8+ 8 𝑘2 2 . 因此|AB|+|CD|=16+ 8 𝑘1 2 + 8 𝑘2 2 , 因为 k1k2=1,所以|AB|+|CD|=16+ 8 𝑘1 2 + 8 𝑘2 2≥16+2√ 8 𝑘1 2 · 8 𝑘2 2=32,当且仅当 k1=k2 时取等号. 故|AB|+|CD|的最小值为 32. 20.(12 分)已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为√2 2 ,点(1, √2 2 )在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 P( √6 3 ,0)的直线交椭圆 C 于 E,F 两点, 1 |𝐸𝑃| 2 + 1 |𝐹𝑃| 2是否为定值?若为定值,求出定值;若不为定 值,请说明理由. 解:(1)由题意,可得 { 𝑐 𝑎 = √2 2 , 1 𝑎2 + 1 2𝑏 2 = 1, 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 , 解得{ 𝑎 2 = 2, 𝑏 2 = 1, 故椭圆 C 的方程为𝑥 2 2 +y2=1. (2)当过点 P( √6 3 ,0)的直线不是 x 轴时,设其方程为 x=ny+ √6 3 ,由{ 𝑥 2 2 + 𝑦 2 = 1, 𝑥 = 𝑛𝑦 + √6 3 , 消去 x 得 3(n 2+2)y 2+2√6ny-4=0. 则 Δ=72n 2+96>0,设 E(x1,y1),F(x2,y2), 则 y1+y2=- 2√6𝑛 3(𝑛2+2) ,y1y2=- 4 3(𝑛2+2) , 又|EP|2=( √6 3 -𝑥1 ) 2 +(0-y1) 2= √6 3 -ny1- √6 3 2+(0-y1) 2=(1+n2 )𝑦1 2 , 同理|FP|2=(1+n2 )𝑦2 2 , 所以 1 |𝐸𝑃| 2 + 1 |𝐹𝑃| 2 = 1 1+𝑛2 ( 1 𝑦 1 2 + 1 𝑦 2 2 ) = 1 1+𝑛2 · (𝑦 1 +𝑦 2 ) 2 -2𝑦 1 𝑦 2 (𝑦 1 𝑦 2 ) 2 = 1 1+𝑛2 · [- 2√6𝑛 3(𝑛2+2) ] 2 + 8 3(𝑛2+2) [ -4 3(𝑛2+2) ] 2 =3. 当过点 P 的直线为 x 轴时,不妨设 x1<x2, 则|EP|=√2 + √6 3 ,|FP|=√2 − √6 3
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1 1 =3 2+9'（z 综上可知， +向为定值，定值为3 21(12分)已知椭圆C学+片-@>b0)的离心率为号以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直 线xy+V6-0相切，过点P(4,0)且不垂直于x轴的直线1与椭圆C交于A,B两点. (1)求椭圆C的方程； (2)求0A·0死的取值范围. 解()由题意知e台=克 则导-学=脚部 因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y+√6=0相切， 所以b品=区所以=4=3，故精圆C的方程为宁+号到 (2)由题意知直线I的斜率存在，设直线1的方程为y=kx4), y=k(x4), 联+1 得(42+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 由4=(-322)2-4(42+3)(642-12)>0， 得子 设A(x1,n),B(22 →3R642 则+n=32足 4k2+3 于是0片=-4)-4)-=x4-(Kt2+16=36是 4k2+3 325 国而0丽.0丽-x1m+264:+36是 4k2+3 4k2+3 因为0≤<号所以-29≤即<职 4k2+34 所以4≤25.87 故0丽.0丽的取值范国是4，) 22.(12分)已知双曲线的一个焦点为F1(-V3,0),且渐近线为y=±√Zx,过点A(2,1)的直线1与该双曲线 交于P1,P2两点 8
8 则 1 |𝐸𝑃| 2 + 1 |𝐹𝑃| 2 = 1 (√2+ √6 3 ) 2 + 1 (√2- √6 3 ) 2=3. 综上可知, 1 |𝐸𝑃| 2 + 1 |𝐹𝑃| 2为定值,定值为 3. 21.(12 分)已知椭圆 C: 𝑥 2 𝑎2 + 𝑦 2 𝑏 2=1(a>b>0)的离心率为1 2 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直 线 x-y+√6=0 相切,过点 P(4,0)且不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)求𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 的取值范围. 解:(1)由题意知 e= 𝑐 𝑎 = 1 2 , 则 e 2= 𝑐 2 𝑎2 = 𝑎 2 -𝑏 2 𝑎2 = 1 4 ,即 a 2= 4 3 b 2 . 因为以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+√6=0 相切, 所以 b= |√6| √1+1 = √3,所以 a 2=4,b 2=3,故椭圆 C 的方程为𝑥 2 4 + 𝑦 2 3 =1. (2)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=k(x-4), 联立{ 𝑦 = 𝑘(𝑥-4), 𝑥 2 4 + 𝑦 2 3 = 1, 得(4k 2+3)x 2 -32k 2 x+64k 2 -12=0. 由 Δ=(-32k 2 ) 2 -4(4k 2+3)(64k 2 -12)>0, 得 k 2< 1 4 . 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1+x2= 32𝑘 2 4𝑘 2+3 ,x1x2= 64𝑘 2 -12 4𝑘 2+3 . 于是 y1y2=k(x1-4)·k(x2-4)=k2 x1x2-4k 2·(x1+x2)+16k 2= 36𝑘 2 4𝑘 2+3 , 因而𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2= 64𝑘 2 -12 4𝑘 2+3 + 36𝑘 2 4𝑘 2+3 =25- 87 4𝑘 2+3 , 因为 0≤k 2< 1 4 ,所以-29≤- 87 4𝑘 2+3 <- 87 4 , 所以-4≤25- 87 4𝑘 2+3 < 13 4 . 故𝑂𝐴⃗⃗⃗ · 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[-4, 13 4 ). 22.(12 分)已知双曲线的一个焦点为 F1(-√3,0),且渐近线为 y=±√2x,过点 A(2,1)的直线 l 与该双曲线 交于 P1,P2 两点
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志河。 http://www.zhyh.org (I)求线段P1P2的中点P的轨迹方程； (2)过点B(1,1),能否作直线1)，使'与己知双曲线交于Q1,Q2两点，且B是线段QQ2的中点？请说明理 由 解)由题意可钱双南线方程为后-台-1o>0b0 :c=V3总=V2, :c2a2 a2-2,即32 a2-2,解得d2-l,则b2-2. 故双曲线的方程为.号 设点P1和P的坐标分别为n)(2),线段PP的中点为Px,则x好-兰-1，① 好-空1@ ①-②得2(x1+x)(x1-x2)=01+2)0y1-2, 当x10时，Ξ=出③ y x1-x2 又P,PPA四点共线造=袋④ x1-x2 由③④得=岩是即2ry-4r0, 而当1=2时，y=0,此时直线1的方程为x=2,点P的坐标为P(2,0),显然点P的坐标也满足方程2x2-y2 4x+y=0. 故中点P的轨迹方程为2x2-y2.4x+y=0. (2)假设存在直线1'，若直线1'的斜率存在，同(1)可得直线1'的斜率为2，直线的方程为y=2x-1. ,无解，与假设矛盾， 斜率存在的直线不满足条件。 若直线的斜率不存在，过点B(1,1)的直线'与双曲线相切，与题设不符，故满足条件的直线1'不存在 9
9 (1)求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹方程; (2)过点 B(1,1),能否作直线 l',使 l'与已知双曲线交于 Q1,Q2 两点,且 B 是线段 Q1Q2 的中点?请说明理 由. 解:(1)由题意可设双曲线方程为𝑥 2 𝑎2 − 𝑦 2 𝑏 2=1(a>0,b>0). ∵c=√3, 𝑏 𝑎 = √2, ∴ 𝑐 2 -𝑎 2 𝑎2 =2,即 3-𝑎 2 𝑎2 =2,解得 a 2=1,则 b 2=2. 故双曲线的方程为 x 2 - 𝑦 2 2 =1. 设点 P1 和 P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段 P1P2的中点为 P(x,y),则𝑥1 2 − 𝑦 1 2 2 =1,① 𝑥2 2 − 𝑦 2 2 2 =1.② ①-②得 2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2), 当 x1≠x2,y≠0 时, 2𝑥 𝑦 = 𝑦 1 -𝑦 2 𝑥1-𝑥2 .③ 又∵P1,P2,P,A 四点共线,∴ 𝑦-1 𝑥-2 = 𝑦 1 -𝑦 2 𝑥1-𝑥2 .④ 由③④得 2𝑥 𝑦 = 𝑦-1 𝑥-2 ,即 2x 2 -y 2 -4x+y=0, 而当 x1=x2 时,y=0,此时直线 l 的方程为 x=2,点 P 的坐标为 P(2,0),显然点 P 的坐标也满足方程 2x 2 -y 2 - 4x+y=0. 故中点 P 的轨迹方程为 2x 2 -y 2 -4x+y=0. (2)假设存在直线 l',若直线 l'的斜率存在,同(1)可得直线 l'的斜率为 2,直线 l'的方程为 y=2x-1. ∵{ 𝑦 = 2𝑥-1, 𝑥 2 - 𝑦 2 2 = 1 无解,与假设矛盾, ∴斜率存在的直线不满足条件. 若直线 l'的斜率不存在,过点 B(1,1)的直线 l'与双曲线相切,与题设不符,故满足条件的直线 l'不存在