志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1.1.1 空间向量及其线性运算 课后·训练提升 基础巩固 1.在平行六面体ABCD-41B1C1D1中，向量D1A,D1C,A1C是() A有相同起点的向量 B.模相等的向量 C共面向量 D.不共面向量 答案c 解析因为DC-D1A=AC,且AC=A1C, 所以D1C-D1A=A1C 又D1A与D1C不共线， 所以D1A,D1C,A1C是共面向量 2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1CD1中，E,F,G,H,P,Q分别是A1A,AB,BC,CC,CD1,D14的中点，则 () D 0 A.EF+GH +PQ=0 B.EF-G丽-PO-0 C.EF+G丽-P0-0 D.EF-GH+PQ=0 答案A 3.(多选题)给出下列四个说法，其中错误的是() A空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p 1
1 1.1.1 空间向量及其线性运算 课后· 基础巩固 1.在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,向量𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ ,𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 ,𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.共面向量 D.不共面向量 答案:C 解析:因为𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 − 𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ = 𝐴𝐶⃗⃗ ,且𝐴𝐶⃗⃗ = 𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 − 𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ = 𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ 与𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 不共线, 所以𝐷⃗⃗⃗ 1 ⃗𝐴⃗ ,𝐷⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐶 ,𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是共面向量. 2.如图,在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H,P,Q 分别是 A1A,AB,BC,CC1,C1D1,D1A1 的中点,则 ( ) A.𝐸𝐹⃗⃗ + 𝐺𝐻⃗ ⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗ =0 B.𝐸𝐹⃗⃗ − 𝐺𝐻⃗ ⃗ − 𝑃𝑄⃗⃗⃗ =0 C.𝐸𝐹⃗⃗ + 𝐺𝐻⃗ ⃗ − 𝑃𝑄⃗⃗⃗ =0 D.𝐸𝐹⃗⃗ − 𝐺𝐻⃗ ⃗ + 𝑃𝑄⃗⃗⃗ =0 答案:A 3.(多选题)给出下列四个说法,其中错误的是( ) A.空间向量就是空间中的一条有向线段 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.若空间向量 m,n,p 满足 m=n,n=p,则 m=p
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org D.空间中任意两个单位向量必相等 答案ABD 解析有向线段可以表示向量，但向量不是有向线段，向量的起点和终点不确定，A错误；相等向量大小 相等，方向相同，不相等的两个向量可能模相等，方向不同，B错误：C正确；空间中任意两个单位向量的 模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，D错误 4.已知点M在平面ABC内，点0在平面ABC外，若OM=x0A+O丽+O元，则x的值为() A.1 B.0 C.3 D吲 答案D 解析：OM=x0+0丽+沉， 且点M在平面ABC内， x++l, “x子故选D 5.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1C1的中点，F是AE的三等分点，且AF=EF,则AF=() AAA+A丽+4而 B本+2E+而 C2AA+丽+4而 DAA+丽+A而 客案D 2
2 D.空间中任意两个单位向量必相等 答案:ABD 解析:有向线段可以表示向量,但向量不是有向线段,向量的起点和终点不确定,A 错误;相等向量大小 相等,方向相同,不相等的两个向量可能模相等,方向不同,B 错误;C 正确;空间中任意两个单位向量的 模均为 1,但方向不一定相同,故不一定相等,D 错误. 4.已知点 M 在平面 ABC 内,点 O 在平面 ABC 外,若𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 1 3 ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,则 x 的值为( ) A.1 B.0 C.3 D. 1 3 答案:D 解析:∵𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 1 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ + 1 3 ⃗𝑂𝐶⃗⃗ , 且点 M 在平面 ABC 内, ∴x+1 3 + 1 3 =1, ∴x= 1 3 .故选 D. 5.在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 是 A1C1 的中点,F 是 AE 的三等分点,且 AF=1 2 EF,则𝐴𝐹⃗⃗⃗ =( ) A.𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ B. 1 2 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 2 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ C. 1 2 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ D. 1 3 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 答案:D
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解析抽题意可知，F=正=+A1E+×24C=瓜1+1B+ A1D)AA+丽+D 6.如图，己知四面体ABCD,E,F,G分别为BC,CD,DB的中点，则AE+⑦+EC= B 答案证 解析：E,F,G分别为BC,CD,DB的中点， ∴.GD=EF,BE=EC ∴.AB+GD+EC=B+EF+B配=F 7.己知A,B,P三点共线，0为空间任意一点，且点0与点A,B,P不共线，若丽=A+0丽，则 B= 答案 解析：A,B,P三点共线， ∴.AP-AB,∴.0p-0A=0死-0A, :.0丽-(1-01+0丽.又0丽=0m+0丽， 小e样 8已知A,B,C三点不共线，0为平面ABC外一点若点P满足O丽-O+号死+0C,且点P与点 A,B,C共面，则1= 图案异 解析由题意可知，+导+1l,解得品 9.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是 正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点.求下列各式中x,y的值. (1)）00=P0+xPC+PA (2)PA=xP0+P0+P元. 3
3 解析:由题意可知,𝐴𝐹⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐸⃗⃗⃗ = 1 3 (𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴⃗⃗ 1 ⃗⃗𝐸⃗ )= 1 3 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 3 × 1 2 𝐴1𝐶1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 3 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 6 (𝐴1𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ )= 1 3 𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 1 6 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 6.如图,已知四面体 ABCD,E,F,G 分别为 BC,CD,DB 的中点,则𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐶⃗⃗ = . 答案:𝐴𝐹⃗⃗⃗ 解析:∵E,F,G 分别为 BC,CD,DB 的中点, ∴𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ = 𝐸𝐹⃗⃗ ,𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 𝐸𝐶⃗⃗ , ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐺𝐷⃗⃗⃗⃗ + 𝐸𝐶⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐸𝐹⃗⃗ + 𝐵𝐸⃗⃗⃗ = 𝐴𝐹⃗⃗⃗ . 7.已知 A,B,P 三点共线,O 为空间任意一点,且点 O 与点 A,B,P 不共线,若𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 1 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +β𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ ,则 β= . 答案: 2 3 解析:∵A,B,P 三点共线, ∴𝐴𝑃⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ =λ(𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗ ), ∴𝑂𝑃⃗⃗⃗ =(1-λ)𝑂𝐴⃗⃗⃗ +λ𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ .又𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 1 3 𝑂𝐴⃗⃗⃗ +β𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ , ∴{ 1-𝜆 = 1 3 , 𝜆 = 𝛽, 解得 β=λ= 2 3 . 8.已知 A,B,C 三点不共线,O 为平面 ABC 外一点,若点 P 满足𝑂𝑃⃗⃗⃗ = 1 5 𝑂𝐴⃗⃗⃗ + 2 3 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +λ⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,且点 P 与点 A,B,C 共面,则 λ= . 答案: 2 15 解析:由题意可知, 1 5 + 2 3 +λ=1,解得 λ= 2 15. 9.已知四边形 ABCD 为正方形,P 是四边形 ABCD 所在平面外一点,P 在平面 ABCD 上的射影恰好是 正方形 ABCD 的中心 O,Q 是 CD 的中点.求下列各式中 x,y 的值. (1)𝑂𝑄⃗ ⃗ = 𝑃𝑄⃗⃗⃗ +x𝑃𝐶⃗⃗ +y𝑃𝐴⃗⃗⃗ ; (2)𝑃𝐴⃗⃗⃗ =x𝑃𝑂⃗⃗⃗ +y𝑃𝑄⃗⃗⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 解1)：00-P灭+xP元+P, ∴.00-P0=xP元+PA 即O丽=xP元+PA 又0丽-p0-之元-m “=动克 (2)PA=xPO+P0+P⑦ .PA-P币=xP0+P0 即DA=xP0+P可 又DA=CA-CD=2C0-2C0-200=2P0-2P0,∴.x=2,y=-2 拓展提高 1.(多选题)下列四个命题是真命题的是(） A若AB II CD,则A,B,C,D四点共线 B.若AB I AC,则A,B,C三点共线 C若c1,e为不共线的非零向量，a=4e子c,b=-ee,则a∥b D.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量，且满足等式k%1e1+e2+ke3=0,则k=k=k=0 答案BCD 解析根据共线向量的定义，若正川CD,则AB∥CD或A,B,C,D四点共线，故A是假命题A丽IAC且 丽，C有公共起点4，故B是真命题；由于a=4e1子=4e1品c-4b,故a/b故C是真命题；易知 D也是真命题」 2.给出下列说法！ ①若A,B,C,D是空间任意四点，则有AB+BC+CD+DA-=0: ②a-bl=a+b”是“a,b共线”的充要条件； ③若AB,CD共线，则AB∥CD: ④对空间任意一点O与不共线的三点A,B,C,若O丽=x0A+0死+0C(其中xy,z∈R),则PA,B,C四点 共面 其中不正确的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4
4 解:(1)∵𝑂𝑄⃗ ⃗ = 𝑃𝑄⃗⃗⃗ +x𝑃𝐶⃗⃗ +y𝑃𝐴⃗⃗⃗ , ∴𝑂𝑄⃗ ⃗ − 𝑃𝑄⃗⃗⃗ =x𝑃𝐶⃗⃗ +y𝑃𝐴⃗⃗⃗ , 即𝑂𝑃⃗⃗⃗ =x𝑃𝐶⃗⃗ +y𝑃𝐴⃗⃗⃗ . 又𝑂𝑃⃗⃗⃗ =-𝑃𝑂⃗⃗⃗ =- 1 2 𝑃𝐶⃗⃗ − 1 2 𝑃𝐴⃗⃗⃗ , ∴x=- 1 2 ,y=- 1 2 . (2)∵𝑃𝐴⃗⃗⃗ =x𝑃𝑂⃗⃗⃗ +y𝑃𝑄⃗⃗⃗ + 𝑃𝐷⃗⃗⃗ , ∴𝑃𝐴⃗⃗⃗ − 𝑃𝐷⃗⃗⃗ =x𝑃𝑂⃗⃗⃗ +y𝑃𝑄⃗⃗⃗ , 即𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =x𝑃𝑂⃗⃗⃗ +y𝑃𝑄⃗⃗⃗ . 又𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ = 𝐶𝐴⃗⃗ − 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =2⃗𝐶𝑂⃗⃗ -2⃗𝐶𝑄⃗⃗ =2𝑄𝑂⃗ ⃗ =2𝑃𝑂⃗⃗⃗ -2𝑃𝑄⃗⃗⃗ ,∴x=2,y=-2. 拓展提高 1.(多选题)下列四个命题是真命题的是( ) A.若𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,则 A,B,C,D 四点共线 B.若𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗ ,则 A,B,C 三点共线 C.若 e1,e2 为不共线的非零向量,a=4e1- 2 5 e2,b=-e1+ 1 10e2,则 a∥b D.若向量 e1,e2,e3 是三个不共面的向量,且满足等式 k1e1+k2e2+k3e3=0,则 k1=k2=k3=0 答案:BCD 解析:根据共线向量的定义,若𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐶𝐷⃗⃗⃗ ,则 AB∥CD 或 A,B,C,D 四点共线,故 A 是假命题;𝐴𝐵⃗⃗⃗ ∥ 𝐴𝐶⃗⃗ 且 𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗ 有公共起点 A,故 B 是真命题;由于 a=4e1- 2 5 e2=-4 -e1+ 1 10e2 =-4b,故 a∥b,故 C 是真命题;易知 D 也是真命题. 2.给出下列说法: ①若 A,B,C,D 是空间任意四点,则有𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ + 𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗ =0; ②“|a|-|b|=|a+b|”是“a,b 共线”的充要条件; ③若𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 共线,则 AB∥CD; ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A,B,C,若𝑂𝑃⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +z⃗𝑂𝐶⃗⃗ (其中 x,y,z∈R),则 P,A,B,C 四点 共面. 其中不正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的： 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 含案c 解析显然①正确；若a,b共线，则a+b=aHb或a+b=‖a-bl,故②错误；若AB,C而共线，则直线AB,CD 可能重合，也可能平行，故③错误，当0丽=x0A+y0丽+0沉，x+y+-1时，P,A,B,C四点共面，故④错误故选 C. 3.对于空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若有0丽=xOA+0丽+O元，则x+y+z=1”是“P,A,B,C四 点共面的() A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案B 解析若x+y叶z=1,则丽-(1少)0+0丽+z0沉，即4亚=AB+:C,由空间向量共面的充要条件可知，向 量AP,AB,AC共面，所以P,A,B,C四点共面，反之，若P,AB,C四点共面，当点O与点A重合时，0A=0,x可 取任意值，不一定有x+y+2=1,故x+y+2=1”是“P,A,B,C四，点共面”的充分不必要条件 4.己知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P,M为空间任意两点，如果有PM=PB+7BA+6AA14A1D,那么 点M必在() A.平面BAD1内 B.平面BA1D内 C.平面BA1D1内 D.平面AB1C1内 答案c 解析因为PM=PB+7BA+6AA4A1D=PB+BA+6BA-4A1D=PB+B1A+6BA4A1D1= PA+6(PA-PB)-4(PD1-PA)=11PA1-6PB-4PD,且11-6-4=1，所以M,A1,B,D1四，点共面.故选C 5.在平行六面体ABCD-A'BCD中，若AC=xE+兰B配+CC,则x+y+=_ 答案6 解析在平行六面体ABCD-A'BCD中，AC=A店+C+CC,又AC=xA丽+兰BC+CC,所以A正+ B武+C-xAE+BC+CC 所以(1-xAE+(1-为元+(1-)C-0, 又AB,BC,CC不共面， 5
5 答案:C 解析:显然①正确;若 a,b 共线,则|a+b|=|a|+|b|或|a+b|=||a|-|b||,故②错误;若𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐶𝐷⃗⃗⃗ 共线,则直线 AB,CD 可能重合,也可能平行,故③错误;当𝑂𝑃⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +z⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,x+y+z=1 时,P,A,B,C 四点共面,故④错误.故选 C. 3.对于空间任意一点 O 和不共线的三点 A,B,C,若有𝑂𝑃⃗⃗⃗ =x𝑂𝐴⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +z⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,则“x+y+z=1”是“P,A,B,C 四 点共面”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:B 解析:若 x+y+z=1,则𝑂𝑃⃗⃗⃗ =(1-y-z)𝑂𝐴⃗⃗⃗ +y𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗ +z⃗𝑂𝐶⃗⃗ ,即𝐴𝑃⃗⃗⃗ =y𝐴𝐵⃗⃗⃗ +z𝐴𝐶⃗⃗ ,由空间向量共面的充要条件可知,向 量𝐴𝑃⃗⃗⃗ ,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ 共面,所以 P,A,B,C 四点共面;反之,若 P,A,B,C 四点共面,当点 O 与点 A 重合时,𝑂𝐴⃗⃗⃗ =0,x可 取任意值,不一定有 x+y+z=1,故“x+y+z=1”是“P,A,B,C 四点共面”的充分不必要条件. 4.已知在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,P,M 为空间任意两点,如果有𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ +7𝐵𝐴⃗⃗⃗ +6𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ -4𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ ,那么 点 M 必在( ) A.平面 BAD1 内 B.平面 BA1D 内 C.平面 BA1D1 内 D.平面 AB1C1 内 答案:C 解析:因为𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗ = 𝑃𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ +7𝐵𝐴⃗⃗⃗ +6𝐴𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ -4𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵𝐴⃗⃗⃗ +6𝐵𝐴1 ⃗⃗ ⃗⃗ -4𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐵1 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝐵1𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6𝐵𝐴1 ⃗⃗ ⃗⃗ -4𝐴1𝐷1 ⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑃𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ +6(𝑃𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑃𝐵⃗⃗⃗ )-4(𝑃𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ − 𝑃𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ )=11𝑃𝐴1 ⃗⃗⃗⃗⃗ -6𝑃𝐵⃗⃗⃗ -4𝑃𝐷1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且 11-6-4=1,所以 M,A1,B,D1 四点共面.故选 C. 5.在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,若𝐴𝐶⃗⃗ ⃗ '=x𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝑦 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝑧 3 𝐶𝐶⃗⃗ ',则 x+y+z= . 答案:6 解析:在平行六面体 ABCD-A'B'C'D'中,𝐴𝐶⃗⃗ ⃗ ' = 𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶⃗⃗ ',又𝐴𝐶⃗⃗ ⃗ '=x𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝑦 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝑧 3 𝐶𝐶⃗⃗ ',所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐶⃗⃗ '=x𝐴𝐵⃗⃗⃗ + 𝑦 2 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝑧 3 𝐶𝐶⃗⃗ ', 所以(1-x)𝐴𝐵⃗⃗⃗ + (1- 𝑦 2 )𝐵𝐶⃗⃗⃗ + (1- 𝑧 3 ) 𝐶𝐶⃗⃗ '=0. 又𝐴𝐵⃗⃗⃗ , 𝐵𝐶⃗⃗⃗ , 𝐶𝐶⃗⃗ '不共面
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网，永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org 1-x=0, (x=1. 所以1当=0，解得y=2,所以x+y+6 1-=0, z=3 6.设e1,e2是空间中不共线的向量，已知AB-2e1+ke2,CB=e1+3e2,CD-2e1-e2,若A,B,D三点共线，则实数 k为 答案8 解析由已知得，BD=C-C丽-e1-4e2, 因为A,B,D三点共线，所以A丽=BD∈R), 即2e1+ke2=le1-4e2, 所以限二2以所以=8 7.已知e1,e2为空间中两个不共线的向量，且AB=e1+e2,AC=2e1+8e2,AD=3e1-3e2,求证：A,B,C,D四点共 面 证明假设存在实数1以，使得A正-AC+uAD, 即e1+e2=(2e1+8e2)+(3e1-3e2)=(21+3)e1+(81-3)e2. ,e1,e2为两个不共线的向量， 6队 ∴丽=C+而 由向量共面的充要条件知，AB,AC,AD共面.又向量AB,AC,AD有一个公共的起点A,所以A,B,C,D四点 共面 挑战创新 已知e1,e2,e三个向量不共面，AB=e1+2e2+3e,BC-2e1+de2+ue3,CD-31e1-e2-2e,若A,B,D三点共 线，试求1，μ的值 解pD-BC+CD-(2e1+e2+ue)+(3e1-e2-2e3)-(2+3)e1+-1)e2-e3. A,B,D三点共线， AB与BD共线， ∴.存在实数k使得AB=kBD,即 6
6 所以{ 1-𝑥 = 0, 1- 𝑦 2 = 0, 1- 𝑧 3 = 0, 解得{ 𝑥 = 1, 𝑦 = 2, 𝑧 = 3. 所以 x+y+z=6. 6.设 e1,e2 是空间中不共线的向量,已知𝐴𝐵⃗⃗⃗ =2e1+ke2,𝐶𝐵⃗⃗⃗ =e1+3e2,𝐶𝐷⃗⃗⃗ =2e1-e2,若 A,B,D 三点共线,则实数 k 为 . 答案:-8 解析:由已知得,𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐶𝐷⃗⃗⃗ − 𝐶𝐵⃗⃗⃗ =e1-4e2, 因为 A,B,D 三点共线,所以𝐴𝐵⃗⃗⃗ =λ𝐵𝐷⃗ ⃗ (λ∈R), 即 2e1+ke2=λe1-4λe2, 所以{ 2 = 𝜆, 𝑘 = -4𝜆, 所以 k=-8. 7.已知 e1,e2 为空间中两个不共线的向量,且𝐴𝐵⃗⃗⃗ =e1+e2,𝐴𝐶⃗⃗ =2e1+8e2,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ =3e1-3e2 ,求证:A,B,C,D 四点共 面. 证明:假设存在实数 λ,μ,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =λ𝐴𝐶⃗⃗ +μ𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ , 即 e1+e2=λ(2e1+8e2)+μ(3e1-3e2)=(2λ+3μ)e1+(8λ-3μ)e2. ∵e1,e2 为两个不共线的向量, ∴{ 2𝜆 + 3𝜇 = 1, 8𝜆-3𝜇 = 1, 解得{ 𝜆 = 1 5 , 𝜇 = 1 5 . ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ = 1 5 𝐴𝐶⃗⃗ + 1 5 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ . 由向量共面的充要条件知,𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 共面.又向量𝐴𝐵⃗⃗⃗ ,𝐴𝐶⃗⃗ ,𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗ 有一个公共的起点 A,所以 A,B,C,D 四点 共面. 挑战创新 已知 e1,e2,e3 三个向量不共面,𝐴𝐵⃗⃗⃗ =e1+2e2+3e3,𝐵𝐶⃗⃗⃗ =2e1+λe2+μe3,𝐶𝐷⃗⃗⃗ =3λe1-e2-2μe3,若 A,B,D 三点共 线,试求 λ,μ 的值. 解:𝐵𝐷⃗ ⃗ = 𝐵𝐶⃗⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗ =(2e1+λe2+μe3)+(3λe1-e2-2μe3)=(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3. ∵A,B,D 三点共线, ∴𝐴𝐵⃗⃗⃗ 与𝐵𝐷⃗ ⃗ 共线, ∴存在实数 k,使得𝐴𝐵⃗⃗⃗ =k𝐵𝐷⃗ ⃗ ,即
志鸿优化系列丛书 志鸿优化网永远提供更新的！ 丛书主编任志湖。 http://www.zhyh.org e1+2e+3e=k[(2+3)e1+(2-l)e-ue], ∴.(1-2k-3k)e1+(2-kU+k)e2+(3+k)e3=0. ,e1,e2,e3三个向量不共面 .∴.1-2k-3k=0,2-k+k=0,3+ku=0 解得1=-1，=3，k=-1 故1的值为-1的值为3. 7
7 e1+2e2+3e3=k[(2+3λ)e1+(λ-1)e2-μe3], ∴(1-2k-3kλ)e1+(2-kλ+k)e2+(3+kμ)e3=0. ∵e1,e2,e3 三个向量不共面, ∴1-2k-3kλ=0,2-kλ+k=0,3+kμ=0, 解得 λ=-1,μ=3,k=-1. 故 λ 的值为-1,μ 的值为 3